C¹ 級ならば全微分可能

定理 4.5（「多変数関数の微分と偏微分」§4）・ ✓公理まで証明済み

$U \subset \mathbb{R}^2$ を開集合、 $f: U \to \mathbb{R}$ 、 $\boldsymbol a = (a,b) \in U$ とします。偏導関数 $f_x, f_y$ が $\boldsymbol a$ のある近傍 $B(\boldsymbol a, r) \subset U$ の各点で存在し、かつ $\boldsymbol a$ で連続であるとします。このとき $f$ は $\boldsymbol a$ で全微分可能です。

とくに $f_x, f_y$ が $U$ 全体で存在して連続なとき（このとき $f$ は $U$ 上 $C^1$ 級であるといいます）、 $f$ は $U$ の各点で全微分可能です。

$n$ 変数・ベクトル値の場合は定理 9.3 で証明します。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
- ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分

これを使っている定理証明で参照している 4 件

2 変数のテイラーの定理（2 次まで）✓定理 7.4・多変数関数の微分と偏微分
C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
ポテンシャルの等位線が解曲線✓命題 5.2・常微分方程式の初等解法
初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性

C¹ 級ならば全微分可能

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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