数学 › 常微分方程式 › 解の存在と一意性

Gronwall の不等式

補題 3.1（「解の存在と一意性」§3）・ ✓公理まで証明済み

$u,\beta:[a,b]\to[0,\infty)$ を連続、 $\alpha\ge0$ を定数とし、すべての $x\in[a,b]$ で

u(x)\le\alpha+\int_a^x\beta(s)u(s)\,ds

が成り立つとする。このとき $u(x)\le\alpha\exp\left(\int_a^x\beta(s)\,ds\right)$ である。とくに $\alpha=0$ なら $u\equiv0$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 9 件

弱強一意性✓定理 8.2・Navier–Stokes 方程式 I
Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin の判定条件（先験評価）✓定理 3.1・Navier–Stokes 方程式 II
解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
接続公式（Langer 変数）✓定理 5.1・WKB 近似と Liouville–Green 理論
極限吸収原理（2 階の交換子条件のもとで）✓定理 5.5・正則性クラスと抽象共役作用素法
相互作用描像と発展作用素✓補題 2.2・Gell-Mann–Low 公式の厳密版

関連するノック 2 問