フェルマーの最終定理 I：証明の論理の鎖の全体と、Frey 曲線の Galois 表現・Serre の ε 予想・Ribet の定理

0. この記事の要点

「$x^n + y^n = z^n$ には、$n \ge 3$ のとき 0 でない整数の解がない」というフェルマーの最終定理は、一つの大きな議論で示されたのではなく、小さな段を鎖のようにつないで示されました。この記事は、その鎖を 1 段ずつ並べ、どの段が証明済みで、どの段が（原論文に任せる）主張のみかをはっきりさせます。読み終えると、「主張のみの 7 つの定理を認めれば、残りの推論には飛躍がない」ことを自分の目で確かめられます。まず最初の画面の箇条書きは、全体の目次のようなものとして眺めてください。用語は後の節で順に定義します。

• フェルマーの最終定理「$n \ge 3$ のとき $x^n + y^n = z^n$、$xyz \ne 0$ を満たす整数はない」の証明を、$\S 2$ の表のとおり (F1)〜(F9) の段に分けます。各段は「この章で証明する」「Rikai の既存の証明を指す」「主張のみ（出典つき）」のどれかで、表と図で区別します。
• この章で証明する段は、$n = 3$（$\mathbb{Z}[\omega]$ での無限降下、定理 3.3）、Frey 曲線の極小モデルと半安定性（命題 4.13）、$E[m] \cong (\mathbb{Z}/m)^2$（命題 4.2）、Tate 曲線から出る分岐の判定（定理 5.10）、レベル下げを繰り返してレベル $2$ に達すること（命題 6.9）です。
• 主張のみの段は 7 つです。Weil 対（楕円曲線の等分点の組に 1 の冪根を対応させる写像）、良い還元での不分岐性（素数が拡大で枝分かれしないこと）と Frobenius のトレース、Tate の一意化（乗法的還元の素数で、曲線を $\overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times$ の商として表す表示）、$p$ での有限平坦性、Mazur の定理、Wiles・Taylor–Wiles の定理、Ribet の定理。このうち Wiles・Taylor–Wiles の定理の中身は第 8 章で分解します。
• $\S 8$ の 定理 8.1 が結論です。上の 7 つを仮定に明記し、指数の還元から $S_2(\Gamma_0(2)) = 0$ との矛盾までを省略なしに証明します。
• Serre の保型性予想（2009 年に Khare–Wintenberger が証明）を仮定すれば、Wiles の定理も Ribet の定理も使わずに同じ矛盾に達します（命題 8.2）。これが Serre の 1987 年の観察で、Ribet の定理が「ε 予想」と呼ばれた理由です。

この記事で使う事前知識

• 楕円曲線: 3 次式 $y^2 = x^3 + ax + b$ が定める曲線で、その上の点どうしに足し算が定まります。→ 楕円曲線
• Galois 群: 体の拡大に対し、その体の対称性（自己同型）をまとめた群です。この記事では $\overline{\mathbb{Q}}$ の自己同型の群 $G_{\mathbb{Q}}$ を使います。→ ガロア理論への招待
• 整数環と素イデアル: 代数体の整数のなす環では、数の代わりにイデアルが素イデアルへ一意に分解します。→ 代数体の整数環と Dedekind 整域
• 尖点形式の空間 $S_2(\Gamma_0(N))$ と Hecke 作用素: モジュラー形式のうち $q$ 展開が $q^1$ から始まるもの（重さ 2、レベル $N$）の空間と、その上に働く作用素です。→ 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
• 合同: 整数 $a, b$ が $m$ を法として合同とは、$m \mid a - b$ のことです。→ 合同

1. 動機

楕円曲線・モジュラー形式と現代数論の $\S 7$〜$\S 10$ は、フェルマーの最終定理を「Mazur + Ribet + Wiles ⇒ フェルマー」の 4 段で導きました（系 10.10［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）。そこでは Ribet の定理を「$p \mid v_\ell(\Delta_{\min})$ となる素数はレベルから落とせる」という、Frey 曲線に合わせた形で述べ、なぜ判別式の指数が効くのかは付録の 1 段落にとどめました。また $p = 3$ の場合は「Euler が証明した」と述べただけでした。

この章の仕事は 3 つあります。第一に、鎖の全部の段を定理として並べ、どの段がどの段に依存するかを固定します。第二に、既存の記事が飛ばした段（$p = 3$、半安定性の計算、$E[p]$ が 2 次元であること、判別式の指数と分岐の関係）に証明を付けます。第三に、「レベルを下げる」という操作を mod $p$ Galois 表現の言葉で正確に述べ、Ribet の原論文の定理の仮定（素数を落とす順番に制約がある）のもとで、実際にレベル $2$ まで下がることを確かめます。

「完全な証明」をこの 2 章に収めることはできません。Mazur・Ribet・Wiles の 3 つの定理の証明は、それぞれが論文 1 本（数十〜百ページ）です。この章と次の章が保証するのは、主張のみとした定理をすべて認めれば、残りの推論に飛躍がないことです。

記号を固定します。$\overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}$ を代数的数の全体、$G_{\mathbb{Q}} = \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ を絶対 Galois 群、$c \in G_{\mathbb{Q}}$ を複素共役とします。素数 $\ell$ について $v_\ell$ は $\ell$ 進付値、$p$ はつねに mod $p$ 表現の「$p$」です。

2. 論理の鎖の全体

扱いの記号は次のとおりです。【証明】 はこの章に証明がある段、【参照】 は Rikai の既存の記事に証明がある段、【主張】 は主張のみの段（証明は原論文）です。

表の用語（半安定、導手、不分岐、有限平坦など）は $\S 4$ 以降で定義するので、最初は用語を気にせず、段の並びだけを見てください。大づかみには、(F2) は指数 $3$ の別の議論、(F3)〜(F6) は「解があれば Frey 曲線という特別な楕円曲線ができる」ことの準備と性質、(F7) は Ribet の定理でレベルを下げる段、(F8) と (F9) で矛盾に至る段です。

