フェルマーの最終定理 II：Wiles・Taylor–Wiles の保型性持ち上げ（変形環 R と Hecke 環 T、R = T、3–5 の乗り換え）

0. この記事の要点

フェルマーの最終定理の証明の後半にあたる章です。ある種の曲線が持つ整数の情報は、素数 $p$ を法とした粗い情報と、それをより細かくした情報の二段階で記録できます。粗い情報が別の対象（モジュラー形式）から読み取れるなら、細かい情報も同じ対象から読み取れる、というのが Wiles の持ち上げの考え方です。この章はそれを、証明を与える段と主張だけを述べる段に分けて組み立てます。読み終えると、証明全体がどの段の組み合わせでできていて、どの段が外から入る入力なのかを説明できるようになります。

• 目標は「$\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線はモジュラーである」（定理 10.6［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）です。前の章の鎖の (F6) に当たります。証明を $\S 2$ の表の (W1)〜(W4) に分け、各段を定理として述べます。
• 入力は 3 つです。(W1) Langlands–Tunnell の定理（像が可解な奇の既約な 2 次元複素 Galois 表現は保型形式から来る、という定理）から従う「既約な $\bar\rho_{E,3}$ は保型的」、(W2) 保型性持ち上げ定理「$\bar\rho_{E,p}$ が既約で保型的なら $E$ はモジュラー」、(W3) 3–5 の乗り換え。この 3 つから定理が従うこと（(W4)、定理 10.1）を証明します。
• (W2) の中身は、変形環 $R_\Sigma$（$\bar\rho$ の持ち上げ全体を束ねる環）と Hecke 環 $\mathbb{T}_\Sigma$（保型形式の Hecke 固有値が生成する環）の同型 $R_\Sigma \cong \mathbb{T}_\Sigma$ です。変形環の存在 (W2a)、全射 $R_\Sigma \to \mathbb{T}_\Sigma$ (W2b)、数値的判定法 (W2c)、極小の場合の Taylor–Wiles の議論と非極小への帰納 (W2d) に分かれます。
• この章で証明するのは、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ の可解性と $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}[\sqrt{-2}])$ への切断（命題 3.1）、変形関手の接空間が $H^1$ であること（命題 4.3）、変形環の生成元の個数（命題 4.4）、Hecke 作用素の可換性と Hecke 環の有限性（命題 5.3）、数値的判定法の自明な場合（補題 6.4）、極小の場合から一般の場合を導く帰納（命題 8.3）、そして (W4) です。
• 1993 年 6 月に発表された証明の欠陥は、極小の場合の Selmer 群の位数の上からの評価（Euler 系による議論）にありました。1994 年 9 月の修正は、この評価を「極小の Hecke 環 $\mathbb{T}_\emptyset$ が完全交叉である」こと（Taylor–Wiles）から数値的判定法で導く道に置き換えたものです（$\S 11$）。

この記事で使う事前知識

• 楕円曲線: 短 Weierstrass 形 $y^2 = x^3 + ax + b$ の式で与えられる曲線。→ 楕円曲線
• 分解群・惰性群・不分岐: 素数 $\ell$ のところでの Galois 群の様子を表す部分群と、$\ell$ での分岐を測る部分群。惰性群が自明に作用するとき不分岐という。→ 分解群・惰性群
• Hecke 固有形式・保型的な mod $p$ 表現: Hecke 作用素の固有ベクトルになっている形式と、それから来る mod $p$ 表現。→ Hecke 固有形式
• 交差準同型: $c(gh) = c(g) + g\cdot c(h)$ を満たす写像で、$H^1$ を作る材料。→ 交差準同型
• 完備化: イデアルのべきで近似した列の逆極限として環を完備にすること。→ 完備化と Artin–Rees の補題

1. 動機

既存の記事は 定理 10.6［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の証明を、$\S 11$「ワイルズの証明の骨格」の 5 段落（変形環、Hecke 環、出発点、3–5 トリック、最後の障害）で要約しました。この章はその各段落を命題に直します。「$R = T$ を示す」と言うとき、$R$ と $T$ はどの条件を付けた環で、同型はどの順番で、何を入力にして示されるのか。Langlands–Tunnell の定理はどこで、なぜ $p = 3$ で使われるのか。1993 年の証明のどの不等式が埋まっていなかったのか。これらを、主張を省かずに書くのが目的です。

証明の構造を先に述べます。楕円曲線 $E$ がモジュラーであることは、ある素数 $p$ について $p$ 進表現 $\rho_{E,p}$ が保型形式から来ることと同値です。一方 mod $p$ 表現 $\bar\rho_{E,p}$ が保型形式から来ることは、ずっと弱い主張です（$p$ を法とする合同しか要求しない）。Wiles の定理の核心は、この弱い主張から強い主張を導く持ち上げ定理です。$\bar\rho$ を持ち上げる $p$ 進表現の全体を束ねる環が $R$、そのうち保型形式から来るものを束ねる環が $\mathbb{T}$ で、$R = \mathbb{T}$ は「$\bar\rho$ の（条件を満たす）持ち上げはすべて保型的」を意味します。出発点の「$\bar\rho$ が保型的」を無条件に与えてくれるのが $p = 3$ での Langlands–Tunnell の定理です。

この章の記号は、DDT（Darmon–Diamond–Taylor の解説論文。参考文献）に合わせます。原論文（Wiles、Taylor–Wiles）の定理番号は手元で照合できたものがないため書かず、主張の所在は DDT の番号で示します。DDT の $\ell$ をこの章では $p$ と書きます。

2. 証明の鎖の全体

段	主張	扱い	場所・出典
(W1a)	$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ は可解で、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}[\sqrt{-2}])$ への切断をもつ	【証明】	命題 3.1
(W1b)	Langlands–Tunnell: 像が可解な奇の既約 Artin 表現は重さ 1 の新形式から来る。系として、絶対既約で $\det = \bar\chi_3$ の $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ は保型的	【主張】	定理 3.2
(W2a)	型 $\Sigma$ の普遍変形環 $R_\Sigma$ の存在（Mazur）	【主張】	定理 4.6
(W2a′)	接空間は $H^1$、生成元の個数はその次元	【証明】	命題 4.3、命題 4.4
(W2b′)	Hecke 作用素は可換で、Hecke 環は $\mathbb{Z}$ 上有限生成	【証明】	命題 5.3（整構造 定理 5.1 は【主張】）
(W2b)	Hecke 環 $\mathbb{T}_\Sigma$ に値をもつ表現と全射 $\phi_\Sigma : R_\Sigma \to \mathbb{T}_\Sigma$	【主張】	定理 5.6
(W2c)	数値的判定法（Wiles–Lenstra）	【主張】	定理 6.2。自明な場合は【証明】: 補題 6.4
(W2d-1)	極小の場合 $R_\emptyset \cong \mathbb{T}_\emptyset$（Taylor–Wiles）	【主張】	定理 7.3（双対性の入力は 定理 7.1）
(W2d-2)	素数を $\Sigma$ に足すときの 2 つの不等式	【主張】	定理 8.1
(W2d-3)	極小の場合 ⇒ すべての $\Sigma$ で $R_\Sigma \cong \mathbb{T}_\Sigma$	【証明】	命題 8.3
(W2)	保型性持ち上げ定理	【主張】	定理 8.4（(W2a)〜(W2d) の帰結）
(W3)	3–5 の乗り換え	【主張】	定理 9.1
(W4)	(W1)(W2)(W3) ⇒ 半安定な楕円曲線はモジュラー	【証明】	定理 10.1

証明の依存関係。太い実線の枠はこの章で証明する段、点線の枠は主張のみの段です。左の列が出発点（mod 3 の保型性）、中央が持ち上げ定理、右が 3–5 の乗り換えです。

(W2) を【主張】としているのは、(W2a)〜(W2d-2) の主張のみの段に依存し、さらに $\rho_{E,p}$ の局所的な性質と「$\rho_{E,p}$ が新形式から来るなら $E$ はモジュラー」という翻訳に追加の入力が要るからです。(W2d-3) は、主張のみの段から $R_\Sigma \cong \mathbb{T}_\Sigma$ が従う部分の推論を、この章の中で確かめるものです。

3. 出発点：GL₂(F₃) と Langlands–Tunnell の定理

3.1. GL₂(F₃) の構造

この節の狙いは、Langlands–Tunnell の定理（§3.2）を mod 3 表現に使えるようにすることです。そのために、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ が可解群であることと、複素数係数の行列に持ち上げる切断 $s$ があることを示します。後半の証明は、行列の群が有限であること、次に $\mathbb{F}_3$ への還元が単射であることの順に進みます。

$\theta = \sqrt{-2} \in \mathbb{C}$ とおき、$\mathbb{Z}[\theta] = \{a + b\theta \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ とします。$\theta \mapsto -1$ は環準同型 $r : \mathbb{Z}[\theta] \to \mathbb{F}_3$ を定めます（$(-1)^2 = 1 = -2$ が $\mathbb{F}_3$ で成り立つ）。核は $1 + \theta$ を含み、$N(1 + \theta) = (1 + \theta)(1 - \theta) = 3$ です。成分ごとに $r$ を施す写像 $M_2(\mathbb{Z}[\theta]) \to M_2(\mathbb{F}_3)$ も $r$ と書きます。

命題 3.1（GL₂(F₃) の可解性と切断）✓

1. 射影直線 $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_3)$ の 4 点への作用は同型 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3) = \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)/\{\pm 1\} \cong S_4$ を与える。したがって $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ は位数 $48$ の可解群である。
2. $a = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$、$b = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ は $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ を生成する。
3. $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}[\theta])$ の元 $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -\theta & -1 + \theta \end{pmatrix}$$ が生成する部分群 $\tilde G$ は有限群で、$r$ は同型 $\tilde G \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ を与える。その逆写像 $s : \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3) \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}[\theta]) \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ は、$r \circ s = \mathrm{id}$、$s(a) = A$、$s(b) = B$ を満たす群準同型である。

証明（命題 3.1）

1. $\#\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3) = (9 - 1)(9 - 3) = 48$（第 1 列は $0$ でないベクトル、第 2 列はその定数倍でないベクトル）。$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_3)$ は $\mathbb{F}_3^2$ の直線の集合で、$[1:0], [0:1], [1:1], [1:-1]$ の 4 点からなり、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ が置換として作用します。$[1:0]$ と $[0:1]$ を固定する行列は対角行列 $\mathrm{diag}(x, y)$ で、さらに $[1:1]$ を固定するなら $x = y$ なので、作用の核はスカラー行列 $\{\pm 1\}$ です。よって $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3)$ は $S_4$ の位数 $48/2 = 24$ の部分群、すなわち $S_4$ 全体に同型です。$S_4 \supset A_4 \supset V_4 \supset \{e\}$（$V_4$ は恒等置換と $(12)(34)$、$(13)(24)$、$(14)(23)$ からなる）は、$V_4$ が共役で保たれ（型 $2 + 2$ の置換の全体）、商の位数が $2, 3, 4$ でどれも可換なので、可解列です（定義 5.2［ガロア理論への招待］）。$\{\pm 1\}$ も可解なので、命題 6.1［群の作用と Sylow の定理］ の 3 により $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ は可解です。

2. $\mathbb{F}_3$ で計算すると $a^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$、$a^3 = 1$、$b^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$、$b^4 = -1$ です。$\Gamma = \langle a, b\rangle$ の $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_3) \cong S_4$ での像 $\bar\Gamma$ は、位数 $3$ の元（$a$ はスカラーでなく $a^3 = 1$）と位数 $4$ の元（$b^2$ はスカラーでなく $b^4$ はスカラー）を含むので、位数は $12$ の倍数です。位数 $12$ の部分群 $H \subset S_4$ は指数 $2$ なので正規で、$S_4/H$ の位数が $2$ だから位数 $3$ の元 8 個（3 次巡回置換）をすべて含みます。$A_4$ も同じ 8 個を含むので $\#(H \cap A_4) \ge 9$、これが $12$ の約数であることから $H = A_4$ です。$A_4$ は位数 $4$ の元（4 次巡回置換は奇置換）を含まないので、$\bar\Gamma = S_4$ です。$-1 = b^4 \in \Gamma$ なので $\Gamma = \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ です。

3. $\det A = 1$、$\det B = (-1 + \theta) - \theta = -1$ なので $A, B \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}[\theta])$ で、$r(A) = a$、$r(B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = b$ です。

有限性. Hermite 行列 $H = \begin{pmatrix} 2 & -1 - \theta \\ -1 + \theta & 2 \end{pmatrix}$（$\bar\theta = -\theta$）は $\det H = 4 - (1 + \theta)(1 - \theta) = 1 > 0$、対角成分が正なので正定値です。$M^* = \overline{M}^{\mathsf{T}}$ として $A^*HA = H$、$B^*HB = H$ を確かめます。$\theta^2 = -2$ を使って

$$HA = \begin{pmatrix} -1 + \theta & 2 \\ -1 - \theta & -1 + \theta \end{pmatrix}, \qquad A^*HA = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}HA = \begin{pmatrix} 2 & -1 - \theta \\ -1 + \theta & 2 \end{pmatrix},$$$$HB = \begin{pmatrix} \theta & 1 \\ -1 - \theta & -1 + \theta \end{pmatrix}, \qquad B^*HB = \begin{pmatrix} 1 & \theta \\ -1 & -1 - \theta \end{pmatrix}HB = \begin{pmatrix} 2 & -1 - \theta \\ -1 + \theta & 2 \end{pmatrix}.$$

（たとえば $HB$ の $(1,1)$ 成分は $2 + (-1 - \theta)(-\theta) = 2 + \theta + \theta^2 = \theta$、$(1,2)$ 成分は $-2 + (-1 - \theta)(-1 + \theta) = -2 + 3 = 1$、$B^*HB$ の $(2,1)$ 成分は $-\theta + (-1 - \theta)^2 = -\theta + (-1 + 2\theta) = -1 + \theta$。）したがって $\tilde G$ の元 $g$ はすべて $g^*Hg = H$ を満たします。$H$ の最小固有値を $c > 0$ とすると、$g$ の各列 $v$ について $c\|v\|^2 \le v^*Hv = 2$ なので、$g$ の成分 $x + y\theta$ は $x^2 + 2y^2 \le 2/c$ を満たし、有限個しかありません。よって $\tilde G$ は有限群です。

