初期値への $C^k$ 依存性

定理 8.4（「解の存在と一意性」§8）・ ✓公理まで証明済み

$k\ge1$ とし、 $f\in C^k(D)$ とする。このとき $\varphi(x;x_0,y_0)$ は開集合 $\Omega$ 上で $(x,x_0,y_0)$ について $C^k$ 級である。特に $f\in C^\infty(D)$ なら $\varphi$ は $\Omega$ 上で $C^\infty$ 級である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 62 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
- 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
    一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
    縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性
- 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
- ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分
- 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
- 全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分

これを使っている定理証明で参照している 2 件

常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性

初期値への CkC^kCk 依存性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

初期値への $C^k$ 依存性

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件