段	主張	扱い	場所・出典
(F1)	指数の還元: $n = 4$ と奇素数 $p$ で解がなければ、すべての $n \ge 3$ で解がない	【参照】	命題 7.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］
(F1′)	$n = 4$ に解がない	【参照】	定理 7.3［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］
(F2)	$p = 3$ に解がない	【証明】	定理 3.3
(F3a)	Frey 曲線 $y^2 = x(x - A)(x + B)$ の判別式は $16(AB(A+B))^2$	【参照】	命題 9.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］
(F3b)	Frey 曲線は半安定で、$\Delta_{\min} = 2^{-8}(abc)^{2p}$、導手は $abc$ の素因数の積	【証明】	命題 4.13
(F4)	$\bar\rho_{E,p}$ は既約（$p \ge 5$）	【主張】	定理 10.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］（Mazur 1978）
(F5a)	$E[m] \cong (\mathbb{Z}/m)^2$	【証明】	命題 4.2
(F5b)	$\det\bar\rho_{E,p}$ は mod $p$ 円分指標。既約なら絶対既約	【証明】	命題 4.6、補題 4.7（Weil 対 定理 4.4 は【主張】）
(F5c)	良い還元の素数 $\ell \ne p$ で不分岐、$\mathrm{tr}\,\bar\rho_{E,p}(\mathrm{Frob}_\ell) \equiv a_\ell(E)$	【主張】	定理 5.1
(F5d)	乗法的還元の素数での Tate の一意化	【主張】	定理 5.3（Tate）
(F5e)	$p$ での有限平坦性の判定	【主張】	定理 5.5
(F5f)	Frey 曲線の $\bar\rho_{E,p}$ は $2p$ の外で不分岐、$p$ で有限平坦、$N(\bar\rho) = 2$、$k(\bar\rho) = 2$	【証明】	定理 5.10（(F5c)〜(F5e) を仮定）
(F6)	半安定な楕円曲線はモジュラー	【主張】	定理 10.6［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］（Wiles、Taylor–Wiles 1995。第 8 章）
(F7a)	レベル下げ: 素数 1 つをレベルから落とす	【主張】	定理 6.7（Ribet 1990）
(F7b)	Frey 曲線の $\bar\rho_{E,p}$ はレベル $2$ で保型的	【証明】	命題 6.9（(F7a) を仮定）
(F8)	$S_2(\Gamma_0(2)) = 0$	【参照】	定理 7.1（証明は 補題 10.8［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）
(F9)	(F1)〜(F8) ⇒ フェルマーの最終定理	【証明】	定理 8.1

既存の記事の 系 10.10［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の 5 段は、この表の (F3b)・(F4)・(F6)・(F7)・(F8) に当たります。そこで主張のみだった半安定性（命題 9.5［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）はこの章で証明に変わり、Ribet の定理の「必要な特別な場合」（定理 10.4［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）は (F5f) と (F7a)・(F7b) の合成として導かれます。

証明の依存関係。太い実線の枠はこの章で証明する段、破線の枠は Rikai の既存の証明を参照する段、点線の枠は主張のみの段です。

3. 指数 3：Eisenstein 整数での無限降下

$\omega = e^{2\pi i/3} = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}$ とおくと $\omega^2 + \omega + 1 = 0$、$\omega^3 = 1$ です。$\mathbb{Z}[\omega] = \{a + b\omega \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ は $\mathbb{C}$ の部分環で（$\omega^2 = -1 - \omega$）、その元を Eisenstein 整数といいます。ノルムを $N(\alpha) = \alpha\bar\alpha$ と定めると

$$N(a + b\omega) = (a + b\omega)(a + b\omega^2) = a^2 + ab(\omega + \omega^2) + b^2 = a^2 - ab + b^2$$

で、$N$ は非負整数値、$N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$、$N(\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$ です。

補題 3.1（Eisenstein 整数環の基本性質）✓

1. $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\omega]$、$\beta \ne 0$ に対し、$\alpha = \kappa\beta + \rho$、$N(\rho) < N(\beta)$ となる $\kappa, \rho \in \mathbb{Z}[\omega]$ がある。
2. $\mathbb{Z}[\omega]$ は単項イデアル整域であり、したがって一意分解整域である。
3. 単数は $\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2$ の 6 個で、$N(\alpha) = 1$ となる元と一致する。
4. $\lambda = 1 - \omega$ は素元で、$N(\lambda) = 3$、$3 = -\omega^2\lambda^2$。剰余環 $\mathbb{Z}[\omega]/(\lambda)$ は $0, 1, -1$ の類からなる 3 元体である。
5. 単数 $u$ が $u \equiv \pm 1 \pmod{\lambda^2}$ を満たすなら $u = \pm 1$ である。

証明（補題 3.1）

1〜3. 1、2 と「単数は $\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2$ の 6 個」は、同じテーマの第 3 章の 命題 2.2［リーマン予想 III］ の 1 と 2 で証明されています（$\alpha/\beta = r + s\omega$ の $r, s$ を最も近い整数に丸めると余りのノルムが $\frac34N(\beta)$ 以下になる、という議論です。単項イデアル整域が一意分解整域であることは 定理 2.5［多項式環と体の拡大］）。単数が $N(\alpha) = 1$ の元と一致することは、$\alpha\beta = 1$ なら $N(\alpha)N(\beta) = 1$ で $N(\alpha) = 1$、逆に $N(\alpha) = 1$ なら $\alpha\bar\alpha = 1$ で $\bar\alpha = a + b\omega^2 \in \mathbb{Z}[\omega]$ が逆元であることから分かります。