$r$ は $\tilde G$ 上で単射. 核に単位元でない元があれば、そのべきを取って素数位数 $\ell$ の元 $g$ があります（系 4.3［群の作用と Sylow の定理］）。$\pi = 1 + \theta$、$\bar\pi = 1 - \theta$ とおくと $3 = \pi\bar\pi$ で、$\bar\pi = 2 - \pi$ は $\pi$ で割り切れません（$\mathbb{Z}[\theta]/(\pi) \cong \mathbb{F}_3$ で $2 \ne 0$）。$r(g) = 1$ なので $g = 1 + \pi^mX$（$m \ge 1$、$X \in M_2(\mathbb{Z}[\theta])$、$r(X) \ne 0$）と書けます（$g - 1$ の成分はすべて $\ker r = (\pi)$ に属し、$g \ne 1$ なので成分を割り切る $\pi$ のべきの最大のものが取れる。$\ker r = (\pi)$ は、$a + b\theta = (a - b) + b\pi$ と $3 = \pi\bar\pi$ から従う）。二項展開で

$$1 = g^\ell = 1 + \ell\pi^mX + \sum_{j \ge 2}\binom{\ell}{j}\pi^{jm}X^j .$$

$\ell \ne 3$ のとき、$j \ge 2$ の項は $\pi^{m+1}$ で割り切れるので $\ell\pi^mX \equiv 0 \pmod{\pi^{m+1}}$、$\ell$ は $\mathbb{F}_3$ で $0$ でないので $r(X) = 0$ となり矛盾です。$\ell = 3$ のとき、$3\pi^mX = \bar\pi\pi^{m+1}X$、$3\pi^{2m}X^2$ は $\pi^{2m+1}$ で、$\pi^{3m}X^3$ は $\pi^{3m}$ で割り切れ、$m \ge 1$ から $2m + 1 \ge m + 2$、$3m \ge m + 2$ なので、$\bar\pi\pi^{m+1}X \equiv 0 \pmod{\pi^{m+2}}$、$r(\bar\pi) \ne 0$ から $r(X) = 0$ となり矛盾です。

以上から $r : \tilde G \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ は単射な準同型で、像は $r(A) = a$、$r(B) = b$ を含むので 2 により全射です。逆写像 $s$ が求める切断です。

∎

2 つの事実はどちらも $p = 3$ に特有です。たとえば $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_5)$ は非可換な単純群 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_5) \cong A_5$ を部分商にもつので可解でなく（命題 6.1［群の作用と Sylow の定理］ の 1・2）、Langlands–Tunnell の定理の仮定を満たしません。

3.2. Langlands–Tunnell の定理

定理 3.2（Langlands–Tunnell の定理と mod 3 表現の保型性）※

1. $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ を連続（有限次 Galois 拡大の Galois 群を経由する）で既約な表現とし、像 $\rho(G_{\mathbb{Q}})$ が可解群、$\det\rho(c) = -1$ であるとする。このとき重さ $1$ の新形式 $g = \sum b_nq^n$（レベル $N_g$、指標 $\psi_g$）があって、$N_g$ を割らないすべての素数 $\ell$ で $\rho$ は不分岐、$\rho(\mathrm{Frob}_\ell)$ の特性多項式は $X^2 - b_\ell X + \psi_g(\ell)$ である。
2. $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ を絶対既約な mod $3$ 表現で $\det\bar\rho = \bar\chi_3$ を満たすものとする。このとき $\bar\rho$ は保型的である。すなわち、ある $N \ge 1$ についてレベル $N$ で保型的（定義 6.1［フェルマーの最終定理 I］）である。

注意 3.3

主張のみ。 1 は Langlands（Base Change for GL(2), 1980。射影像が $A_4$ の場合と一般の底変換）と Tunnell（1981。$S_4$ の場合）によります。証明は $\mathrm{GL}_2$ の保型表現の巡回底変換を跡公式で確立するもので、本 1 冊分です。DDT では Theorem 3.9。可解性の仮定は、像が可解なら巡回拡大の塔で $\rho$ を 1 次元表現（類体論で扱える）まで下ろせるために要ります。

2 は 1 から次の 3 段で従います（DDT, Theorem 3.14 (a)。Wiles の論文の第 5 章の議論）。(i) 命題 3.1 の $s$ により $\rho = s \circ \bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}[\theta]) \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ を作る。像は可解群 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ の部分群と同型なので可解。$\rho$ が可約なら、有限群の複素表現は 1 次元表現の直和になり（定理 3.1［有限群の表現］）像が可換で、$\bar\rho$ も $\overline{\mathbb{F}}_3$ 上で共通の固有ベクトルをもって絶対既約性に反するので、$\rho$ は既約。$\det\rho(c) \in \{\pm 1\}$ は $\det\bar\rho(c) = -1$ に還元されるので $-1$。(ii) 1 により重さ $1$ の新形式 $g$ を得る。係数 $b_\ell = \mathrm{tr}\,\rho(\mathrm{Frob}_\ell)$ は $\mathbb{Z}[\theta]$ の元で、$r(b_\ell) = \mathrm{tr}\,\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell)$。(iii) 重さ $1$、指標 $\chi_{-3}$ の Eisenstein 級数 $E_{1,\chi_{-3}} = 1 + 6\sum_{n \ge 1}\bigl(\sum_{d \mid n}\chi_{-3}(d)\bigr)q^n \equiv 1 \pmod 3$ を掛けた $gE_{1,\chi_{-3}}$ は重さ $2$ の尖点形式で、$(1 + \theta)$ を法として $g$ と同じ $q$ 展開をもつ。$\psi_g = \det\rho = \chi_{-3}$ なので指標は自明になる。これは $(1 + \theta)$ を法としてのみ Hecke 固有形式だが、Deligne–Serre の持ち上げ補題により、同じ固有値を $(1+\theta)$ の上の素イデアルを法としてもつ本物の固有形式が同じ空間にある。(iii) の 2 つの事実（Eisenstein 級数の保型性と Deligne–Serre の補題）も Rikai にはありません。

1 が使われるのは鎖の中でここ 1 か所だけです。$p = 3$ で既約な $\bar\rho_{E,3}$ が保型的であることを、保型形式との関係を何も仮定せずに与えます。$p \ge 5$ では $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ が可解でないので、同じ議論はできません。Wiles の証明が $p = 3$ から出発し、$\bar\rho_{E,3}$ が可約な場合に $p = 5$ へ迂回する（$\S 9$）のはこのためです。

4. 変形と変形環

4.1. 係数環・変形・変形関手

以下 $p$ を奇素数、$K$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大、$\mathcal{O}$ をその整数環（完備離散付値環）、$\lambda$ を素元、$k = \mathcal{O}/\lambda$ を剰余体（有限体）とします。

ここで $G_{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ の代数的閉包の Galois 群です。mod $p$ 表現 $\bar\rho$ は、係数を有限体 $k$ に落とした粗い情報です。これに対し、係数を $\mathcal{O}/\lambda^2$、$\mathcal{O}/\lambda^3$、… と広げながら $\bar\rho$ を延ばしたものが持ち上げで、基底の取り替えで移り合うものを同じとみなした類が変形です。すべての段をまとめて扱うために、係数を環 $R$ にします。

定義 4.1（係数環と連続表現）↗

完備 Noether 局所環 $(R, \mathfrak{m}_R)$（定義 3.2［完備化と Artin–Rees の補題］）で、$\mathcal{O}$ 代数の構造をもち、構造射 $\mathcal{O} \to R$ が剰余体の同型 $k \to R/\mathfrak{m}_R$ を引き起こすものを係数環という。係数環の間の $\mathcal{O}$ 代数の準同型で極大イデアルを極大イデアルに写すものを射とし、この圏を $\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ と書く。$k[\varepsilon] = k[X]/(X^2)$（$\varepsilon$ は $X$ の類）は $\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ の対象である。

係数環 $R$ に対し、各 $R/\mathfrak{m}_R^n$ は有限環である。準同型 $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(R)$ が連続であるとは、すべての $n \ge 1$ について合成 $G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(R/\mathfrak{m}_R^n)$ が有限次 Galois 拡大の Galois 群を経由することをいう。

$R/\mathfrak{m}_R^n$ が有限なのは、$\mathfrak{m}_R^j/\mathfrak{m}_R^{j+1}$ が有限体 $k$ 上の有限次元ベクトル空間（$R$ は Noether 環）だからです。

定義 4.2（持ち上げ・変形・変形関手）↗

$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を mod $p$ 表現とする。係数環 $R$ への $\bar\rho$ の持ち上げとは、連続な準同型 $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(R)$ で、$\mathfrak{m}_R$ を法として $\bar\rho$ に一致するものをいう。2 つの持ち上げ $\rho, \rho'$ が、ある $U \in \ker\bigl(\mathrm{GL}_2(R) \to \mathrm{GL}_2(k)\bigr) = 1 + M_2(\mathfrak{m}_R)$ によって $\rho' = U\rho U^{-1}$ となるとき同値といい、同値類を $\bar\rho$ の変形という。$R$ への変形の集合を $D(R)$ と書く。射 $R \to R'$ は成分への適用で $D(R) \to D(R')$ を引き起こし、$D$ は $\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ から集合の圏への関手（変形関手）になる。持ち上げに条件 $\mathcal{P}$（共役と射による押し出しで保たれるもの）を課した部分関手を $D_{\mathcal{P}}$ と書く。

係数環 $R_{\mathcal{P}}$ と、その上の条件 $\mathcal{P}$ を満たす持ち上げ $\rho^{\mathrm{univ}}$ の組が普遍的であるとは、すべての係数環 $R$ について

$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_{\mathcal{O}}}(R_{\mathcal{P}}, R) \to D_{\mathcal{P}}(R), \qquad \varphi \mapsto [\varphi \circ \rho^{\mathrm{univ}}]$$

が全単射であることをいう。このとき $R_{\mathcal{P}}$ を普遍変形環という。

$\mathrm{Hom}(R_{\mathcal{P}}, \mathcal{O})$ の元が「$\mathcal{O}$ に値をもつ、条件 $\mathcal{P}$ を満たす $\bar\rho$ の持ち上げ（の同値類）」に 1 対 1 に対応する、というのが普遍性の中身です。$R_{\mathcal{P}}$ の $\mathcal{O}$ 値点を数えることが、持ち上げを数えることになります。

4.2. 接空間

$\bar\rho$ に対し、$\mathrm{ad}\,\bar\rho = M_2(k)$ に $G_{\mathbb{Q}}$ を $g \cdot X = \bar\rho(g)X\bar\rho(g)^{-1}$ で作用させた $G_{\mathbb{Q}}$ 加群を随伴表現といい、トレース $0$ の行列のなす部分加群を $\mathrm{ad}^0\bar\rho$ と書きます。$G_{\mathbb{Q}}$ 加群 $M$（有限群）について、交差準同型（定義 4.1［群のコホモロジーと群の拡大］）$f : G_{\mathbb{Q}} \to M$ で有限次 Galois 拡大の Galois 群を経由するもの（連続な交差準同型）の全体を $Z^1(G_{\mathbb{Q}}, M)$、主交差準同型の全体を $B^1(G_{\mathbb{Q}}, M)$ とし、$H^1(G_{\mathbb{Q}}, M) = Z^1/B^1$ とおきます。有限群については 命題 4.2［群のコホモロジーと群の拡大］ の $H^1$ と同じ形の定義です。

命題 4.3（変形関手の接空間）✓

$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を mod $p$ 表現とする。

1. 写像 $Z^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}\,\bar\rho) \to \{k[\varepsilon] \text{ への持ち上げ}\}$、$c \mapsto \rho_c$、$\rho_c(g) = (1 + \varepsilon c(g))\bar\rho(g)$ は全単射で、同値な持ち上げは差が $B^1$ に属する $c$ に対応する。したがって $D(k[\varepsilon]) \cong H^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}\,\bar\rho)$。
2. 行列式を固定する条件 $\det\rho = \det\bar\rho$ を課した関手 $D^0$ について、$D^0(k[\varepsilon]) \cong H^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}^0\bar\rho)$。
3. 条件 $\mathcal{P}$ つきの普遍変形環 $R_{\mathcal{P}}$ が存在するなら、$k$ ベクトル空間 $\mathfrak{m}_{R_{\mathcal{P}}}/(\lambda, \mathfrak{m}_{R_{\mathcal{P}}}^2)$ の双対と $D_{\mathcal{P}}(k[\varepsilon])$ の間に全単射 $$\mathrm{Hom}_k\bigl(\mathfrak{m}_{R_{\mathcal{P}}}/(\lambda, \mathfrak{m}_{R_{\mathcal{P}}}^2),\, k\bigr) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_{\mathcal{O}}}(R_{\mathcal{P}}, k[\varepsilon]) \cong D_{\mathcal{P}}(k[\varepsilon])$$ がある。

証明（命題 4.3）

1. $\mathrm{GL}_2(k[\varepsilon])$ の元で $\varepsilon$ を法として $\bar\rho(g)$ になるものは $(1 + \varepsilon X)\bar\rho(g)$（$X \in M_2(k)$）とただ 1 通りに書けます（$\bar\rho(g) + \varepsilon Y = (1 + \varepsilon Y\bar\rho(g)^{-1})\bar\rho(g)$）。したがって写像 $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k[\varepsilon])$ で $\bar\rho$ を持ち上げるものは、写像 $c : G_{\mathbb{Q}} \to M_2(k)$ と $\rho = \rho_c$ で 1 対 1 に対応します。$\varepsilon^2 = 0$ から

$$\rho_c(g)\rho_c(h) = (1 + \varepsilon c(g))\bar\rho(g)(1 + \varepsilon c(h))\bar\rho(h) = \bigl(1 + \varepsilon(c(g) + \bar\rho(g)c(h)\bar\rho(g)^{-1})\bigr)\bar\rho(gh)$$

