Hecke 環 $T_Σ$・合同イデアル

$\mathcal{N}_\Sigma$ を、重さ $2$ の新形式 $f$ で、付随する $p$ 進表現 $\rho_f$（定理 6.2［フェルマーの最終定理 I］）が $\bar\rho$ の型 $\Sigma$ の持ち上げと同値で、レベル $N_f$ が $p^2$ で割り切れないものの集合とする。$\mathcal{N}_\Sigma$ は有限集合である。$K$ を大きく取って、$\mathcal{N}_\Sigma$ の元の Fourier 係数がすべて $\mathcal{O}$ に入るとする。$\Sigma$ に属さず $pN(\bar\rho)$ を割らない素数 $\ell$ に対し

とおき、これらが生成する $\mathcal{O}$ 部分代数を $\mathbb{T}_\Sigma$ と書く。$f \in \mathcal{N}_\Sigma$ に対し、$f$ 成分への射影を $\pi_f : \mathbb{T}_\Sigma \to \mathcal{O}$ とし、

を（$f$ に関する）合同イデアルという。