4. $N(\lambda) = 1 + 1 + 1 = 3$（$\lambda = 1 + (-1)\omega$）。$\lambda = \mu\nu$ なら $N(\mu)N(\nu) = 3$ なので一方のノルムは $1$ で、3 により単数です。よって $\lambda$ は既約元で、2 と 補題 2.4［多項式環と体の拡大］ により素元、$(\lambda)$ は極大イデアルです。$\lambda^2 = 1 - 2\omega + \omega^2 = -3\omega$ から $3 = -\omega^2\lambda^2$（$\omega^{-1} = \omega^2$）。$\omega \equiv 1 \pmod\lambda$ なので $a + b\omega \equiv a + b$、さらに $3 \in (\lambda)$ なので、どの元も $0, 1, -1$ のどれかと合同です。$\lambda \mid 1$、$\lambda \mid 2$ はノルムを比べると $3 \mid 1$、$3 \mid 4$ となり成り立たないので、$0, 1, -1$ は互いに合同でなく、剰余環はこの 3 元からなる体です。

5. $\omega - 1 = -\lambda$、$\omega + 1 = -\omega^2$、$\omega^2 - 1 = (\omega - 1)(\omega + 1) = \lambda\omega^2$、$\omega^2 + 1 = -\omega$ です。したがって $u \in \{\pm\omega, \pm\omega^2\}$ のとき、$u - 1$ と $u + 1$ は「単数」か「単数と $\lambda$ の積」で、どちらも $\lambda^2$ で割り切れません。

∎

2 と 4 から、$0$ でない $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]$ は $\alpha = \lambda^n\alpha'$（$\lambda \nmid \alpha'$）とただ 1 通りに書けます。この $n$ を $v_\lambda(\alpha)$ と書きます。次の補題が、$\mathbb{Z}$ での「立方数は $9$ を法として $0, \pm 1$」に当たります。

補題 3.2（立方数の合同）✓

$\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]$ が $\lambda$ で割り切れないなら、$\alpha^3 \equiv \pm 1 \pmod{\lambda^4}$ である（符号は $\alpha \equiv \pm 1 \pmod\lambda$ の符号）。

証明（補題 3.2）

補題 3.1 の 4 により $\alpha \equiv \pm 1 \pmod\lambda$ です。$\alpha$ を $-\alpha$ に替えれば（$(-\alpha)^3 = -\alpha^3$）、$\alpha = 1 + \beta\lambda$ の場合を示せば十分です。$1 - \omega = \lambda$、$1 - \omega^2 = (1 - \omega)(1 + \omega) = -\omega^2\lambda$ なので

$$\alpha^3 - 1 = (\alpha - 1)(\alpha - \omega)(\alpha - \omega^2) = \beta\lambda\cdot\lambda(\beta + 1)\cdot\lambda(\beta - \omega^2) = \lambda^3\,\beta(\beta + 1)(\beta - \omega^2).$$

$\omega^2 \equiv 1 \pmod\lambda$ なので 3 つの因子は $\lambda$ を法として $\beta$、$\beta + 1$、$\beta - 1$ と合同で、これらは 3 元体 $\mathbb{Z}[\omega]/(\lambda)$ の 3 つの元をすべて尽くします。よってどれか 1 つは $\lambda$ で割り切れ、$\lambda^4 \mid \alpha^3 - 1$ です。

∎

定理 3.3（指数 3 のフェルマーの最終定理）✓

$0$ でない $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z}[\omega]$ と単数 $u$ で $\alpha^3 + \beta^3 = u\gamma^3$ を満たすものは存在しない。とくに $x^3 + y^3 = z^3$、$xyz \ne 0$ を満たす整数 $x, y, z$ は存在しない。

証明の方針は無限降下法です。解があるとして、$\lambda = 1 - \omega$ で割り切れる回数が最小の解を取り、それより小さい回数の解を作って矛盾を導きます。途中で $\mathbb{Z}[\omega]$ が一意分解整域であることを使い、「互いに素な 3 つの積が立方なら、各因子も（単数倍を除いて）立方」と言えることが核心になります（第 5 段）。

証明（定理 3.3）

解があると仮定します。$\mathbb{Z}[\omega]$ は一意分解整域なので（補題 3.1 の 2）、3 つの共通の素因子で割っておけば、$\alpha, \beta, \gamma$ に共通の素因子はないとしてよいです（$\pi$ が 3 つを割るなら $(\alpha/\pi)^3 + (\beta/\pi)^3 = u(\gamma/\pi)^3$）。このとき対ごとに互いに素です。実際、素元 $\pi$ が 2 つを割れば、等式から残りの 1 つの 3 乗を割り（$u$ は単数）、素元なのでそれ自身を割ります。

第 1 段：$\lambda \nmid \alpha\beta\gamma$ は起こらない。 補題 3.2 により、$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \in \{\pm 1\}$ があって $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 - u\varepsilon_3 \equiv 0 \pmod{\lambda^4}$ です。$\varepsilon_1 + \varepsilon_2 \in \{0, \pm 2\}$ なので、左辺は $\pm u$ か $\pm 2 \pm u$ の形です。$N(\pm u) = 1$ で、$\pm 2 \pm u$ のノルムは $u = \pm 1$ なら $1$ か $9$、$u = \pm\omega, \pm\omega^2$ なら $N(2 \pm \omega) = 4 \mp 2 + 1 \in \{3, 7\}$（$\omega^2$ でも同じ値）です。どれも $0$ でなく $N(\lambda^4) = 81$ の倍数でもないので、$\lambda^4$ では割り切れません。矛盾です。

第 2 段：$\lambda \mid \gamma$ の形に直す。 対ごとに互いに素なので、$\lambda$ は $\alpha, \beta, \gamma$ のちょうど 1 つを割ります。$\lambda \mid \alpha$（$\lambda \mid \beta$ も $\alpha, \beta$ を入れ替えて同じ）のとき、$\lambda^3 \mid \alpha^3$ と 補題 3.2 から $\pm 1 \equiv \pm u \pmod{\lambda^3}$、すなわち $u \equiv \pm 1 \pmod{\lambda^3}$ で、補題 3.1 の 5 により $u = \pm 1$ です。すると $u^3 = u$ なので等式は $\beta^3 + (-u\gamma)^3 = (-\alpha)^3$ と書け、これは $(\alpha, \beta, \gamma, u)$ を $(\beta, -u\gamma, -\alpha, 1)$ に替えた同じ形の等式で、今度は右辺の元が $\lambda$ で割り切れます。したがって次の主張を示せば証明が終わります。