なので、$\rho_c$ が準同型であることは $c(gh) = c(g) + g\cdot c(h)$、すなわち $c$ が交差準同型であることと同値です。$\rho_c$ が有限次 Galois 拡大 $F$ の Galois 群を経由することは、$\bar\rho$ がそうであることから、$c$ が（$F$ を大きく取り直して）そうであることと同値です。$U = 1 + \varepsilon X$ による共役は

$$(1 + \varepsilon X)(1 + \varepsilon c(g))\bar\rho(g)(1 - \varepsilon X) = \bigl(1 + \varepsilon(c(g) + X - \bar\rho(g)X\bar\rho(g)^{-1})\bigr)\bar\rho(g)$$

なので、$c$ を $c - (g \mapsto g\cdot X - X)$ に替えます。これは主交差準同型を引くことです。

2. $\det(1 + \varepsilon X) = 1 + \varepsilon\,\mathrm{tr}\,X$ なので、$\det\rho_c = \det\bar\rho$ は $c$ が $\mathrm{ad}^0\bar\rho$ に値をもつことと同値です。$p$ が奇数なので $X = X_0 + \frac{\mathrm{tr}\,X}{2}\cdot 1$（$\mathrm{tr}\,X_0 = 0$）と書け、スカラー行列は $g\cdot X - X$ に寄与しないので、$B^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}\,\bar\rho) = B^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}^0\bar\rho)$ です。よって $D^0(k[\varepsilon]) = Z^1(\mathrm{ad}^0\bar\rho)/B^1(\mathrm{ad}^0\bar\rho)$ です。

3. 2 番目の全単射は普遍性の定義です。1 番目を示します。$R = R_{\mathcal{P}}$ と書きます。$\mathcal{O} \to R/\mathfrak{m}_R$ が全射なので $R = \mathcal{O}\cdot 1 + \mathfrak{m}_R$ で、$\mathcal{O}\cdot 1 \cap \mathfrak{m}_R = \lambda\mathcal{O}\cdot 1$ です。$\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ の射 $\varphi : R \to k[\varepsilon]$ は $\mathfrak{m}_R$ を $\varepsilon k$ に、したがって $\mathfrak{m}_R^2$ を $0$ に写し、$\mathcal{O}$ 代数の準同型なので $\lambda$ を $0$ に写します。よって $\varphi|_{\mathfrak{m}_R}$ は $k$ 線形写像 $\ell_\varphi : \mathfrak{m}_R/(\lambda, \mathfrak{m}_R^2) \to \varepsilon k \cong k$ を定め、$\varphi(x\cdot 1 + m) = \bar x + \varepsilon\,\ell_\varphi(m)$（$x \in \mathcal{O}$、$m \in \mathfrak{m}_R$、$\bar x$ は $k$ での像）から $\varphi$ は $\ell_\varphi$ で決まります。逆に $k$ 線形写像 $\ell$ に対し同じ式で $\varphi$ を定めると、$x\cdot 1 + m$ の表示の不定性は $\lambda\mathcal{O}$ の分だけで、そこでは両辺とも $0$ なので矛盾なく定まり、積を保つこと（$\varphi\bigl((x + m)(x' + m')\bigr) = \bar x\bar x' + \varepsilon(\bar x\ell(m') + \bar x'\ell(m))$、$mm' \in \mathfrak{m}_R^2$）も確かめられます。

∎

この同一視によって $D_{\mathcal{P}}(k[\varepsilon])$ は $k$ ベクトル空間になります。これを $\bar\rho$ の（条件 $\mathcal{P}$ つきの）変形の接空間といいます。$R_{\mathcal{P}}$ の「次元」を上から抑える量が Galois コホモロジーで書けた、というのがこの命題の意味です。

命題 4.4（普遍変形環の生成元の個数）✓

条件 $\mathcal{P}$ つきの普遍変形環 $R_{\mathcal{P}}$ が存在するとし、$d = \dim_k D_{\mathcal{P}}(k[\varepsilon])$ とする。このとき $d < \infty$ で、$\mathcal{O}$ 代数の全射準同型 $\mathcal{O}[[x_1, \ldots, x_d]] \to R_{\mathcal{P}}$ が存在する（$R_{\mathcal{P}}$ は $\mathcal{O}$ 上 $d$ 個の元で位相的に生成される）。

証明（命題 4.4）

$R = R_{\mathcal{P}}$、$\mathfrak{m} = \mathfrak{m}_R$ とします。$R$ は Noether 環なので $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $k$ 上有限次元で、その商 $\mathfrak{m}/(\lambda, \mathfrak{m}^2)$ も有限次元、命題 4.3 の 3 からその次元が $d$ です。$t_1, \ldots, t_d \in \mathfrak{m}$ を、像が $\mathfrak{m}/(\lambda, \mathfrak{m}^2)$ の基底になるように取ります。すると $\lambda, t_1, \ldots, t_d$ の像は $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ を $k$ 上生成するので、中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の 3）により $\mathfrak{m} = (\lambda, t_1, \ldots, t_d)$ です。

補題 6.5［完備化と Artin–Rees の補題］ を、係数環 $\mathcal{O}$、$B = R$、$J = \mathfrak{m}$ に 2 通りに使います。まず $d + 1$ 個の元 $\lambda, t_1, \ldots, t_d$ について: $J = (\lambda, t_1, \ldots, t_d)$、$R = \mathcal{O}\cdot 1 + \mathfrak{m}$ なので、$x_0 \mapsto \lambda$、$x_i \mapsto t_i$ となる全射 $\Phi : \mathcal{O}[[x_0, \ldots, x_d]] \to R$ があります。次に $d$ 個の元 $t_1, \ldots, t_d$ について、$x_i \mapsto t_i$ となる準同型 $\psi : \mathcal{O}[[x_1, \ldots, x_d]] \to R$ があります。$F = \sum_{j, \alpha}c_{j,\alpha}x_0^jx^\alpha \in \mathcal{O}[[x_0, \ldots, x_d]]$ に対し、$c'_\alpha = \sum_j c_{j,\alpha}\lambda^j \in \mathcal{O}$（$\mathcal{O}$ は $\lambda$ 進完備なので収束する）、$F' = \sum_\alpha c'_\alpha x^\alpha$ とおきます。補題の合同式から、すべての $n$ について

$$\Phi(F) \equiv \sum_{j + |\alpha| < n}c_{j,\alpha}\lambda^jt^\alpha, \qquad \psi(F') \equiv \sum_{|\alpha| < n}c'_\alpha t^\alpha \equiv \sum_{|\alpha| < n}\sum_{j < n}c_{j,\alpha}\lambda^jt^\alpha \pmod{\mathfrak{m}^n}$$

で、右辺どうしの差は $j + |\alpha| \ge n$ の項（$\lambda^jt^\alpha \in \mathfrak{m}^n$）だけなので $\Phi(F) \equiv \psi(F') \pmod{\mathfrak{m}^n}$ です。$R$ は完備なので $\bigcap_n\mathfrak{m}^n = 0$、よって $\Phi(F) = \psi(F')$ です。$\Phi$ が全射なので $\psi$ も全射です。

∎

4.3. 存在定理と型 Σ の変形

Wiles の議論で使う条件 $\mathcal{P}$ は、素数ごとの局所的な条件の組です。$G_p$、$I_p$ は前章の分解群と惰性群（定義 4.8［フェルマーの最終定理 I］）、$\chi_p$ は $p$ 進円分指標（$\mathbb{Z}_p^\times \to \mathcal{O}^\times \to R^\times$ と合成して $R^\times$ に値をもつと見る）です。

定義 4.5（p での条件と型 Σ の持ち上げ）↗

$R$ を係数環、$\rho : G_p \to \mathrm{GL}_2(R)$ を連続な準同型とする。

• $\rho$ が良い（good）とは、$\det\rho|_{I_p} = \chi_p$ であり、すべての $n$ について $G_p$ 加群 $(R/\mathfrak{m}_R^n)^2$ が $\mathbb{Z}_p$ 上のある有限平坦群スキームの $\overline{\mathbb{Q}}_p$ 値点と同型であることをいう。
• $\rho$ が通常（ordinary）とは、適当な基底で $\rho|_{I_p} = \begin{pmatrix} \chi_p & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となり、その第 1 基底ベクトルの張る直線が $G_p$ で保たれることをいう。
• $\rho$ が半安定とは、良いか通常であることをいう。

mod $p$ 表現 $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ は、次の基本仮定を満たすとする: (a) 絶対既約、(b) $\det\bar\rho = \bar\chi_p$、(c) $\bar\rho|_{G_p}$ は半安定、(d) 素数 $\ell \ne p$ について $\#\bar\rho(I_\ell)$ は $p$ を割る（$1$ か $p$）。

$\Sigma$ を素数の有限集合とする。$\bar\rho$ の持ち上げ $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(R)$ が型 $\Sigma$ であるとは、次を満たすことをいう。

1. $\det\rho = \chi_p$。
2. $\rho|_{G_p}$ は半安定。$p \notin \Sigma$ で $\bar\rho|_{G_p}$ が良いなら、$\rho|_{G_p}$ も良い。
3. $\ell \notin \Sigma \cup \{p\}$ で $\bar\rho$ が $\ell$ で不分岐なら、$\rho$ も $\ell$ で不分岐。
4. $\ell \notin \Sigma \cup \{p\}$ なら、適当な基底で $\rho|_{I_\ell} = \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。

$\Sigma = \emptyset$ の場合を極小という。$\Sigma_{\bar\rho}$ を、「$\ell = p$ で $\bar\rho|_{G_p}$ が良くかつ通常」または「$\ell \ne p$ で $\bar\rho$ が $\ell$ で不分岐」を満たす素数 $\ell$ の集合とする。

型 $\Sigma$ は「$\Sigma$ の素数では $\bar\rho$ より多く分岐してよいが、それ以外の素数では $\bar\rho$ と同じ程度にしか分岐しない」という条件です。$\Sigma \subseteq \Sigma'$ なら型 $\Sigma$ の持ち上げは型 $\Sigma'$ でもあります。半安定な楕円曲線 $E$ で $\bar\rho_{E,p}$ が既約なら、$\bar\rho_{E,p}$ は基本仮定を満たし（(b) は前章の 命題 4.6［フェルマーの最終定理 I］、(d) は 命題 5.8［フェルマーの最終定理 I］ と良い還元での不分岐性、(c) は DDT, Proposition 2.23）、$\rho_{E,p}$ は、$\Sigma$ が $E$ の悪い還元の素数をすべて含めば型 $\Sigma$ の持ち上げです。条件 (a)〜(d) と 1〜4 は DDT の §2.7 のものです。

各条件の役割を先に言うと、「良い」は $p$ での局所的な振る舞いが有限平坦な群スキームから来ること、「通常」は $G_p$ の作用が上三角になること、「基本仮定」(a)〜(d) は Wiles の議論が使える範囲を決める $\bar\rho$ への仮定です。型 $\Sigma$ は、持ち上げにどこまで分岐を許すかを素数ごとに指定するものです。

次の定理のねらいは、変形環 $R_\Sigma$ の大きさを Galois コホモロジーの群で測れるようにすることです。ここで Selmer 群とは、$H^1$ の類のうち、各素数での局所条件（型 $\Sigma$）を満たすもののなす部分群のことです。

定理 4.6（普遍変形環の存在）※

$\bar\rho$ が 定義 4.5 の基本仮定を満たすとし、$\Sigma$ を素数の有限集合とする。

1. 型 $\Sigma$ の持ち上げの普遍的な組 $(R_\Sigma, \rho_\Sigma^{\mathrm{univ}})$ が存在する。
2. 接空間 $D_\Sigma(k[\varepsilon])$ は、命題 4.3 の同一視で $H^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}^0\bar\rho)$ の有限次元部分空間 $H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\bar\rho)$（対応する $k[\varepsilon]$ への持ち上げが型 $\Sigma$ である類の全体。Selmer 群）に対応する。
3. $\mathcal{O}$ 代数の全射 $\theta : R_\Sigma \to \mathcal{O}$ に対し、$\rho = \theta \circ \rho_\Sigma^{\mathrm{univ}}$、$\mathfrak{p} = \ker\theta$ とおくと、$\mathcal{O}$ 加群の同型 $$\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^2, K/\mathcal{O}) \cong H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\rho \otimes K/\mathcal{O})$$ がある。右辺は、各 $n$ について $\mathcal{O}[\varepsilon]/(\lambda^n\varepsilon, \varepsilon^2)$ への $\rho$ の型 $\Sigma$ の持ち上げを分類する群 $H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\rho \otimes \lambda^{-n}/\mathcal{O})$ の、$n$ についての合併である。

注意 4.7

主張のみ。 条件なしの普遍変形環の存在は B. Mazur, “Deforming Galois representations”（Galois Groups over $\mathbb{Q}$, MSRI Publications 16, Springer, 1989）によります。絶対既約性は、$\bar\rho$ と可換な行列がスカラーだけであること（Schur の補題）を通じて使われ、これがないと変形関手は一般に表現可能でありません（演習 12.2）。局所条件つきの場合は Ramakrishna の観察によります。証明には、$S$ の外で不分岐な Galois 群 $G_{\mathbb{Q},S}$ の $p$ 進的な有限性（$H^1(G_{\mathbb{Q},S}, \mathrm{ad}\,\bar\rho)$ が有限次元であること。Hermite–Minkowski の定理による）と、有限平坦群スキームの圏が部分・商・直積で閉じていること（Raynaud）が要ります。出典: DDT, Theorem 2.36（一般の条件）、Theorem 2.41（型 $\Sigma$。(b) が上の 2 と 命題 4.4、(c) が上の 3）、Lemma 2.39・Lemma 2.40。3 は 2 と同じ計算（命題 4.3 の $k[\varepsilon]$ を $\mathcal{O}[\varepsilon]/(\lambda^n\varepsilon, \varepsilon^2)$ に替えたもの）で、Wiles が導入した形です。

