実部・虚部は調和関数

系 5.7（「正則関数とコーシー・リーマンの関係式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f = u + iv$ が開集合 $\Omega$ 上で正則ならば、 $u, v$ は $\Omega$ 上 $C^\infty$ 級であり、ラプラス方程式

\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0, \qquad \Delta v = v_{xx} + v_{yy} = 0

を満たす。すなわち $u, v$ は調和関数である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 33 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
  - コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
- 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
  - 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
  - 近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性

これを使っている定理証明で参照している 4 件

調和性は正則写像で保たれる✓命題 7.1・等角写像とリーマン写像定理
調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分
円板の Dirichlet 問題✓定理 4.4・調和関数と Poisson 積分
零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数

実部・虚部は調和関数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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