主張. 対ごとに互いに素な $0$ でない $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z}[\omega]$ と単数 $u$ で、$\lambda \mid \gamma$、$\alpha^3 + \beta^3 = u\gamma^3$ を満たすものは存在しない。

そのような組があるとし、$n = v_\lambda(\gamma) \ge 1$ が最小のものを取ります（公理 3.1［証明の技術］）。$\lambda \nmid \alpha\beta$ です。

第 3 段：$n \ge 2$。 補題 3.2 により $\alpha^3 + \beta^3 \equiv \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \pmod{\lambda^4}$（$\varepsilon_i = \pm 1$）です。左辺は $u\gamma^3$ なので $\lambda$ で割り切れますが、$\pm 2$ は $\lambda$ で割り切れない（$N(2) = 4$）ので $\varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 0$、すなわち $\lambda^4 \mid u\gamma^3$ です。$v_\lambda(\gamma^3) = 3n \ge 4$ から $n \ge 2$ です。

第 4 段：因数分解。 $X^3 + 1 = (X + 1)(X + \omega)(X + \omega^2)$ から

$$(\alpha + \beta)(\alpha + \omega\beta)(\alpha + \omega^2\beta) = \alpha^3 + \beta^3 = u\gamma^3 .$$

3 つの因子の差は

$$(\alpha + \beta) - (\alpha + \omega\beta) = \lambda\beta, \quad (\alpha + \omega\beta) - (\alpha + \omega^2\beta) = \omega\lambda\beta, \quad (\alpha + \beta) - (\alpha + \omega^2\beta) = -\omega^2\lambda\beta$$

で、どれも $\lambda$ で割り切れます。積が素元 $\lambda$ で割り切れるので因子の 1 つが、したがって 3 つとも $\lambda$ で割り切れます。$\delta$ を 2 つの因子の公約元とすると、$\delta$ はその差（単数 $\times\,\lambda\beta$）を割ります。また

$$\omega(\alpha + \beta) - (\alpha + \omega\beta) = -\lambda\alpha, \quad \omega(\alpha + \omega\beta) - (\alpha + \omega^2\beta) = -\lambda\alpha, \quad \omega^2(\alpha + \beta) - (\alpha + \omega^2\beta) = \lambda\omega^2\alpha$$

（左辺はそれぞれ $(\omega - 1)\alpha$、$(\omega - 1)\alpha$、$(\omega^2 - 1)\alpha$ で、$\omega^2 - 1 = \lambda\omega^2$ は 補題 3.1 の 5 の証明で計算しました）なので、$\delta$ は単数 $\times\,\lambda\alpha$ も割ります。$\alpha$ と $\beta$ は互いに素なので $\delta \mid \lambda$ です。よって

$$\frac{\alpha + \beta}{\lambda}, \qquad \frac{\alpha + \omega\beta}{\lambda}, \qquad \frac{\alpha + \omega^2\beta}{\lambda}$$

は対ごとに互いに素で、積は $u\gamma^3/\lambda^3$、その $v_\lambda$ は $3n - 3 \ge 3$ です。対ごとに互いに素なので $\lambda$ で割り切れるのはちょうど 1 つです。$\beta$ を $\omega\beta$ または $\omega^2\beta$ に替えても、等式（$(\omega\beta)^3 = \beta^3$）と仮定は変わらず、3 つの因子が入れ替わるだけなので、$\lambda \mid (\alpha + \beta)/\lambda$ としてよいです。

第 5 段：各因子は単数倍を除いて立方。 一意分解整域で、対ごとに互いに素な 3 元の積が「単数 $\times$ 立方」なら、各素元の指数はそれぞれの因子の中で $3$ の倍数なので、各因子が「単数 $\times$ 立方」です。したがって単数 $u_1, u_2, u_3$ と、対ごとに互いに素で $\lambda$ で割り切れない $0$ でない $\rho, \sigma, \tau$ があって

$$\alpha + \beta = u_1\lambda^{3n-2}\rho^3, \qquad \alpha + \omega\beta = u_2\lambda\sigma^3, \qquad \alpha + \omega^2\beta = u_3\lambda\tau^3 .$$

第 6 段：一次関係式。 $1 + \omega + \omega^2 = 0$ から

$$(\alpha + \beta) + \omega(\alpha + \omega\beta) + \omega^2(\alpha + \omega^2\beta) = \alpha(1 + \omega + \omega^2) + \beta(1 + \omega^2 + \omega^4) = 0 .$$

第 5 段を代入して $\omega u_2\lambda$ で割ると、単数 $u_4 = \omega u_3/u_2$、$u_5 = -u_1/(\omega u_2)$ により

$$\sigma^3 + u_4\tau^3 = u_5\bigl(\lambda^{n-1}\rho\bigr)^3 .$$

第 7 段：降下。 $n \ge 2$ なので右辺は $\lambda^3$ で割り切れます。補題 3.2 により $\pm 1 \pm u_4 \equiv 0 \pmod{\lambda^3}$、すなわち $u_4 \equiv \pm 1 \pmod{\lambda^3}$ で、補題 3.1 の 5 から $u_4 = \pm 1$、$u_4\tau^3 = (u_4\tau)^3$ です。よって

$$\sigma^3 + (u_4\tau)^3 = u_5\bigl(\lambda^{n-1}\rho\bigr)^3$$

で、$\sigma$、$u_4\tau$、$\lambda^{n-1}\rho$ は $0$ でなく対ごとに互いに素、$v_\lambda(\lambda^{n-1}\rho) = n - 1 \ge 1$ です。これは $n$ の最小性に反します。