3 が証明全体の要です。$\rho$ が $\mathcal{O}$ に値をもつ型 $\Sigma$ の持ち上げ（たとえば新形式 $f$ の $\rho_f$）のとき、$R_\Sigma$ の点 $\theta$ での余接空間 $\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^2$ の大きさが、Selmer 群 $H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\rho \otimes K/\mathcal{O})$ の位数に等しくなります。以下

$$\Phi_\Sigma := \mathfrak{p}_\Sigma/\mathfrak{p}_\Sigma^2$$

と書きます。$\#\Phi_\Sigma$ を上から抑えることが「$R_\Sigma$ は大きすぎない」ことの証明になります。

5. Hecke 環

5.1. Hecke 作用素

行列式が正の整数行列 $\beta = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と $\mathbb{H}$ 上の関数 $f$ に対し $(f|\beta)(\tau) = \det(\beta)\,(c\tau + d)^{-2}f(\beta\cdot\tau)$ とおきます（重さ $2$ の作用）。$\beta \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ なら 定義 5.9［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の $f|_2\beta$ と同じもので、$(f|\beta)|\beta' = f|(\beta\beta')$ が成り立ちます（保型因子の連鎖律 $j(\beta\beta', \tau) = j(\beta, \beta'\tau)j(\beta', \tau)$ と行列式の乗法性。計算は 補題 10.8［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の証明の冒頭と同じ）。素数 $\ell$ に対し

$$B_\ell = \Bigl\{\beta_\infty = \begin{pmatrix} \ell & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\Bigr\} \cup \Bigl\{\beta_j = \begin{pmatrix} 1 & j \\ 0 & \ell \end{pmatrix} \Bigm| 0 \le j < \ell\Bigr\}, \qquad T_\ell f = \sum_{\beta \in B_\ell} f|\beta$$

と定めます。すなわち $(T_\ell f)(\tau) = \ell f(\ell\tau) + \frac{1}{\ell}\sum_{j=0}^{\ell-1}f\bigl(\frac{\tau + j}{\ell}\bigr)$ です。

定理 5.1（S₂(Γ₀(N)) の有限次元性と整構造）※

$N \ge 1$ とする。$S_2(\Gamma_0(N))$ は有限次元の複素ベクトル空間で、$q$ 展開の係数がすべて整数である元からなる基底をもつ。

注意 5.2

主張のみ。 有限次元性は $S_2(\Gamma_0(N))$ がコンパクト Riemann 面 $X_0(N)$ の正則微分形式の空間と同一視できること（DDT, Lemma 1.12・Corollary 1.13）、整数係数の基底の存在はモジュラー曲線の $\mathbb{Z}$ 上のモデル、または $H^1(X_0(N), \mathbb{Z})$ への Hecke 作用素の作用（Eichler–志村の同型）によります（DDT, Theorem 1.31。Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, 第 3 章）。どちらもコンパクト Riemann 面の理論を要し、Rikai にありません。

命題 5.3（Hecke 作用素の可換性と Hecke 環の有限性）✓

$N \ge 1$ とし、$\ell, \ell'$ を $N$ を割らない素数とする。

1. $f = \sum_{n \ge 1}a_nq^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ なら $T_\ell f \in S_2(\Gamma_0(N))$ で、 $$T_\ell f = \sum_{n \ge 1}\bigl(a_{\ell n} + \ell\,a_{n/\ell}\bigr)q^n \qquad (\ell \nmid n \text{ のとき } a_{n/\ell} = 0).$$
2. $T_\ell T_{\ell'} = T_{\ell'}T_\ell$。
3. 定理 5.1 を仮定する。$T_\ell$（$\ell \nmid N$ は素数）の全体が $\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(S_2(\Gamma_0(N)))$ の中で生成する $\mathbb{Z}$ 上の部分環 $\mathbb{T}(N)$ は可換で、$\mathbb{Z}$ 加群として有限生成な自由加群である。とくに各 $T_\ell$ の固有値は代数的整数である。

証明（命題 5.3）

1. $q$ 展開。 $\ell f(\ell\tau) = \sum_n\ell a_nq^{\ell n}$。また $\frac{1}{\ell}\sum_{j=0}^{\ell-1}e^{2\pi in(\tau + j)/\ell} = e^{2\pi in\tau/\ell}\cdot\frac{1}{\ell}\sum_j e^{2\pi inj/\ell}$ で、最後の和は $\ell \mid n$ なら $\ell$、そうでなければ $0$ なので、$\frac{1}{\ell}\sum_jf\bigl(\frac{\tau + j}{\ell}\bigr) = \sum_{\ell \mid n}a_nq^{n/\ell} = \sum_m a_{\ell m}q^m$ です。足して主張の式を得ます（収束は $\mathbb{H}$ 上の広義一様収束で、項別の計算は正当です）。

1. 剰余類の入れ替え。 次を示します: $\gamma \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ と $\beta \in B_\ell$ に対し、$\beta\gamma = \gamma'\beta'$ となる $\gamma' \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$、$\beta' \in B_\ell$ があり、$\gamma$ を固定すると $\beta \mapsto \beta'$ は $B_\ell$ の全単射である。さらに $\gamma \in \Gamma_0(N)$ なら $\gamma' \in \Gamma_0(N)$ である。

$M = \beta\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ は行列式 $\ell$ の整数行列です。$g = \gcd(a, c)$ とおくと $g \mid ad - bc = \ell$ なので $g \in \{1, \ell\}$ です。$u\frac{a}{g} + v\frac{c}{g} = 1$ となる整数 $u, v$ を取り（定理 2.2［合同式とフェルマーの小定理］）、$\gamma_1 = \begin{pmatrix} u & v \\ -c/g & a/g \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ とすると、$\gamma_1M = \begin{pmatrix} g & b_1 \\ 0 & \ell/g \end{pmatrix}$ です。$g = \ell$ なら左から $\begin{pmatrix} 1 & -b_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ を掛けて $\beta_\infty$ に、$g = 1$ なら $b_1 + n\ell = j \in [0, \ell)$ となる $n$ で $\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ を掛けて $\beta_j$ にできます。よって $M = \gamma'\beta'$ と書けます。単射性: $\beta_1\gamma = \gamma_1'\beta'$、$\beta_2\gamma = \gamma_2'\beta'$ なら $\beta_1\beta_2^{-1} = \gamma_1'\gamma_2'^{-1} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ ですが、$\beta_j\beta_i^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & (j - i)/\ell \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$、$\beta_\infty\beta_j^{-1} = \begin{pmatrix} \ell & -j \\ 0 & 1/\ell \end{pmatrix}$ は $\beta_1 = \beta_2$ のときしか整数行列になりません。有限集合の単射なので全単射です。$\gamma \in \Gamma_0(N)$ のとき、$\beta$ は上三角なので $M$ の左下成分 $c$ は $N$ の倍数です。$\beta' = \begin{pmatrix} a' & b' \\ 0 & d' \end{pmatrix}$ とすると $\gamma' = M\beta'^{-1}$ の左下成分は $cd'/\ell$ で、これは整数、かつ $N \mid cd'$、$\gcd(N, \ell) = 1$ なので $N$ の倍数です。

1. 保型性と尖点での条件。 $T_\ell f$ は $\mathbb{H}$ 上正則です。$\gamma \in \Gamma_0(N)$ について

$$(T_\ell f)|\gamma = \sum_{\beta}f|(\beta\gamma) = \sum_{\beta}(f|\gamma')|\beta' = \sum_{\beta'}f|\beta' = T_\ell f$$

（$f|\gamma' = f$ と全単射性）。次に $g \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ を任意に取り、$F = (T_\ell f)|g = \sum_\beta(f|\gamma'_\beta)|\beta'_\beta$ とします。$f$ は尖点形式なので各 $h = f|\gamma'_\beta$ は $\sum_{n \ge 1}b_ne^{2\pi in\tau/N}$ と展開でき、$\mathrm{Im}\,\tau \to \infty$ で $\mathrm{Re}\,\tau$ について一様に $0$ に収束します。$\beta' = \begin{pmatrix} a' & b' \\ 0 & d' \end{pmatrix}$ について $(h|\beta')(\tau) = \frac{a'}{d'}h\bigl(\frac{a'\tau + b'}{d'}\bigr)$ も同じ性質をもつので、$F(\tau) \to 0$ です。$gT^Ng^{-1} \equiv 1 \pmod N$ は $\Gamma_0(N)$ の元なので $F|T^N = (T_\ell f)|(gT^Ng^{-1})g = F$、すなわち $F(\tau + N) = F(\tau)$ で、$F(\tau) = G(e^{2\pi i\tau/N})$ となる穴あき円板上の正則関数 $G$ が定まり、$G$ は原点の近くで有界で $0$ に収束するので、定理 3.3［留数定理と定積分への応用］ により $G(0) = 0$ として原点に正則に延びます。よって $F = \sum_{n \ge 1}b'_ne^{2\pi in\tau/N}$ で、$T_\ell f \in S_2(\Gamma_0(N))$ です。

2. $\ell = \ell'$ なら自明です。$\ell \ne \ell'$ のとき、1 の公式を 2 回使うと $T_{\ell'}T_\ell f$ の $q^n$ の係数は

$$(T_\ell f)_{\ell'n} + \ell'(T_\ell f)_{n/\ell'} = a_{\ell\ell'n} + \ell\,a_{\ell'n/\ell} + \ell'\,a_{\ell n/\ell'} + \ell\ell'\,a_{n/(\ell\ell')}$$

（割り切れない添字の項は $0$。$\ell \mid \ell'n \iff \ell \mid n$）で、$\ell$ と $\ell'$ について対称です。

3. $V = S_2(\Gamma_0(N))$、$L = \{f \in V \mid \text{すべての } a_n(f) \in \mathbb{Z}\}$ とおきます。$V_M = \{f \in V \mid a_1 = \cdots = a_M = 0\}$ は $M$ について減少する部分空間の列で、共通部分は $0$（$q$ 展開が $0$ なら $f = 0$）、$V$ は有限次元なので、ある $M$ で $V_M = 0$ です。すると $f \mapsto (a_1(f), \ldots, a_M(f))$ は $L$ から $\mathbb{Z}^M$ への単射な加法的写像で、$L$ は $\mathbb{Z}^M$ の部分加群と同型なので有限生成自由 $\mathbb{Z}$ 加群です（定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］）。1 の公式から $T_\ell L \subseteq L$ です。仮定により $L$ は $V$ の $\mathbb{C}$ 上の基底を含むので、$L$ の上で $0$ である $V$ の線形写像は $0$ で、制限 $\mathbb{T}(N) \to \mathrm{End}_{\mathbb{Z}}(L)$ は単射な環準同型です。$\mathrm{End}_{\mathbb{Z}}(L)$ は $L$ の階数を $m$ として $M_m(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{m^2}$ なので、その部分加群 $\mathbb{T}(N)$ も有限生成自由です。可換性は 2 によります。$T_\ell$ は $L$ の基底に関して整数行列で表されるので、固有値はモニックな整数係数多項式（特性多項式）の根、すなわち代数的整数です。

∎

例 5.4（レベル 1・重さ 12 の場合）

重さ $12$、レベル $1$ では $T_\ell f = \sum_n(a_{\ell n} + \ell^{11}a_{n/\ell})q^n$ が $S_{12}(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))$ に作用します（証明は上と同じ形）。この空間は判別式形式 $\Delta = \sum\tau(n)q^n = q - 24q^2 + 252q^3 - 1472q^4 + \cdots$ が張る 1 次元の空間なので（$f \in S_{12}$ に対し $f - a_1(f)\Delta$ は $\mathrm{ord}_\infty \ge 2$ で、位数公式の右辺 $12/12 = 1$ を超えるから $0$）、$T_\ell\Delta = c\Delta$ で、$q$ の係数を比べて $c = \tau(\ell)$ です。$q^n$ の係数を比べると

$$\tau(\ell)\tau(n) = \tau(\ell n) + \ell^{11}\tau(n/\ell)$$

で、$\ell = n = 2$ なら $(-24)^2 = 576 = -1472 + 2048$ と確かめられます。Ramanujan が見つけた $\tau$ の乗法性は、Hecke 作用素の固有ベクトルであることの言い換えです。

5.2. 環 T_Σ と合同イデアル

以下 $\bar\rho$ は 定義 4.5 の基本仮定を満たし、さらに保型的とします。$\Sigma \subseteq \Sigma_{\bar\rho}$ を有限集合とします。

Hecke 環 $\mathbb{T}_\Sigma$ は、保型形式の側の大きさを測る環です。合同イデアルは、ひとつの形式 $f$ が他の形式と $\lambda$ を法としてどれだけ深く合同かを測る量で、次節の数値的判定法の右辺になります。

定義 5.5（Hecke 環 $T_Σ$・合同イデアル）↗

$\mathcal{N}_\Sigma$ を、重さ $2$ の新形式 $f$ で、付随する $p$ 進表現 $\rho_f$（定理 6.2［フェルマーの最終定理 I］）が $\bar\rho$ の型 $\Sigma$ の持ち上げと同値で、レベル $N_f$ が $p^2$ で割り切れないものの集合とする。$\mathcal{N}_\Sigma$ は有限集合である。$K$ を大きく取って、$\mathcal{N}_\Sigma$ の元の Fourier 係数がすべて $\mathcal{O}$ に入るとする。$\Sigma$ に属さず $pN(\bar\rho)$ を割らない素数 $\ell$ に対し

$$T_\ell = \bigl(a_\ell(f)\bigr)_{f \in \mathcal{N}_\Sigma} \in \prod_{f \in \mathcal{N}_\Sigma}\mathcal{O}$$

