未解決問題と大定理

数学修士無料 13 章有料 0 章

リーマン予想、ポアンカレ予想、フェルマーの最終定理、Navier–Stokes 方程式の解の存在と滑らかさ、Yang–Mills 理論の存在と質量ギャップの 5 題を扱う。

想定読者: 大学院生（修士課程）、学部の数学を終えて有名な未解決問題・大定理の中身を命題の形で知りたい人

前提テーマ:数論、複素関数論、微分幾何学、代数的位相幾何学、偏微分方程式、フーリエ解析と超関数、関数解析と作用素論

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章リーマン予想 I：ゼータ関数の零点の理論（Hadamard 積・零点の個数・古典的零点なし領域）無料完備ゼータ関数 ξ が位数 1 の整関数であることから Hadamard 積と ζ′/ζ の部分分数展開を導き、Riemann–von Mangoldt の個数公式、de la Vallée Poussin の零点なし領域、零点なし領域の幅と素数定理の誤差項の対応を証明つきでそろえる。
2. 第 2 章リーマン予想 II：歴史と各種のアプローチ（Hardy の定理・Dirichlet L 関数・零点密度・Hilbert–Pólya・関数体）無料Dirichlet L 関数と一般化リーマン予想を定義し、L(1,χ)≠0 と算術級数定理、臨界線上の零点の無限性（Hardy）、Mertens 関数による同値、有限体上の楕円曲線での類似を証明する。零点密度・対相関・de Bruijn–Newman 定数は出典つきで述べ、何が示されていて何が示されていないかを区別する。
3. 第 3 章リーマン予想 III：ℜs > 7/8 の零点なし半平面という主張（OpenAI, 2026）を読む無料2026 年 9 月 30 日付で公表された「ℚ(√−3) 上の Hecke L 関数とすべての Dirichlet L 関数は ℜs > 7/8 に零点をもたない」という主張を、一次資料で確認できた範囲で解説する。周辺の確立した数学は証明し、主張とその帰結、検証の状況は区別して述べる。
4. 第 4 章ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理）無料ポアンカレ予想と幾何化予想を仮定を省かずに述べ、Ricci flow のもとでの曲率の変分公式、スカラー曲率の発展方程式、時間に依る計量での最大値原理、球面・葉巻ソリトンなどの厳密解を計算を省かずに証明する。Hamilton の定理と特異点という障害を命題の形で述べる。
5. 第 5 章ポアンカレ予想 II：Perelman のエントロピー公式と非崩壊定理無料Perelman の第 1 論文の F 汎関数と W 汎関数について、第一変分と単調性公式を計算を省かずに証明し、対数 Sobolev 不等式との関係と非崩壊定理を証明する。簡約体積・κ-解・標準近傍定理は論文の節番号と対応づけて命題として述べる。
6. 第 6 章ポアンカレ予想 III：手術つき Ricci flow と有限時間消滅、予想の証明の論理無料Perelman の第 2・第 3 論文の主定理（手術つき Ricci flow の存在と有限時間消滅）を節番号つきで正確に述べ、手術の位相、極小球面の面積の発展不等式、そして 2 つの主定理からポアンカレ予想が従う論理を省略なしに証明する。検証の経過も年表にまとめる。
7. 第 7 章フェルマーの最終定理 I：論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想（Ribet の定理）無料フェルマーの最終定理の証明を 1 段も飛ばさない鎖に分解し、n = 3 の無限降下、Frey 曲線の極小モデル、E[p] の構造、Tate 曲線による分岐の計算、レベル下げの反復を証明して、主張のみの段を認めれば定理が従うことを省略なしに示す。
8. 第 8 章フェルマーの最終定理 II：Wiles・Taylor–Wiles の保型性持ち上げ（変形環 R と Hecke 環 T、R = T、3–5 の乗り換え）無料半安定な楕円曲線のモジュラー性の証明を、Langlands–Tunnell、変形環と Hecke 環の同型 R = T、数値的判定法、Taylor–Wiles 系、非極小への帰納、3–5 の乗り換えの段に分け、各段の主張を仮定つきで述べて、それらから定理が従うことを証明する。
9. 第 9 章Navier–Stokes 方程式 I：Clay の問題 (A)〜(D) と Leray の弱解無料Navier–Stokes 方程式の解の存在と滑らかさの問題を Fefferman の問題文の条件 (4)〜(11) と命題 (A)〜(D) で正確に述べ、エネルギー等式、スケール不変性、トーラス上の Leray–Hopf 弱解の存在、2 次元の一意性、弱強一意性を証明する。
10. 第 10 章Navier–Stokes 方程式 II：正則性の判定条件と爆発の研究（Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin・Caffarelli–Kohn–Nirenberg・Tao の平均化方程式）無料臨界な混合ノルムによる正則性の判定条件と爆発の速さの下界を証明し、優臨界性の意味、渦の伸張、特異点集合の次元の評価、自己相似解の方程式を命題として述べたうえで、平均化方程式・非一意性・外力つきの特異性という爆発の研究を整理する。
11. 第 11 章Navier–Stokes 方程式 III：外力つき方程式の有限時間爆発という主張（OpenAI, 2026）を読む無料2026 年 9 月 8 日に公表された、滑らかな外力つき 3 次元 Navier–Stokes 方程式の有限時間爆発の主張を、原稿の主定理の正確な文、Clay の命題 (C)(D) との対応、証明の構成、既知の結果との関係、Lean による形式化と検証の状況に分けて読む。
12. 第 12 章Yang–Mills 理論と質量ギャップ I：問題の命題（Jaffe–Witten）と、何が難しいのか無料Clay 数学研究所の Yang–Mills の存在と質量ギャップの問題を Jaffe–Witten の問題記述に沿って正確に述べ、質量ギャップと相関の指数減衰の同値、ギャップのない Maxwell 場、2 次元格子理論の厳密解、4 次元で摂動論に現れないスケール Λ を証明し、解決に必要な 4 段階を整理する。
13. 第 13 章Yang–Mills 理論と質量ギャップ II：考えられるアプローチ（構成的場の理論・Bałaban のくりこみ群・確率量子化・Chatterjee の方向）無料Yang–Mills の存在と質量ギャップへのアプローチを、何が証明済みで何が未解決かで整理する。2 次元の連続極限、格子の Schwinger–Dyson 方程式、強結合での一様な Poincaré 不等式と相関の減衰を証明し、Bałaban から Chatterjee・CCHS までの結果を仮定つきで述べる。