最後に、整数 $x, y, z$（$xyz \ne 0$）が $x^3 + y^3 = z^3$ を満たせば、$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[\omega]$ なので $u = 1$ の解になり、前半に反します。

∎

Euler の 1770 年の証明は、本質的に $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ で「互いに素な積が立方なら各因子が立方」を使っていました。$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ は一意分解整域ではなく（$4 = 2\cdot 2 = (1 + \sqrt{-3})(1 - \sqrt{-3})$）、ここに穴がありました。上の証明は、一意分解が成り立つ $\mathbb{Z}[\omega]$ に移り、単数 $u$ を等式に含めたまま降下することでその穴を埋めています。単数を許すのは、第 6 段で必ず単数が現れるからです。

4. 等分点と Galois 表現

4.1. 等分点の個数と群構造

$k$ を標数 $0$ の代数閉体、$E : y^2 = f(x) = x^3 + ax + b$（$a, b \in k$、$4a^3 + 27b^2 \ne 0$）を楕円曲線とし、$m \ge 1$ に対し $E[m] = \{P \in E(k) \mid mP = O\}$ とおきます。$E[m]$ が $m^2$ 個の元からなることを、既存の記事が Hasse の定理の証明で使った「一般の点の $x$ 座標の次数」の方法で示します。

$K = k(x)$、$L = K[Y]/(Y^2 - f)$ とし、$Y$ の像を $y$、$\xi = (x, y) \in E(L)$ とします。$E(L)$ の元のうち $(R, yS)$（$R, S \in K$）の形のものと $O$ の全体 $G$ は $E(L)$ の部分群で、$D(O) = 0$、$D((R, yS)) = \deg R$（互いに素な多項式の商に書いたときの分子・分母の次数の大きい方）とおくと、すべての $P, Q \in G$ について

$$D(P + Q) + D(P - Q) = 2D(P) + 2D(Q)$$

が成り立ちます（補題 4.6［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］。そこでは $k = \overline{\mathbb{F}}_q$ として述べていますが、$G$ が部分群であることの確認と補題の証明が使っているのは、$k$ が標数 $2$ でない代数閉体であること、$f$ が重根をもたないこと、加法公式の 3 つだけなので、標数 $0$ の $k$ でも一字一句同じ証明が通ります）。

次の補題の目的は、$E[m]$ の元がちょうど $m^2$ 個あることを示すことです。方針は、一般の点 $\xi$ を $m$ 倍した $m\xi$ の $x$ 座標が次数 $m^2$ の有理関数 $R_m$ になることを使い、$R_m$ が一つの値 $c$ を取る点を数えます。それが $mP = Q$ となる点 $P$ の個数に等しく、最後に $E[m]$ の個数に結びつきます。

補題 4.1（等分点の個数）✓

上の設定で、すべての $m \ge 1$ について $\#E[m] = m^2$ である。

証明（補題 4.1）

$m = 1$ は自明なので $m \ge 2$ とします。

第 1 段：$m\xi$ の $x$ 座標の次数。 補題 4.5［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ を $D$ に使うと $D(j\xi) = j^2D(\xi) = j^2$（$j \in \mathbb{Z}$）です。とくに $j \ne 0$ なら $j\xi \ne O$ で、$j\xi = (R_j, yS_j)$（$R_j, S_j \in K$、$\deg R_j = j^2$）と書けます。$j \ge 2$ のとき $R_j \ne x$ です。$R_j = x$ なら $j\xi = \pm\xi$、すなわち $(j \mp 1)\xi = O$ となり、$D((j \mp 1)\xi) = (j \mp 1)^2 \ne 0$ に反します。

第 2 段：特殊化。 $P = (x_0, y_0) \in E(k)$ と、$R, S$ が $x_0$ で極をもたない $(R, yS) \in G$ に対し、$\mathrm{ev}_P(R, yS) = (R(x_0), y_0S(x_0))$ とおきます。$fS^2 = f(R)$ に $x_0$ を代入すると $y_0^2S(x_0)^2 = f(R(x_0))$ なので、これは $E(k)$ の点です。次を $j$ についての帰納法で示します。

各 $j \ge 1$ について有限集合 $B_j \subset k$ があり、$x_0 \notin B_j$ なら $R_j, S_j$ は $x_0$ で極をもたず、$jP = \mathrm{ev}_P(j\xi)$ である。

$j = 1$ は $B_1 = \emptyset$ で成り立ちます。$j = 2$: 命題 3.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の 2 倍公式により、$E(L)$ では $\lambda = (3x^2 + a)/(2y) = y(3x^2 + a)/(2f)$ として $R_2 = (3x^2 + a)^2/(4f) - 2x$、$S_2 = (3x^2 + a)(x - R_2)/(2f) - 1$ です。$f(x_0) \ne 0$ なら $y_0 \ne 0$ で、同じ公式が $P$ に使え、$2P = (R_2(x_0), y_0S_2(x_0))$ です。$B_2$ は $f$ の根の集合とします。$j \ge 2$ から $j + 1$ へ: $R_j \ne x$ なので、$E(L)$ で $\xi$ と $j\xi$ に $x$ 座標の異なる 2 点の加法公式を使うと、$\lambda = y(S_j - 1)/(R_j - x)$ として

$$R_{j+1} = \frac{f\,(S_j - 1)^2}{(R_j - x)^2} - x - R_j, \qquad S_{j+1} = \frac{(S_j - 1)(x - R_{j+1})}{R_j - x} - 1$$

です。$x_0 \notin B_j$ かつ $R_j(x_0) \ne x_0$ なら、$P$ と $jP = (R_j(x_0), y_0S_j(x_0))$ は $x$ 座標が異なるので同じ公式が使え、右辺に $x_0$ を代入した値が $(j+1)P$ の座標です。$B_{j+1} = B_j \cup \{x_0 \mid R_j(x_0) = x_0\}$ とおけば、$R_j - x$ は $0$ でない有理関数なので有限集合です。