とおき、これらが生成する $\mathcal{O}$ 部分代数を $\mathbb{T}_\Sigma$ と書く。$f \in \mathcal{N}_\Sigma$ に対し、$f$ 成分への射影を $\pi_f : \mathbb{T}_\Sigma \to \mathcal{O}$ とし、

$$\eta_\Sigma = \pi_f\bigl(\mathrm{Ann}_{\mathbb{T}_\Sigma}(\ker\pi_f)\bigr) \subseteq \mathcal{O}$$

を（$f$ に関する）合同イデアルという。

$\mathrm{Ann}(\ker\pi_f)$ は「$f$ 以外の成分がすべて $0$ である $\mathbb{T}_\Sigma$ の元」の全体で、$\eta_\Sigma$ はそのような元の $f$ 成分の全体です。$\eta_\Sigma = \mathcal{O}$ は $(1, 0, \ldots, 0) \in \mathbb{T}_\Sigma$、つまり $f$ が他のどの $g \in \mathcal{N}_\Sigma$ とも「Hecke 固有値が $\lambda$ を法として合同」という関係で結ばれていないことを意味し、$\eta_\Sigma$ が小さいほど $f$ は他の形式と深く合同です。$\Sigma$ を大きくすると比べる相手が増えるので $\eta_\Sigma$ は小さくなります。

定理 5.6（$T_Σ$ に値をもつ表現と全射 $R_Σ → T_Σ$）※

上の設定で次が成り立つ。

1. $\mathcal{N}_\Sigma \ne \emptyset$。$\mathbb{T}_\Sigma$ は係数環（$\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ の対象）で、$\mathcal{O}$ 加群として有限生成自由、被約である。したがって $\eta_\Sigma \ne 0$。
2. $\bar\rho$ の型 $\Sigma$ の持ち上げ $\rho_\Sigma^{\mathrm{mod}} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{T}_\Sigma)$ で、$\Sigma$ に属さず $pN(\bar\rho)$ を割らないすべての素数 $\ell$ で不分岐、$\mathrm{tr}\,\rho_\Sigma^{\mathrm{mod}}(\mathrm{Frob}_\ell) = T_\ell$ となるものが存在する。$\pi_f \circ \rho_\Sigma^{\mathrm{mod}}$ は $\rho_f$ と同値である。
3. 普遍性から定まる射 $\phi_\Sigma : R_\Sigma \to \mathbb{T}_\Sigma$（$\phi_\Sigma \circ \rho_\Sigma^{\mathrm{univ}}$ が $\rho_\Sigma^{\mathrm{mod}}$ と同値）は全射である。
4. $\mathcal{O}$ 代数の準同型 $\mathbb{T}_\Sigma \to \mathcal{O}$ は、ある $f \in \mathcal{N}_\Sigma$ の $\pi_f$ に限る。

注意 5.7

主張のみ。 出典: DDT, Lemma 3.26・Lemma 3.27・Remark 3.33。1 の $\mathcal{N}_\Sigma \ne \emptyset$ は、保型的な $\bar\rho$ が最適なレベルの新形式から来ること（前章の 注意 6.8［フェルマーの最終定理 I］ で述べた DDT, Theorem 3.15。Ribet の定理を含む）によります。つまりレベル下げは、フェルマーの最終定理の導出だけでなく、Wiles の定理の証明の中でも（極小のレベルに形式があることを保証するために）使われます。 2 は、各 $f$ の $\rho_f$ を並べた $\prod_f\mathrm{GL}_2(\mathcal{O})$ への表現が、基底をうまく選ぶと部分環 $\mathbb{T}_\Sigma$ に値をもつことを、トレースが $\mathbb{T}_\Sigma$ に入ること（Chebotarev の密度定理）と $\bar\rho$ の既約性から示します。3 は 2 から従います: $\phi_\Sigma$ の像は $\phi_\Sigma\bigl(\mathrm{tr}\,\rho_\Sigma^{\mathrm{univ}}(\mathrm{Frob}_\ell)\bigr) = T_\ell$ を含み、$\mathbb{T}_\Sigma$ は $T_\ell$ で $\mathcal{O}$ 上生成されるからです。全射性は「保型的な持ち上げは持ち上げである」という自明な向きで、難しいのは単射性です。

6. 数値的判定法

この節のねらいは、全射 $R_\Sigma \to \mathbb{T}_\Sigma$ が同型であることを、2 つの有限な数の大小比較に置き換えることです。有限集合の間の全射で、元の数が定義域の方が多くなければ全単射になる、という状況に似ています。ただし環の場合は、2 つの数が等しくなるのは、同型で完全交叉のときに限る、という形で述べられます。左の数は Galois 側（$R$ の余接空間の大きさ）、右の数は保型側（合同イデアルの大きさ）です。

定義 6.1（添加つき係数環・完全交叉）↗

係数環 $A$ と $\mathcal{O}$ 代数の全射 $\pi_A : A \to \mathcal{O}$ の組を添加つき係数環といい、

$$\mathfrak{p}_A = \ker\pi_A, \qquad \Phi_A = \mathfrak{p}_A/\mathfrak{p}_A^2, \qquad \eta_A = \pi_A\bigl(\mathrm{Ann}_A(\mathfrak{p}_A)\bigr)$$

とおく。添加と両立する係数環の射を添加つき係数環の射という。$\mathcal{O}$ 加群として有限生成自由な係数環 $A$ が完全交叉であるとは、ある $r \ge 0$ と $f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]]$ について $A \cong \mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]]/(f_1, \ldots, f_r)$ となること（生成元と関係式の個数が等しいこと）をいう。

この完全交叉の定義は、正則局所環 $\mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]]$ を正則列で割った環という一般の定義（定義 6.6［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）と一致します（$A$ が $\mathcal{O}$ 上有限なら $f_1, \ldots, f_r$ は自動的に正則列になる。DDT, Lemma 5.11）。完全交叉環は Gorenstein 環（定義 10.1［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）で、いまの状況では $\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(A, \mathcal{O}) \cong A$（$A$ 加群として）を意味します。

定理 6.2（数値的判定法（Wiles–Lenstra））※

$\phi : R \to T$ を添加つき係数環の全射とし、$T$ は $\mathcal{O}$ 加群として有限生成自由、$\eta_T \ne 0$ とする。次の 3 条件は同値である。

• (a) $\#\Phi_R \le \#(\mathcal{O}/\eta_T)$。
• (b) $\#\Phi_R = \#(\mathcal{O}/\eta_T)$。
• (c) $\phi$ は同型で、$R$ と $T$ は完全交叉である。

注意 6.3

主張のみ。 Wiles の論文の付録の判定法（$T$ が Gorenstein であることを仮定していた）を、H. W. Lenstra がその仮定なしの形に改良したものです。出典: DDT, Theorem 3.40 と Theorem 5.3（証明は同 §5.1〜§5.8）。証明は可換環論だけでできていますが、Fitting イデアル、Koszul 複体、完全交叉環に対する Tate の定理（$\#\Phi_A = \#(\mathcal{O}/\eta_A)$）を使う 10 ページほどの議論で、これらの道具が Rikai にないため主張のみとします。つねに成り立つのは $\#\Phi_R \ge \#\Phi_T \ge \#(\mathcal{O}/\eta_T)$ で（第 1 の不等号は $\phi$ が全射 $\Phi_R \to \Phi_T$ を引き起こすことから）、定理は「等号が成り立つのは、ちょうど $R \cong T$ が完全交叉のとき」と述べています。

$R = R_\Sigma$、$T = \mathbb{T}_\Sigma$、$\phi = \phi_\Sigma$、$\pi_T = \pi_f$ に使うと、(a) は

$$\#H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\rho_f \otimes K/\mathcal{O}) \le \#(\mathcal{O}/\eta_\Sigma)$$

という不等式です（定理 4.6 の 3）。左辺は Galois コホモロジーの量（Selmer 群の位数）、右辺は保型形式の間の合同を測る量で、この不等式 1 本が $R_\Sigma \cong \mathbb{T}_\Sigma$ と同値になります。Wiles の方針は、$R$ と $\mathbb{T}$ を直接比べる代わりにこの数値の比較に帰着させることでした。

補題 6.4（判定法の自明な場合）✓

$(R, \pi_R)$ を添加つき係数環、$T = \mathcal{O}$、$\pi_T = \mathrm{id}$、$\phi = \pi_R$ とする。このとき $\eta_T = \mathcal{O}$ で、定理 6.2 の 3 条件はどれも「$\mathfrak{p}_R = 0$」と同値である。とくにこの場合、定理は成り立つ。

証明（補題 6.4）

$\mathfrak{p}_T = \ker(\mathrm{id}) = 0$ なので $\mathrm{Ann}_T(\mathfrak{p}_T) = \mathcal{O}$、$\eta_T = \mathcal{O}$、$\#(\mathcal{O}/\eta_T) = 1$ です。よって (a) も (b) も $\Phi_R = 0$、すなわち $\mathfrak{p}_R = \mathfrak{p}_R^2$ を意味します。$\mathfrak{p}_R \subseteq \mathfrak{m}_R$（$\pi_R$ は局所環の射）なので $\mathfrak{p}_R^2 \subseteq \mathfrak{m}_R\mathfrak{p}_R \subseteq \mathfrak{p}_R$ で、$\mathfrak{p}_R = \mathfrak{p}_R^2$ なら $\mathfrak{p}_R = \mathfrak{m}_R\mathfrak{p}_R$ です。$R$ は Noether 環なので $\mathfrak{p}_R$ は有限生成で、中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の 1）から $\mathfrak{p}_R = 0$ です。逆に $\mathfrak{p}_R = 0$ なら $\Phi_R = 0$ です。(c): $\phi = \pi_R$ は全射なので、同型であることは $\mathfrak{p}_R = \ker\pi_R = 0$ と同値です。そのとき $R \cong \mathcal{O}$ は $r = 0$ の完全交叉（$\mathcal{O}[[\,]]/(\,) = \mathcal{O}$）です。

∎

これは「$f$ が他のどの形式とも合同でなく（$\mathbb{T} = \mathcal{O}$）、Selmer 群が自明（$\Phi_R = 0$）なら、$\bar\rho$ の持ち上げは $\rho_f$ だけ（$R = \mathcal{O}$）」という場合です。合同がある最初の場合を見ます。

例 6.5（2 つの形式が合同な場合）

$\mathcal{O} = \mathbb{Z}_p$、$n \ge 1$ とし、$T = \{(a, b) \in \mathbb{Z}_p^2 \mid a \equiv b \pmod{p^n}\}$、$\pi_T(a, b) = a$ とします。$T$ は $(1, 1)$ と $(0, p^n)$ を基底とする階数 $2$ の自由 $\mathbb{Z}_p$ 加群で、極大イデアル $\{(a, b) \mid a \equiv b \equiv 0 \pmod p\}$ をもつ局所環です。

• $\mathfrak{p}_T = \{(0, b) \mid b \in p^n\mathbb{Z}_p\}$、$\mathrm{Ann}_T(\mathfrak{p}_T) = \{(a, 0) \mid a \in p^n\mathbb{Z}_p\}$ なので $\eta_T = p^n\mathbb{Z}_p$、$\#(\mathcal{O}/\eta_T) = p^n$。
• $\mathfrak{p}_T^2 = \{(0, b) \mid b \in p^{2n}\mathbb{Z}_p\}$ なので $\Phi_T \cong p^n\mathbb{Z}_p/p^{2n}\mathbb{Z}_p$、$\#\Phi_T = p^n$。

等号 $\#\Phi_T = \#(\mathcal{O}/\eta_T)$ が成り立ち、判定法（$R = T$、$\phi = \mathrm{id}$ として）は $T$ が完全交叉であることを予言します。実際、$R = \mathbb{Z}_p[[x]]/(x(x - p^n))$ から $T$ への準同型 $x \mapsto (0, p^n)$ は同型です。$R$ の中で $x^2 = p^nx$ なので $x^m = p^{n(m-1)}x$、べき級数 $\sum c_mx^m$ は $c_0 + \bigl(\sum_{m \ge 1}c_mp^{n(m-1)}\bigr)x$ に等しく、$R$ は $1, x$ で $\mathbb{Z}_p$ 上生成されます。$a + bx \mapsto (a, a + bp^n)$ は単射で、像は $T$ 全体です。生成元 1 個、関係式 1 個の完全交叉です。

$n = 1$、$p = 3$ の場合は実際の Hecke 環に現れます。DDT の Example 3.28 によれば、レベル $57$ のある新形式の mod $3$ 表現 $\bar\rho$ について $\mathbb{T}_\emptyset \cong \{(x, y) \in \mathbb{Z}_3^2 \mid x \equiv y \pmod 3\}$ で、2 つの成分は $3$ を法として合同な 2 つの新形式に対応します。3 つの形式が合同な場合に判定法の等号が破れる例は 演習 12.4 で扱います。

7. 極小の場合：Taylor–Wiles の議論

7.1. 双対性の入力

定理 7.1（Selmer 群の位数の比（Poitou–Tate の双対から従う Wiles の公式））※

$M$ を有限な $G_{\mathbb{Q}}$ 加群（作用は連続）、$n$ を $nM = 0$ となる整数、$M^* = \mathrm{Hom}(M, \mu_n)$ とする。$\mathbb{Q}$ の各素点 $v$（素数または $\infty$）について部分群 $L_v \subseteq H^1(G_v, M)$ が与えられ、有限個を除くすべての $v$ で $L_v$ は不分岐な類の群 $H^1(G_v/I_v, M^{I_v})$ であるとする。$L_v^\perp \subseteq H^1(G_v, M^*)$ を Tate の局所双対に関する $L_v$ の零化群とし、

$$H^1_{\mathcal{L}}(\mathbb{Q}, M) = \{x \in H^1(G_{\mathbb{Q}}, M) \mid \text{すべての } v \text{ で } \mathrm{res}_v\,x \in L_v\}$$

