弱強一意性

定理 8.2（「Navier–Stokes 方程式 I」§8）・ ✓公理まで証明済み

$\nu\gt0$ 、 $T\gt0$ とする。

(i) トーラス、弱解と滑らかな解。 $d\in\{2,3\}$ とし、 $(u,p)$ を $\mathbb{T}^d\times[0,T]$ 上の滑らかな解、外力 $f$ は滑らかで、 $u_0$ と $f(t)$ の平均は $0$ とする。同じ $u_0$ と $f$ に対する $\mathbb{T}^d\times[0,T]$ 上の Leray–Hopf の弱解 $v$ は、 $[0,T]$ 上で $u$ に一致する。

(ii) トーラス、滑らかな解どうし。 $(u,p)$ と $(v,P)$ を $\mathbb{T}^3\times[0,T]$ 上の滑らかな解（速度も圧力も周期的。平均の条件は課さない）で、初期値と外力が等しいものとする。このとき $u=v$ 。

(iii) 全空間、滑らかな解どうし。 $(u,p)$ と $(v,P)$ を $\mathbb{R}^3\times[0,T]$ 上の滑らかな解で、初期値と外力が等しいものとする。 $\nabla u$ は $\mathbb{R}^3\times[0,T]$ で有界とし、

\sup_{0\le t\le T}\bigl(\|u(t)\|+\|v(t)\|\bigr)\lt\infty,\qquad\int_0^T\bigl(\|u\|_3^3+\|v\|_3^3\bigr)dt\lt\infty,\qquad\int_0^T\|P-p\|_{3/2}^{3/2}dt\lt\infty

を仮定する。このとき $u=v$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 105 件、定義なども含めて 124 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

試験関数の拡張✓補題 8.1・Navier–Stokes 方程式 I
Leray–Hopf の弱解定義 5.1・Navier–Stokes 方程式 I
エネルギー等式✓命題 3.3・Navier–Stokes 方程式 I
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 三重線形形式の反対称性✓補題 3.2・Navier–Stokes 方程式 I（上で展開済み）
多次元トーラスの Parseval の等式✓補題 4.1・Navier–Stokes 方程式 I
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
  - Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数
    Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数この先をたどる →
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
三重線形形式の反対称性✓補題 3.2・Navier–Stokes 方程式 I
- n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
  - 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

主張を仮定したときの (D) と (C)✓命題 5.1・Navier–Stokes 方程式 III

弱強一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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