第 3 段：一般のファイバーの個数。 $R_m = A/B$（$A, B \in k[x]$ は互いに素）と書くと $\max(\deg A, \deg B) = m^2$ です。$c \in k$ に対し方程式 $R_m(x_0) = c$ の解は $A - cB$ の根で $B$ の根でないものですが、$A - cB$ と $B$ の共通根は $A$ の根にもなるので存在せず、解は $A - cB$ の根と一致します。$W = A'B - AB'$ とおくと $W \ne 0$ です。$W = 0$ なら $A'B = AB'$ で、$A, B$ が互いに素なので $B \mid B'$、次数を比べて $B' = 0$、標数 $0$ なので $B$ は定数、すると $A' = 0$ で $A$ も定数となり、$\deg R_m = m^2 \ge 1$ に反します。$c$ を次の有限個の値以外に取ります。

• $\deg A = \deg B$ のときの最高次係数の比（このとき以外は $\deg(A - cB) = m^2$）。
• $W(x_0) = 0$、$B(x_0) \ne 0$ となる $x_0$ での値 $R_m(x_0)$（これを避ければ $A - cB$ は重根をもたない。重根 $x_0$ では $A(x_0) = cB(x_0)$、$A'(x_0) = cB'(x_0)$ から $W(x_0) = 0$ となる）。
• $x_0 \in B_m$ で $R_m$ が極をもたない点での値 $R_m(x_0)$（これを避ければ解はすべて $B_m$ の外にある）。
• $x(P) \in B_m$、$mP \ne O$ となる有限個の点 $P \in E(k)$ についての $x(mP)$。
• $f$ の根。

$k$ は無限体なのでそのような $c$ があります。このとき解の集合 $\mathrm{Sol} = \{x_0 \in k \mid R_m(x_0) = c\}$ はちょうど $m^2$ 個の元からなり（$A - cB$ は次数 $m^2$ で重根をもたず、$k$ は代数閉体）、$\mathrm{Sol} \cap B_m = \emptyset$ です。

第 4 段：数え上げ。 $d \in k$ を $d^2 = f(c)$ となるように取ると $d \ne 0$ で、$Q = (c, d) \in E(k)$、$Q \ne -Q$ です。$T = \{P \in E(k) \mid mP = Q\}$ とおき、写像 $T \to \mathrm{Sol}$、$P \mapsto x(P)$ が全単射であることを示します。

• 定義されること: $P \in T$ なら $P \ne O$、$mP = Q \ne O$、$x(mP) = c$ なので、$c$ の選び方（4 番目の条件）から $x(P) \notin B_m$ で、第 2 段から $R_m(x(P)) = x(mP) = c$ です。
• 単射: $x(P) = x(P')$ なら $P' = \pm P$ ですが、$P' = -P$ なら $mP' = -Q \ne Q$ なので $P' = P$ です。
• 全射: $x_0 \in \mathrm{Sol}$ に対し $y_0^2 = f(x_0)$ となる $y_0 \in k$ を取り、$P_\pm = (x_0, \pm y_0)$ とします。$x_0 \notin B_m$ なので第 2 段から $mP_\pm = (c, \pm y_0S_m(x_0))$ です。$x$ 座標が $c$ の点は $\pm Q$ だけなので $mP_+ \in \{Q, -Q\}$ で、$mP_- = -mP_+$ から $P_+$ か $P_-$ のどちらかが $T$ に入ります。

よって $\#T = m^2$ です。$T$ は空でないので $P_0 \in T$ を取ると、$P \in T \iff m(P - P_0) = O$ から $T = P_0 + E[m]$ で、$\#E[m] = \#T = m^2$ です。

∎

命題 4.2（等分点の群構造）✓

$F$ を標数 $0$ の体、$\bar F$ をその代数閉包、$E : y^2 = x^3 + ax + b$（$a, b \in F$、$4a^3 + 27b^2 \ne 0$）とする。すべての $m \ge 1$ について

$$E[m] = \{P \in E(\bar F) \mid mP = O\} \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2$$

であり、$\mathrm{Aut}(\bar F/F)$ は座標への作用によって $E[m]$ に群の自己同型として作用する。

証明（命題 4.2）

$A = E[m]$ は有限アーベル群で（補題 4.1）、$mA = 0$、また $d \mid m$ のとき $\{P \in A \mid dP = O\} = E[d]$ の位数は $d^2$ です。$m \ge 2$ とし、系 6.1［加群と PID 上の構造定理］ により $A \cong \mathbb{Z}/d_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_s$（$2 \le d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$）と書きます。$mA = 0$ なので各 $d_i$ は $m$ を割ります。$d_1$ の素因数 $\ell$ を取ると、$\ell$ はすべての $d_i$ を割るので、各 $\mathbb{Z}/d_i$ の中で $\ell$ 倍して $0$ になる元は $\ell$ 個、したがって $\#E[\ell] = \ell^s$ です。$\#E[\ell] = \ell^2$ から $s = 2$。$d_1d_2 = \#A = m^2$ と $d_1, d_2 \le m$ から $d_1 = d_2 = m$ です。

$\sigma \in \mathrm{Aut}(\bar F/F)$ は $(x_0, y_0) \mapsto (\sigma x_0, \sigma y_0)$、$O \mapsto O$ で $E(\bar F)$ に作用します（方程式の係数が $F$ の元なので）。加法公式（命題 3.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）は座標と $a$ の有理式なので $\sigma(P + Q) = \sigma P + \sigma Q$ で、$mP = O$ なら $m\,\sigma P = O$ です。

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この章で扱う Frey 曲線は $y^2 = x^3 + a_2x^2 + a_4x$ の形ですが、$x$ を $x - a_2/3$ に替えれば短い形になり、群構造も Galois 作用もこの置き換えで移ります。以下、この同一視のもとで 命題 4.2 を使います。