とおく（$H^1_{\mathcal{L}^*}(\mathbb{Q}, M^*)$ も $L_v^\perp$ で同様に定める）。このときどちらも有限群で、

$$\frac{\#H^1_{\mathcal{L}}(\mathbb{Q}, M)}{\#H^1_{\mathcal{L}^*}(\mathbb{Q}, M^*)} = \frac{\#H^0(G_{\mathbb{Q}}, M)}{\#H^0(G_{\mathbb{Q}}, M^*)}\prod_v\frac{\#L_v}{\#H^0(G_v, M)}$$

が成り立つ（右辺の積は有限個を除いて $1$）。

注意 7.2

主張のみ。 Tate の局所双対定理、大域体の Poitou–Tate の 9 項完全列、大域 Euler 標数公式から導かれます。これらは類体論を入力とする Galois コホモロジーの主要定理で、証明は本 1 章分です（J. S. Milne, Arithmetic Duality Theorems, 第 I 章）。この形の公式は Wiles が Greenberg の公式に倣って導入したもので、DDT では Theorem 2.18（局所双対は Theorem 2.17）。Selmer 群そのものの位数は与えず、双対の Selmer 群との比だけを与える点が特徴です。

$M = \mathrm{ad}^0\bar\rho$ に使うと、$M^* \cong \mathrm{ad}^0\bar\rho(1)$（円分指標でひねったもの）で、$\dim H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\bar\rho)$ が「双対 Selmer 群 $H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\bar\rho(1))$ の次元 + 局所項の和」に等しくなります（DDT, Corollary 2.43）。命題 4.4 と合わせると、$R_\Sigma$ の生成元の個数が双対 Selmer 群で抑えられます。双対 Selmer 群は、$\Sigma$ に素数を足すと（局所条件 $L_v^\perp$ が厳しくなるので）小さくなります。これが補助素数を選ぶ原理です。

7.2. Taylor–Wiles 系

素数 $q \equiv 1 \pmod p$ に対し、$\Delta_q$ を $(\mathbb{Z}/q)^\times$ の最大の $p$ べき位数の商、素数の有限集合 $Q$ に対し $\Delta_Q = \prod_{q \in Q}\Delta_q$、$\mathfrak{a}_Q \subset \mathcal{O}[\Delta_Q]$ を添加イデアル（$\delta - 1$、$\delta \in \Delta_Q$ で生成されるイデアル）とします。$\Delta_q$ が位数 $p^{n_q}$ の巡回群なら

$$\mathcal{O}[\Delta_Q] \cong \mathcal{O}[[S_q : q \in Q]]\big/\bigl((1 + S_q)^{p^{n_q}} - 1 : q \in Q\bigr)$$

で、$\mathfrak{a}_Q$ は $(S_q)$ に対応します。

定理 7.3（極小の場合の R = T（Taylor–Wiles））※

$\bar\rho$ が 定義 4.5 の基本仮定を満たし、保型的であるとする。

1. （補助素数）整数 $r \ge 0$ があって、各 $n \ge 1$ に対し、次を満たす $r$ 個の素数の集合 $Q_n$ が存在する: $q \in Q_n$ なら $q \equiv 1 \pmod{p^n}$、$\bar\rho$ は $q$ で不分岐で $\bar\rho(\mathrm{Frob}_q)$ は相異なる固有値をもち、$R_{Q_n}$ は $\mathcal{O}$ 上 $r$ 個の元で位相的に生成される。
2. （群環上の構造）そのような $Q = Q_n$ について、$R_Q$ と $\mathbb{T}_Q$ は $\phi_Q$ と両立する $\mathcal{O}[\Delta_Q]$ 代数の構造をもち、$R_Q/\mathfrak{a}_QR_Q \cong R_\emptyset$、$\mathbb{T}_Q/\mathfrak{a}_Q\mathbb{T}_Q \cong \mathbb{T}_\emptyset$ で、$\mathbb{T}_Q$ は $\mathcal{O}[\Delta_Q]$ 上の自由加群である。
3. （結論）$\phi_\emptyset : R_\emptyset \to \mathbb{T}_\emptyset$ は同型で、$R_\emptyset$ と $\mathbb{T}_\emptyset$ は完全交叉である。

注意 7.4

主張のみ。 R. Taylor and A. Wiles, “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras”（Annals of Mathematics 141 (1995)）と、Wiles の論文の第 3 章によります。出典を DDT の番号で示すと、1 は Theorem 2.49（$r = \dim_kH^1_\emptyset(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\bar\rho(1))$。Chebotarev の密度定理 定理 7.1［S 単数と Kummer 理論］ と 定理 7.1 を使う）、2 は Lemma 2.44・Corollary 2.45・Theorem 3.31・Corollary 3.32、3 は Theorem 3.41（1 と 2 から同型を導く可換環論の判定法。Taylor–Wiles の議論を Faltings が整理した形）と Theorem 3.42 の $\Sigma = \emptyset$ の場合です。1 には「$\bar\rho$ の $G_{\mathbb{Q}(\sqrt{\pm p})}$（符号は $(-1)^{(p-1)/2}$）への制限が絶対既約」という仮定が要りますが、基本仮定と $\bar\rho$ が保型的であることから従います（DDT, Lemma 3.24。証明は最適なレベルの新形式の存在、すなわち DDT, Theorem 3.15 を使う）。2 の $\mathbb{T}_Q$ の自由性は、モジュラー曲線のコホモロジーが群環上自由であることによる、保型形式側の最も深い入力です。

1 と 2 から 3 が出る仕組み（解説）。 $q \in Q$ で不分岐な $\bar\rho$ を、$q$ で分岐を許して持ち上げると、$\bar\rho(\mathrm{Frob}_q)$ の固有値が相異なることから、持ち上げの $I_q$ への制限は対角化でき、$I_q$ は指標 $\xi$ と $\xi^{-1}$ で作用します。$\xi$ は $q$ で順分岐な $p$ べき位数の指標なので $\Delta_q$ を経由し、これが $R_Q$ に $\mathcal{O}[\Delta_Q]$ 代数の構造を与えます。「$q$ で不分岐」という条件は $\xi = 1$、すなわち $\mathfrak{a}_Q$ で割ることなので、$R_Q/\mathfrak{a}_QR_Q \cong R_\emptyset$ です。

$n$ を大きくすると、$\mathcal{O}[\Delta_{Q_n}]$ は $r$ 変数のべき級数環 $\mathcal{O}[[S_1, \ldots, S_r]]$ の、$n$ とともに深くなる商です。一方 $R_{Q_n}$ は、$n$ によらず $r$ 個の元で生成されるので、$\mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]]$ の商です。有限の段階の図式

$$\mathcal{O}[[S_1, \ldots, S_r]] \longrightarrow \mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]] \twoheadrightarrow R_{Q_n} \twoheadrightarrow \mathbb{T}_{Q_n}$$

を、$n \to \infty$ で両立する部分列を選んで（各段階の有限な商は有限集合なので、鳩の巣原理で選べる）極限に貼り合わせると、$\mathcal{O}[[S_1, \ldots, S_r]]$ 上自由で有限階数の加群 $\mathbb{T}_\infty$ と全射 $\mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]] \twoheadrightarrow R_\infty \twoheadrightarrow \mathbb{T}_\infty$ が得られます。$\mathbb{T}_\infty$ は Krull 次元 $r + 1$ で、次元 $r + 1$ の整域 $\mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]]$ の商がこの次元をもつには核が $0$ でなければなりません。よって $\mathcal{O}[[X]] \cong R_\infty \cong \mathbb{T}_\infty$ で、$(S_1, \ldots, S_r)$ で割って

$$R_\emptyset \cong \mathbb{T}_\emptyset \cong \mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]]/(S_1, \ldots, S_r)$$

を得ます。右辺は $r$ 変数・$r$ 関係式なので完全交叉です。変数の個数 $r$（Galois 側: $R_{Q_n}$ の生成元の個数）と、群環の変数の個数 $r$（保型側: $\mathbb{T}_{Q_n}$ が自由である群環の大きさ）が一致することが要点で、この一致は 定理 7.1 の公式から出ます。

8. 非極小の場合への帰納と持ち上げ定理

$f \in \mathcal{N}_\emptyset$ を 1 つ固定します（$K$ を大きくして係数は $\mathcal{O}$ に入るとする）。型 $\emptyset$ の持ち上げは型 $\Sigma$ でもあるので $f \in \mathcal{N}_\Sigma$ で、$\pi_\Sigma = \pi_f : \mathbb{T}_\Sigma \to \mathcal{O}$、$\theta_\Sigma = \pi_\Sigma \circ \phi_\Sigma : R_\Sigma \to \mathcal{O}$ により $R_\Sigma$、$\mathbb{T}_\Sigma$ は添加つき係数環、$\phi_\Sigma$ はその射になります。$\Phi_\Sigma = \Phi_{R_\Sigma}$、$\eta_\Sigma = \eta_{\mathbb{T}_\Sigma}$ です。素数 $\ell \in \Sigma_{\bar\rho}\setminus\Sigma$ に対し

$$c_\ell = (\ell - 1)\bigl(T_\ell^2 - (\ell + 1)^2\bigr) \in \mathbb{T}_\Sigma$$

とおきます（$\ell = p$ のときも $T_p \in \mathbb{T}_\Sigma$ が定まる。DDT, §3.3）。$\pi_\Sigma(c_\ell) = (\ell - 1)(a_\ell(f)^2 - (\ell + 1)^2)$ は、$|a_\ell(f)| \le 2\sqrt\ell < \ell + 1$ から $0$ ではありません（演習 12.1）。

定理 8.1（素数を Σ に足すときの 2 つの不等式）※

$\bar\rho$ が基本仮定を満たし保型的、$\Sigma \subseteq \Sigma' \subseteq \Sigma_{\bar\rho}$ を有限集合、$f \in \mathcal{N}_\Sigma$ とし、$c = \pi_\Sigma\bigl(\prod_{\ell \in \Sigma'\setminus\Sigma}c_\ell\bigr) \in \mathcal{O}\setminus\{0\}$ とおく。

• (S) $\Phi_\Sigma$ が有限なら $\Phi_{\Sigma'}$ も有限で、$\#\Phi_{\Sigma'} \le \#\Phi_\Sigma\cdot\#(\mathcal{O}/c\mathcal{O})$。
• (H) $\eta_{\Sigma'} \subseteq c\,\eta_\Sigma$。

注意 8.2

主張のみ。 Wiles の論文で、極小の場合から一般の場合へ進む部分に当たります。(S) は DDT の Proposition 3.35 を 定理 4.6 の 3 で言い換えたもの、(H) は DDT の Theorem 3.36（証明は同 §4.4）。

(S) は Galois 側の評価です。$\Sigma$ に $\ell$ を足すと、$\ell$ での局所条件が「不分岐な類」から「すべての類」に緩み、Selmer 群は高々 $H^1(G_\ell, V)/H^1(G_\ell/I_\ell, V^{I_\ell})$（$V = \mathrm{ad}^0\rho_f \otimes K/\mathcal{O}$）の分だけ大きくなります。Tate の局所双対からこの位数は $\#H^0(G_\ell, V(1))$ で、$\mathrm{Frob}_\ell$ の $\mathrm{ad}^0\rho_f(1)$ での固有値が $\ell\alpha/\beta, \ell, \ell\beta/\alpha$（$\alpha, \beta$ は $X^2 - a_\ell X + \ell$ の根）であることから

$$\det\bigl(1 - \mathrm{Frob}_\ell \mid \mathrm{ad}^0\rho_f(1)\bigr) = (1 - \ell)\Bigl(1 - \ell\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} + \ell^2\Bigr) = (1 - \ell)\bigl((1 + \ell)^2 - a_\ell^2\bigr) = \pi_\Sigma(c_\ell)$$

（$\alpha\beta = \ell$、$\alpha^2 + \beta^2 = a_\ell^2 - 2\ell$）となり、位数は $\#(\mathcal{O}/\pi_\Sigma(c_\ell))$ です。

(H) は保型側の評価で、こちらが深い方です。レベルに $\ell$ を足すと、$f$ と合同な形式が少なくとも $c_\ell$ の分だけ増えることを主張します。Ribet のレベル上げ（$a_\ell^2 \equiv (\ell + 1)^2$ なら $\ell$ で新しい合同な形式がある）を、合同イデアルの包含として精密にしたもので、証明にはモジュラー曲線のコホモロジーについての伊原の補題と、Hecke 環上の加群の自由性（DDT, Theorem 4.18）が使われます。

命題 8.3（極小の場合から一般の Σ へ）△

定理 4.6、定理 5.6、定理 6.2、定理 7.3、定理 8.1 を仮定する。$\bar\rho$ が基本仮定を満たし保型的なら、すべての有限集合 $\Sigma \subseteq \Sigma_{\bar\rho}$ について $\phi_\Sigma : R_\Sigma \to \mathbb{T}_\Sigma$ は同型で、$R_\Sigma$ と $\mathbb{T}_\Sigma$ は完全交叉であり、

$$\#H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\rho_f \otimes K/\mathcal{O}) = \#\Phi_\Sigma = \#(\mathcal{O}/\eta_\Sigma) < \infty .$$

証明（命題 8.3）

定理 5.6 により、各 $\Sigma$ について $\phi_\Sigma$ は添加つき係数環の全射、$\mathbb{T}_\Sigma$ は $\mathcal{O}$ 上有限生成自由、$\eta_\Sigma \ne 0$ で、定理 6.2 の仮定が満たされます。