4.2. mod p 表現・Tate 加群・円分指標

定義 4.3（楕円曲線の Galois 表現）↗

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$p$ を素数とする。

1. $E[p] \cong (\mathbb{Z}/p)^2$（命題 4.2）の $\mathbb{F}_p$ 上の基底を選んで得られる準同型 $\bar\rho_{E,p} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ を mod $p$ 表現という（定義 10.1［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ と同じもの）。$E[p]$ の点の座標を $\mathbb{Q}$ に添加した体 $\mathbb{Q}(E[p])$ は有限次 Galois 拡大で、$\bar\rho_{E,p}$ は制限写像 $G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(E[p])/\mathbb{Q})$ を経由し、後者の上で単射である。
2. $p$ 倍写像 $E[p^{n+1}] \to E[p^n]$ に関する逆極限 $T_pE = \varprojlim_n E[p^n]$ を $p$ 進 Tate 加群という。$E[p^n] \cong (\mathbb{Z}/p^n)^2$ から $T_pE \cong \mathbb{Z}_p^2$ で、$G_{\mathbb{Q}}$ の作用が定める $\rho_{E,p} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ を $p$ 進表現という。$\rho_{E,p}$ を $p$ を法として見たものが $\bar\rho_{E,p}$ である。
3. $\mu_{p^n} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ を $1$ の $p^n$ 乗根の群とする。$\sigma \in G_{\mathbb{Q}}$ に対し、すべての $n$ とすべての $\zeta \in \mu_{p^n}$ について $\sigma\zeta = \zeta^{\chi_p(\sigma)}$ となる $\chi_p(\sigma) \in \mathbb{Z}_p^\times$ がただ 1 つ定まる。$\chi_p : G_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{Z}_p^\times$ を $p$ 進円分指標、$\bar\chi_p = \chi_p \bmod p : G_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{F}_p^\times$ を mod $p$ 円分指標という。

有限群 $H$ への準同型 $G_{\mathbb{Q}} \to H$ が連続であるとは、ある有限次 Galois 拡大 $K/\mathbb{Q}$ について制限写像 $G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ を経由することをいう。有限体 $k$ について、連続な準同型 $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を単に mod $p$ 表現と呼び、$\bar\rho \otimes \bar k$ が既約（$\bar k^2$ に $\bar\rho(G_{\mathbb{Q}})$ で保たれる直線がない）のとき絶対既約、$\det\bar\rho(c) = -1$ のとき奇であるという。

1 で $\mathbb{Q}(E[p])/\mathbb{Q}$ が Galois 拡大であるのは、$E[p]$ が有限集合で $G_{\mathbb{Q}}$ の作用で保たれ、座標がすべて代数的数だからです。$\sigma$ が $E[p]$ のすべての点を固定することは $\mathbb{Q}(E[p])$ の上で恒等写像であることと同じなので、単射性も従います。3 の $\chi_p(\sigma)$ は、$\mu_{p^n}$ が位数 $p^n$ の巡回群（定理 7.3［多項式環と体の拡大］）で、その自己同型が $(\mathbb{Z}/p^n)^\times$ の元によるべき乗であることから定まります。複素共役は $c\zeta = \bar\zeta = \zeta^{-1}$ なので $\chi_p(c) = -1$ です。

定理 4.4（Weil 対）※

$E$ を標数 $0$ の体 $F$ 上の楕円曲線、$m \ge 1$ とする。写像 $e_m : E[m] \times E[m] \to \mu_m$ で次を満たすものが存在する。

1. 双線形: $e_m(P + P', Q) = e_m(P, Q)\,e_m(P', Q)$、$e_m(P, Q + Q') = e_m(P, Q)\,e_m(P, Q')$。
2. 交代的: $e_m(P, P) = 1$。
3. 非退化: すべての $Q$ で $e_m(P, Q) = 1$ ならば $P = O$。
4. Galois 同変: $\sigma \in \mathrm{Aut}(\bar F/F)$ について $e_m(\sigma P, \sigma Q) = \sigma\bigl(e_m(P, Q)\bigr)$。

注意 4.5

主張のみ。 構成は、因子 $m[P] - m[O]$ を因子にもつ $E$ 上の有理関数を使うもので、曲線上の因子と Riemann–Roch の定理（Rikai では 定理 3.3［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の結合律の証明の付録で言葉だけ導入したもの）を要します。出典: J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 第 III 章 §8。

命題 4.6（行列式は円分指標）✓

定理 4.4 を仮定する。$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線 $E$ と素数 $p$ について $\det\bar\rho_{E,p} = \bar\chi_p$ である。とくに $p$ が奇素数なら $\bar\rho_{E,p}$ は奇である。

証明（命題 4.6）

$E[p]$ の基底 $P, Q$ を取り、$\zeta = e_p(P, Q)$ とおきます。$\zeta = 1$ なら、双線形性と交代性から $e_p(P, iP + jQ) = e_p(P, P)^i\zeta^j = 1$ がすべての $i, j$ で成り立ち、非退化性から $P = O$ となって基底であることに反します。よって $\zeta$ は $1$ の原始 $p$ 乗根です。交代性を $P + Q$ に使うと $1 = e_p(P + Q, P + Q) = e_p(P, Q)\,e_p(Q, P)$ なので $e_p(Q, P) = \zeta^{-1}$ です。$\sigma \in G_{\mathbb{Q}}$ について $\sigma P = \alpha P + \gamma Q$、$\sigma Q = \beta P + \delta Q$（$\bar\rho_{E,p}(\sigma) = \begin{pmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{pmatrix}$）とすると、双線形性から

$$e_p(\sigma P, \sigma Q) = e_p(P, P)^{\alpha\beta}\,e_p(P, Q)^{\alpha\delta}\,e_p(Q, P)^{\gamma\beta}\,e_p(Q, Q)^{\gamma\delta} = \zeta^{\alpha\delta - \beta\gamma}.$$