極小の場合。 定理 7.3 の 3 により $\phi_\emptyset$ は同型で両辺は完全交叉、すなわち判定法の (c) が成り立つので、(b) から

$$\#\Phi_\emptyset = \#(\mathcal{O}/\eta_\emptyset) < \infty .$$

一般の $\Sigma$。 $c = \pi_\emptyset\bigl(\prod_{\ell \in \Sigma}c_\ell\bigr) \ne 0$ とおきます。定理 8.1 を $\emptyset \subseteq \Sigma$ に使うと、(S) から $\#\Phi_\Sigma \le \#\Phi_\emptyset\cdot\#(\mathcal{O}/c\mathcal{O})$、(H) から $\eta_\Sigma \subseteq c\,\eta_\emptyset$ です。$\mathcal{O}$ は離散付値環なので、$\eta_\emptyset = \lambda^s\mathcal{O}$、$c\mathcal{O} = \lambda^t\mathcal{O}$ と書くと $c\,\eta_\emptyset = \lambda^{s+t}\mathcal{O}$、$\#(\mathcal{O}/c\,\eta_\emptyset) = (\#k)^{s+t} = \#(\mathcal{O}/\eta_\emptyset)\cdot\#(\mathcal{O}/c\mathcal{O})$ で、包含 $\eta_\Sigma \subseteq c\,\eta_\emptyset$ から $\#(\mathcal{O}/\eta_\Sigma) \ge \#(\mathcal{O}/c\,\eta_\emptyset)$ です。以上をつなぐと

$$\#\Phi_\Sigma \le \#\Phi_\emptyset\cdot\#(\mathcal{O}/c\mathcal{O}) = \#(\mathcal{O}/\eta_\emptyset)\cdot\#(\mathcal{O}/c\mathcal{O}) = \#(\mathcal{O}/c\,\eta_\emptyset) \le \#(\mathcal{O}/\eta_\Sigma).$$

これは判定法の (a) なので、(c) により $\phi_\Sigma$ は同型で $R_\Sigma$、$\mathbb{T}_\Sigma$ は完全交叉、(b) により等号が成り立ちます。左端の Selmer 群との等式は 定理 4.6 の 3 です（$\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(\Phi_\Sigma, K/\mathcal{O})$ は有限 $\mathcal{O}$ 加群 $\Phi_\Sigma$ と同じ位数をもつ）。

∎

この証明で判定法は 3 回使われています。極小の場合に (c) ⇒ (b) の向きで Selmer 群の位数を計算し、一般の場合に (a) ⇒ (c) の向きで同型を導き、最後に (c) ⇒ (b) でまた等号を得ます。素数を足すたびに、Galois 側は高々 $c_\ell$ 倍にしか大きくならず (S)、保型側は少なくとも $c_\ell$ 倍大きくなる (H) ので、極小で釣り合っていれば、その後もずっと釣り合います。

定理 8.4（保型性持ち上げ定理）※

$p$ を奇素数とする。

1. $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathcal{O})$ を連続な表現、$\bar\rho = \rho \bmod \lambda$ とし、次を仮定する。

   • (a) $\bar\rho$ は絶対既約で保型的。
   • (b) $p$ と異なるすべての素数 $\ell$ について、適当な基底で $\rho|_{I_\ell} = \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
   • (c) $\rho|_{G_p}$ は半安定（定義 4.5）。
   • (d) $\det\rho = \chi_p$。

   このとき重さ $2$ の新形式 $f$ があって、$\rho$ は $\rho_f$ と（$K$ の有限次拡大の上で）同値である。

2. $E$ を $\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線とし、$\bar\rho_{E,p}$ が $\mathbb{F}_p$ 上既約で保型的であるとする。このとき $E$ はモジュラーである。

注意 8.5

主張のみ。 1 は DDT の Corollary 3.46 で、Wiles の論文が序論で主定理として述べている持ち上げ定理の、半安定な場合に必要な形です。主張のみの段 (W2a)〜(W2d-2) から 1 への推論は次のとおりで、追加の入力はありません。$\Sigma$ を $\Sigma_{\bar\rho}$ の素数のうち $\rho$ が分岐するものの集合とすると、$\rho$ は $\bar\rho$ の型 $\Sigma$ の持ち上げなので、普遍性から $\theta : R_\Sigma \to \mathcal{O}$ で $\rho \sim \theta \circ \rho_\Sigma^{\mathrm{univ}}$ となるものがあります。命題 8.3 により $\phi_\Sigma$ は同型なので、$\theta \circ \phi_\Sigma^{-1} : \mathbb{T}_\Sigma \to \mathcal{O}$ が定まり、$T_\ell \mapsto \mathrm{tr}\,\rho(\mathrm{Frob}_\ell)$ です。定理 5.6 の 4 からこれはある $f \in \mathcal{N}_\Sigma$ の $\pi_f$ で、$\mathrm{tr}\,\rho(\mathrm{Frob}_\ell) = a_\ell(f) = \mathrm{tr}\,\rho_f(\mathrm{Frob}_\ell)$ がほとんどすべての $\ell$ で成り立ち、Chebotarev の密度定理と既約性から $\rho \sim \rho_f$ です。

2 は 1 を $\rho = \rho_{E,p}$ に使って得られますが、追加の入力が要ります。(i) $\rho_{E,p}$ が (b)(c)(d) を満たすこと: (d) は Weil 対、(b) は Tate の一意化と良い還元での不分岐性（前章の議論を $p^n$ 等分点で繰り返す。DDT, Proposition 2.8 (a)・2.11 (a)・2.12 (a)）、(c) は有限平坦群スキームの理論（DDT, Proposition 2.23）。(ii) $\rho_{E,p} \sim \rho_f$ から、既存の記事の意味でのモジュラー性（レベルが導手 $N_E$ に等しい新形式と、$N_E$ を割らないすべての素数での $a_\ell$ の一致）を導くこと: Faltings の同種定理と、$\rho_f$ の導手が $f$ のレベルに等しいという Carayol の定理（DDT, Proposition 1.53 の (a) ⇒ (b)、Theorem 3.1 (d)）。DDT では $p = 3$ の場合が Corollary 3.47、$p = 5$ の場合が Theorem 3.48 の証明の中で使われています。

持ち上げ定理の仮定のうち、検証が難しいのは「$\bar\rho$ が保型的」だけです。残りは $E$ が半安定であることから従います。そこで問題は、保型的であることが分かる $\bar\rho_{E,p}$ を 1 つ見つけることに移ります。

例 8.6（導手 11 の曲線：mod 5 表現は可約）

$E : y^2 + y = x^3 - x^2$（導手 $11$、半安定）について、既存の記事の 例 6.4［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の表を先まで延ばします。$\#\tilde E(\mathbb{F}_\ell)$ は $x, y \in \mathbb{F}_\ell$ を全部動かして数え、右端は $\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2$ の $q^\ell$ の係数です。

$\ell$	$\#\tilde E(\mathbb{F}_\ell)$	$a_\ell(E)$	$q^\ell$ の係数	$\ell + 1 \bmod 5$	$a_\ell \bmod 5$
$2$	$5$	$-2$	$-2$	$3$	$3$
$3$	$5$	$-1$	$-1$	$4$	$4$
$7$	$10$	$-2$	$-2$	$3$	$3$
$13$	$10$	$4$	$4$	$4$	$4$
$17$	$20$	$-2$	$-2$	$3$	$3$
$19$	$20$	$0$	$0$	$0$	$0$
$23$	$25$	$-1$	$-1$	$4$	$4$
$29$	$30$	$0$	$0$	$0$	$0$
$31$	$25$	$7$	$7$	$2$	$2$

第 3 列と第 4 列の一致がモジュラー性です。右の 2 列の一致 $a_\ell \equiv \ell + 1 \pmod 5$（$\#\tilde E(\mathbb{F}_\ell)$ がつねに $5$ の倍数）は、$\bar\rho_{E,5}$ の半単純化が $1 \oplus \bar\chi_5$ であること、すなわち $\bar\rho_{E,5}$ が可約であることを反映しています（$E$ は位数 $5$ の有理点 $(0, 0)$ をもつ）。この $E$ には $p = 5$ で持ち上げ定理を使えません。一方 $p = 3$ では $a_2 = -2 \not\equiv 3 = 2 + 1 \pmod 3$ なので、$\bar\rho_{E,3}$ の半単純化は $1 \oplus \bar\chi_3$ ではありません。半安定であっても、どの素数で既約になるかは曲線によります。

9. 3–5 の乗り換え

$p = 3$ では 定理 3.2 が保型性を与えるので、$\bar\rho_{E,3}$ が既約なら 定理 8.4 の 2 が使えます。$\bar\rho_{E,3}$ が可約な曲線（位数 $3$ の有理的な部分群をもつ曲線）が残ります。

定理 9.1（3–5 の乗り換え）※

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線とし、$\bar\rho_{E,3}$ が $\mathbb{F}_3$ 上可約であるとする。このとき

1. $\bar\rho_{E,5}$ は $\mathbb{F}_5$ 上既約である。
2. $\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線 $E'$ で、$G_{\mathbb{Q}}$ 加群として $E'[5] \cong E[5]$（したがって $\bar\rho_{E',5} \cong \bar\rho_{E,5}$）であり、$\bar\rho_{E',3}$ が $\mathbb{F}_3$ 上既約であるものが存在する。

注意 9.2

主張のみ。 Wiles の論文の第 5 章の議論で、DDT では Theorem 3.48 の証明と Lemma 3.49 です。

1: $\bar\rho_{E,3}$ と $\bar\rho_{E,5}$ がともに可約なら、$E$ は位数 $15$ の有理的な巡回部分群をもち、モジュラー曲線 $X_0(15)$ の尖点でない有理点を与えます。$X_0(15)$ は種数 $1$ で、尖点でない有理点はちょうど 4 個あり、それらに対応する楕円曲線は半安定ではありません。この有理点の決定（階数 $0$ の楕円曲線の有理点の計算）が入力です。

2: 「$E[5]$ と Weil 対を保って同型な $5$ 等分点をもつ楕円曲線」を分類する曲線は、レベル $5$ の完全なレベル構造つきモジュラー曲線 $X(5)$ のひねりです。$X(5)$ は種数 $0$（Klein）で、ひねった曲線は $E$ 自身に対応する有理点をもつので $\mathbb{Q}$ 上 $\mathbb{P}^1$ と同型になり、有理点、すなわち条件を満たす $E'$ が無限個あります。そのうち $\bar\rho_{E',3}$ が可約なものは少数であること（Wiles は Hilbert の既約性定理、DDT は Faltings の定理を使う）と、$E$ に対応する点に $5$ 進的に近い点を取れば $E'$ も半安定になることから、求める $E'$ が得られます。モジュラー曲線のモジュライ解釈と、その種数・有理点についての結果が要り、Rikai にありません。

$5$ が選ばれる理由は種数です。$X(p)$ の種数が $0$ になる素数は $p \le 5$ だけで（$X(7)$ は種数 $3$）、「同じ mod $p$ 表現をもつ曲線が無限個ある」という議論は $p = 3, 5$ でしか成り立ちません。

10. 鎖を閉じる

定理 10.1（3 つの入力から半安定な楕円曲線のモジュラー性が従う）△

次を仮定する。

• 前章の Weil 対の存在（定理 4.4［フェルマーの最終定理 I］）と、良い還元の素数での不分岐性と Frobenius のトレース（定理 5.1［フェルマーの最終定理 I］）
• (W1) 定理 3.2 の 2
• (W2) 定理 8.4 の 2
• (W3) 定理 9.1

このとき $\mathbb{Q}$ 上のすべての半安定な楕円曲線はモジュラーである。

証明（定理 10.1）

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線とします。

場合 1：$\bar\rho_{E,3}$ が $\mathbb{F}_3$ 上既約。 Weil 対の存在から $\det\bar\rho_{E,3} = \bar\chi_3$ で（命題 4.6［フェルマーの最終定理 I］）、$\bar\rho_{E,3}$ は奇です。$3$ は奇数なので、補題 4.7［フェルマーの最終定理 I］ により $\bar\rho_{E,3}$ は絶対既約です。(W1) により $\bar\rho_{E,3}$ は保型的です。$E$ は半安定、$\bar\rho_{E,3}$ は $\mathbb{F}_3$ 上既約で保型的なので、(W2) を $p = 3$ で使って $E$ はモジュラーです。

場合 2：$\bar\rho_{E,3}$ が $\mathbb{F}_3$ 上可約。 (W3) により、$\bar\rho_{E,5}$ は $\mathbb{F}_5$ 上既約で、半安定な楕円曲線 $E'$ で $E'[5] \cong E[5]$（$G_{\mathbb{Q}}$ 加群として）かつ $\bar\rho_{E',3}$ が $\mathbb{F}_3$ 上既約なものがあります。$E'$ は場合 1 の仮定を満たすので、$E'$ はモジュラーです。$E'$ は半安定でモジュラーなので、補題 6.4［フェルマーの最終定理 I］（良い還元での不分岐性とトレースの仮定を使う）により、$\bar\rho_{E',5}$ はレベル $N_{E'}$ で保型的です。$E[5] \cong E'[5]$ なので、基底を合わせれば $\bar\rho_{E,5} = \bar\rho_{E',5}$ で、保型的であること（不分岐な素数と、そこでの Frobenius のトレースだけで決まる条件）は $\bar\rho_{E,5}$ についても成り立ちます。$E$ は半安定、$\bar\rho_{E,5}$ は $\mathbb{F}_5$ 上既約で保型的なので、(W2) を $p = 5$ で使って $E$ はモジュラーです。

$\bar\rho_{E,3}$ は既約か可約のどちらかなので、すべての半安定な $E$ がモジュラーです。

∎

前章の 定理 8.1［フェルマーの最終定理 I］ の仮定 (C6) は、この定理によって (W1)・(W2)・(W3) に置き換えられます（残りの 2 つの仮定は (C1)・(C2) そのものです）。(W2) はさらに $\S 4$〜$\S 8$ の (W2a)〜(W2d-2) と、注意 8.5 で挙げた楕円曲線側の入力に分かれます。フェルマーの最終定理の証明全体で「主張のみ」として残る定理は、前章の (C1)〜(C5)・(C7) と、この章の 定理 3.2、定理 4.6、定理 5.1、定理 5.6、定理 6.2、定理 7.1、定理 7.3、定理 8.1、定理 8.4（のうち楕円曲線側の入力）、定理 9.1 です。

場合 2 は、フェルマーの最終定理への応用だけを考えても省けません。前章で使った Mazur の定理（(C5)）が Frey 曲線に与えるのは $p \ge 5$ での $\bar\rho_{E,p}$ の既約性で、$\bar\rho_{E,3}$ が既約かどうかは何も言わないからです。$\bar\rho_{E,3}$ が可約な半安定曲線は実際に存在するので、場合分けは定理の主張そのものにも必要です。

11. 1993 年の発表の欠陥と 1994 年の修正

1993 年 6 月 23 日、Wiles は Cambridge の Isaac Newton 研究所での 3 回の連続講義の最後に、半安定な楕円曲線のモジュラー性と、その系としてのフェルマーの最終定理の証明を発表しました。その年の秋、査読の過程で証明の 1 か所が完結していないことが分かり、1993 年 12 月に Wiles 自身がそれを公表しました。

欠陥があったのはどの段か。この章の鎖で言えば (W2d-1)、極小の場合です。1993 年の時点で、数値的判定法 (W2c) と、極小の場合から一般の場合への帰納 (W2d-2)・(W2d-3) は出来上がっていました。残っていたのは、命題 8.3 の証明の最初の式

$$\#H^1_\emptyset(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\rho_f \otimes K/\mathcal{O}) \le \#(\mathcal{O}/\eta_\emptyset)$$

すなわち極小の場合の Selmer 群の位数の上からの評価です。1993 年の証明は、これを Kolyvagin と Flach の方法（Euler 系。モジュラー単数から作ったコホモロジー類の系列で Selmer 群を零化する）を拡張して示そうとしていました。Flach は $\eta_\emptyset = \mathcal{O}$ となる場合の一部でこの評価を得ており（DDT, Remark 3.44）、Wiles はその議論を一般の場合に延ばす Euler 系の構成を主張していましたが、その構成が完結していませんでした。

1994 年 9 月 19 日、Wiles は、Euler 系を修復する代わりに、以前に試みて放棄していた道に戻れば足りることに気づきます。極小の Hecke 環 $\mathbb{T}_\emptyset$ が完全交叉であることを直接示せば、数値的判定法の (c) ⇒ (b) から上の評価が（等号つきで）従います。完全交叉性の証明に使われたのが、補助素数 $q \equiv 1 \pmod{p^n}$ でレベルを上げた Hecke 環 $\mathbb{T}_{Q_n}$ の系列（Taylor–Wiles 系、定理 7.3）で、これが Taylor との共著論文の内容です。Euler 系は最終的な証明には現れません。2 篇の原稿は 1994 年 10 月に公表され、1995 年 5 月に Annals of Mathematics 141 巻に掲載されました。

その後の改良で、議論は短くなり、適用範囲は広がりました。Faltings は Taylor–Wiles の議論を、$R_\emptyset \cong \mathbb{T}_\emptyset$ と完全交叉性を同時に与える形（定理 7.3 の 3 で使った判定法）に整理し、Lenstra は数値的判定法から Gorenstein 性の仮定を除きました。Diamond と藤原一宏は独立に、貼り合わせの議論から Hecke 環上の加群の自由性（重複度 1）まで導けることを示しました。

年	出来事
1980〜1981	Langlands、Tunnell: 像が可解な 2 次元 Artin 表現の保型性（(W1b)）
1989	Mazur: Galois 表現の変形理論と普遍変形環（(W2a)）
1990	Ribet: レベル下げ（前章の (C7)。$\mathcal{N}_\emptyset \ne \emptyset$ にも使う）
1993 年 6 月	Wiles が Cambridge で証明を発表
1993 年秋〜12 月	極小の場合の Selmer 群の評価（Euler 系の構成）に欠陥があることが判明し、公表される
1994 年 9 月〜10 月	Wiles と Taylor が $\mathbb{T}_\emptyset$ の完全交叉性による迂回路を完成し、2 篇の原稿を公表
1995 年	Wiles、Taylor–Wiles の論文が出版される（Ann. of Math. 141）
1996 年	Diamond: $3$ と $5$ で半安定な楕円曲線のモジュラー性
1999 年	Conrad–Diamond–Taylor: 導手が $27$ で割り切れない楕円曲線のモジュラー性
2001 年	Breuil–Conrad–Diamond–Taylor: すべての楕円曲線のモジュラー性（定理 6.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）

12. 演習

演習 12.1易

素数 $\ell$ と整数 $a$ が $|a| \le 2\sqrt\ell$ を満たすなら $(\ell - 1)(a^2 - (\ell + 1)^2) \ne 0$ であることを示せ。楕円曲線 $E$ の $a_\ell(E)$ についてこの仮定が成り立つのはどの定理によるか。

解答

$(\sqrt\ell - 1)^2 > 0$（$\ell \ge 2$ なので $\sqrt\ell \ne 1$）から $\ell + 1 > 2\sqrt\ell \ge |a|$、よって $a^2 < (\ell + 1)^2$ で第 2 因子は負、$\ell - 1 \ge 1$ なので積は $0$ でない（負の）整数です。$|a_\ell(E)| \le 2\sqrt\ell$ は Hasse の定理（定理 4.8［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）です。これが $\S 8$ の $\pi_\Sigma(c_\ell) \ne 0$ の理由で、命題 8.3 の証明で $c \ne 0$ として使いました。一般の重さ $2$ の新形式については、同じ不等式は Eichler–志村の関係と Weil の評価によります。

演習 12.2標準

$p$ を奇素数とし、$\bar\rho = 1 \oplus \bar\chi_p : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$（対角行列 $\mathrm{diag}(1, \bar\chi_p(g))$）とする。(1) $\bar\rho$ の像のすべての元と可換な行列の全体を求め、$H^0(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}\,\bar\rho)$ の次元を求めよ。(2) 絶対既約な $\bar\rho$ では $H^0(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}\,\bar\rho)$ がスカラー行列だけからなることを示せ。(3) この違いが普遍変形環の存在にどう関わるかを説明せよ。

解答

(1) $p$ が奇数なので $\bar\chi_p(c) = -1 \ne 1$ で、$\bar\rho(c) = \mathrm{diag}(1, -1)$ です。これと可換な行列 $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ は $y = -y$、$z = -z$ から対角行列で、対角行列はすべての $\bar\rho(g)$ と可換です。よって可換な行列の全体は対角行列で、$H^0(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}\,\bar\rho) = (\mathrm{ad}\,\bar\rho)^{G_{\mathbb{Q}}}$ は 2 次元です。

(2) $X$ が像と可換なら、$\bar k$ 上で $X$ の固有値 $\mu$ を取ると $\ker(X - \mu)$ は $0$ でない $G_{\mathbb{Q}}$ 不変な部分空間です。絶対既約なのでそれは全体で、$X = \mu$。$X$ の成分は $k$ の元なので $\mu \in k$ です（Schur の補題、定理 4.1［有限群の表現］ と同じ議論）。

(3) 変形は持ち上げの $1 + M_2(\mathfrak{m}_R)$ による共役類でした。関手 $D$ が環 $R^{\mathrm{univ}}$ で表現されるなら、係数環の「貼り合わせ」（ファイバー積 $A \times_C B$）について $D(A \times_C B) \to D(A) \times_{D(C)} D(B)$ が全単射になります。$A$ と $B$ への持ち上げが $C$ の上で共役なとき、それを 1 つの持ち上げに貼り合わせるには共役を与える行列を $A$ か $B$ の側に持ち上げて吸収する必要があり、その自由度は「$C$ への持ち上げと可換な行列」の分だけ不定です。可換な行列がスカラーだけなら、スカラーは共役として自明に作用するので不定性がなく、貼り合わせは一意です。(1) のように可換な行列が多いと、$C$ の上の持ち上げの自己同型で $A$ にも $B$ にも延びないものが生じ、貼り合わせが一意でなくなります。Mazur の存在定理（定理 4.6）が絶対既約性（より正確には (2) の結論）を仮定するのはこのためで、DDT の証明でも「共役のうち、正規化された形の持ち上げを与えるものがただ 1 つある」（Lemma 2.37）という形で使われます。Wiles の証明が可約な $\bar\rho_{E,3}$ を避けて $p = 5$ に乗り換える理由の 1 つです。

演習 12.3標準

$p$ を奇素数とする。$p$ の外で不分岐な連続準同型 $G_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{F}_p$ の全体は $\mathbb{F}_p$ 上 1 次元であることを、Kronecker–Weber の定理を使って示せ。これは 1 次元表現の変形環について何を意味するか。

解答

$0$ でない準同型 $h : G_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{F}_p$ の核の固定体 $F$ は、$\mathbb{Q}$ 上 $p$ 次の巡回拡大で、$p$ の外で不分岐です。Kronecker–Weber の定理（定理 7.8［円分体と Kronecker–Weber の定理］）により $F \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_m)$ となる $m = p^nm'$（$p \nmid m'$）があります。$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/p^n)^\times \times \prod_{\ell \mid m'}(\mathbb{Z}/\ell^{e_\ell})^\times$ で、$\ell \mid m'$ での惰性群は因子 $(\mathbb{Z}/\ell^{e_\ell})^\times$ です。$F$ は $\ell$ で不分岐なので、これらの惰性群で固定され、$F \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{p^n})$ です。$(\mathbb{Z}/p^n)^\times$ は位数 $p^{n-1}(p - 1)$ の巡回群（$p$ は奇数）なので、指数 $p$ の部分群は（$n \ge 2$ のとき）ただ 1 つ、したがって $p$ 次の部分体 $F$ はただ 1 つです。$0$ でない $h$ はすべて同じ核をもち、$\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/p$ から $\mathbb{F}_p$ への単射準同型は $p - 1$ 個で互いに定数倍なので、全体は 1 次元です。

自明な加群の $H^1$ は準同型の群なので（命題 4.2［群のコホモロジーと群の拡大］ の 3）、これは「$p$ の外で不分岐」という条件つきの $H^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathbb{F}_p)$ が 1 次元ということです。1 次元表現 $\bar\psi : G_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{F}_p^\times$ では $\mathrm{ad}\,\bar\psi$ は自明な加群 $\mathbb{F}_p$ なので、命題 4.3 と 命題 4.4 の 1 次元版から、$p$ の外で不分岐な変形の普遍環は $\mathbb{Z}_p[[x]]$ の商です。実際それは $\mathbb{Z}_p[[x]]$ そのもので、$x$ は $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{p^\infty})/\mathbb{Q})$ の $p$ 進部分 $1 + p\mathbb{Z}_p \cong \mathbb{Z}_p$ の位相的生成元の行き先に当たります（岩澤代数）。

演習 12.4標準

$\mathcal{O} = \mathbb{Z}_p$、$T = \{(a, b, c) \in \mathbb{Z}_p^3 \mid a \equiv b \equiv c \pmod p\}$、$\pi_T(a, b, c) = a$ とする。$\eta_T$ と $\#\Phi_T$ を求め、$T$ が完全交叉でないことを 定理 6.2 から結論せよ。

解答

$\mathfrak{p}_T = \{(0, b, c) \mid b, c \in p\mathbb{Z}_p\}$ です（$a = 0$ なら $b \equiv c \equiv 0$）。$(a, b, c)$ がこれを零化するのは $b = c = 0$ のときで、そのとき $a \in p\mathbb{Z}_p$。よって $\mathrm{Ann}_T(\mathfrak{p}_T) = \{(a, 0, 0) \mid a \in p\mathbb{Z}_p\}$、$\eta_T = p\mathbb{Z}_p$、$\#(\mathcal{O}/\eta_T) = p$。$\mathfrak{p}_T^2$ は積 $(0, bb', cc')$ で生成されるので $\{(0, b, c) \mid b, c \in p^2\mathbb{Z}_p\}$、$\Phi_T \cong (p\mathbb{Z}_p/p^2\mathbb{Z}_p)^2$、$\#\Phi_T = p^2$。

$R = T$、$\phi = \mathrm{id}$ として判定法を使うと、(c) の「$\phi$ は同型」は成り立っているので、もし $T$ が完全交叉なら (c) が成り立ち、(b) から $\#\Phi_T = \#(\mathcal{O}/\eta_T)$ となるはずですが、$p^2 \ne p$ です。よって $T$ は完全交叉ではありません。実際 $T$ は $x = (0, p, 0)$、$y = (0, 0, p)$ で生成され、関係式は $x(x - p) = 0$、$y(y - p) = 0$、$xy = 0$ の 3 本で、2 変数に対して 1 本多くなっています。例 6.5 と比べると、同じレベルに合同な形式が 3 つあるだけでは $\mathbb{T}$ は完全交叉になりえず、Hecke 環が完全交叉であること（定理 7.3）は合同の様子に対する強い制約であることが分かります。

参考文献

• A. Wiles, “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem”, Annals of Mathematics 141 (1995), 443–551. DOI:10.2307/2118559
• R. Taylor and A. Wiles, “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras”, Annals of Mathematics 141 (1995), 553–572.
• H. Darmon, F. Diamond and R. Taylor, “Fermat’s Last Theorem”, in Current Developments in Mathematics, 1995, International Press, 1997 — 本文で DDT と略記。この章の定理番号はすべてこの解説論文のもの（§2 変形理論、§3 主定理と応用、§4 Hecke 環、§5 可換環論）。
• G. Cornell, J. H. Silverman and G. Stevens (eds.), Modular Forms and Fermat’s Last Theorem, Springer, 1997 — 変形理論（Mazur）、数値的判定法（de Smit–Rubin–Schoof）、Langlands–Tunnell の定理（Gelbart）などの各章。
• B. Mazur, “Deforming Galois representations”, in Galois Groups over $\mathbb{Q}$, MSRI Publications 16, Springer, 1989.
• R. P. Langlands, Base Change for GL(2), Annals of Mathematics Studies 96, Princeton University Press, 1980；J. Tunnell, “Artin’s conjecture for representations of octahedral type”, Bulletin of the American Mathematical Society 5 (1981), 173–175.
• J. S. Milne, Arithmetic Duality Theorems, Academic Press, 1986 — 第 I 章（Tate の局所双対、Poitou–Tate の完全列、Euler 標数公式）。
• C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond and R. Taylor, “On the modularity of elliptic curves over $\mathbf{Q}$: wild 3-adic exercises”, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), 843–939.