Galois 同変性から左辺は $\sigma\zeta = \zeta^{\bar\chi_p(\sigma)}$ なので $\det\bar\rho_{E,p}(\sigma) = \bar\chi_p(\sigma)$ です。$\bar\chi_p(c) = -1$ で、$p$ が奇数なら $-1 \ne 1$ なので奇です。

∎

補題 4.7（奇な既約表現は絶対既約）✓

$k$ を標数が奇数の有限体、$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を奇な mod $p$ 表現とする。$k^2$ に $\bar\rho(G_{\mathbb{Q}})$ で保たれる直線がなければ（$k$ 上既約なら）、$\bar\rho$ は絶対既約である。

証明（補題 4.7）

$M = \bar\rho(c)$ は $M^2 = 1$、$\det M = -1$ を満たします。$(M - 1)(M + 1) = 0$ で、$M = \pm 1$ なら $\det M = 1$ となるので $M \ne \pm 1$、したがって $M$ は固有値 $1$ と $-1$ をもち（$1 \ne -1$）、固有空間 $L_\pm = \ker(M \mp 1) \subset k^2$ はどちらも $k$ 上の直線です。$\bar k^2$ の中で $M$ で保たれる直線は $L_+ \otimes \bar k$ と $L_- \otimes \bar k$ の 2 本だけです（保たれる直線は固有ベクトルが張る）。$\bar k^2$ に $\bar\rho(G_{\mathbb{Q}})$ で保たれる直線 $L$ があれば、$L$ は $M$ でも保たれるので $L = L_\pm \otimes \bar k$ で、$g \in G_{\mathbb{Q}}$ について $\bar\rho(g)L_\pm \subset (L_\pm \otimes \bar k) \cap k^2 = L_\pm$（$\bar\rho(g)$ の成分は $k$ の元）となり、$L_\pm$ が $k^2$ の保たれる直線になって仮定に反します。

∎

4.3. 惰性群・不分岐・有限平坦

この節の目的は、絶対 Galois 群 $G_{\mathbb{Q}}$ の中から「素数 $\ell$ のところで見える部分」（分解群と惰性群）を取り出し、表現が $\ell$ で不分岐であるとは何かを定義することです。後で、Frey 曲線の $E[p]$ が $2$ と $p$ の外で不分岐であることを述べるために使います。$\mathbb{Q}_\ell$ は有理数を $\ell$ 進付値で完備化した体（$\ell$ 進数体）で、これに有限次の不分岐拡大をすべて合わせた体が最大不分岐拡大 $\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ です。惰性群は、この $\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ を動かさない自己同型の群として定義されます。

素数 $\ell$ ごとに、$\mathbb{Q}_\ell$ の代数閉包 $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$ と埋め込み $\overline{\mathbb{Q}} \hookrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_\ell$ を固定します。$\ell$ 進付値 $v_\ell$ は $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$ にただ 1 通りに延長され（定理 2.4［局所体］）、$\mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}_\ell/\mathbb{Q}_\ell)$ の元で不変です。

定義 4.8（分解群・惰性群・不分岐・Frobenius）↗

$G_\ell = \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}_\ell/\mathbb{Q}_\ell)$ とおき、制限 $\sigma \mapsto \sigma|_{\overline{\mathbb{Q}}}$ によって $G_{\mathbb{Q}}$ への準同型 $G_\ell \to G_{\mathbb{Q}}$ を得る（$\ell$ での分解群）。$\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}} = \bigcup_{n \ge 1}\mathbb{Q}_\ell(\zeta_{\ell^n - 1})$（$\zeta_r$ は $1$ の原始 $r$ 乗根）を $\mathbb{Q}_\ell$ の最大不分岐拡大といい、$I_\ell = \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}_\ell/\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}) \subset G_\ell$ を惰性群という。

$G_{\mathbb{Q}}$ の作用する集合や、準同型 $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to H$ が $\ell$ で不分岐であるとは、$I_\ell$ が自明に作用する（$\bar\rho(I_\ell) = 1$）ことをいう。$G_\ell$ の元で、$\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ の整数環の剰余体 $\overline{\mathbb{F}}_\ell$ に $x \mapsto x^\ell$ を引き起こすものを Frobenius 元といい $\mathrm{Frob}_\ell$ と書く。$\bar\rho$ が $\ell$ で不分岐なら、$\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell)$ は $\mathrm{Frob}_\ell$ の選び方によらない。

各 $\mathbb{Q}_\ell(\zeta_{\ell^n - 1})$ は $\mathbb{Q}_\ell$ の $n$ 次の不分岐拡大で、有限次の不分岐拡大はこれらで尽くされ、$\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ 上で $v_\ell$ の値は整数、$\mathbb{Q}_\ell(\zeta_{\ell^n-1})$ の整数環は剰余体 $\mathbb{F}_{\ell^n}$ の完備離散付値環です（定理 4.2［局所体］）。埋め込みを取り替えると $G_\ell$、$I_\ell$ の像は $G_{\mathbb{Q}}$ の中で共役に移るので、不分岐性は埋め込みによらず、$\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell)$ は共役類として定まります。有限次 Galois 拡大 $K/\mathbb{Q}$ について、$I_\ell$ の $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ での像は $\ell$ の上の素イデアルの惰性群（定義 3.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］）に一致するので、「$\bar\rho_{E,p}$ が $\ell$ で不分岐」は「$\ell$ が $\mathbb{Q}(E[p])$ で不分岐」と同じことです。この言い換えは以下の証明では使いません。

惰性群に十分多くの元があることは、次の補題で保証されます。

補題 4.9（代数閉包への自己同型の延長）✓

$\Omega$ を代数閉体、$F \subseteq \Omega$ を部分体で $\Omega$ が $F$ 上代数的であるものとする。中間体 $M$ と、$F$ の元を固定する体の埋め込み $\tau : M \to \Omega$ に対し、$\tau$ を延長する $\Omega$ の自己同型が存在する。とくに $w \in \Omega$ の $F$ 上の最小多項式が $w$ と異なる根 $w' \in \Omega$ をもつなら、$\sigma w = w'$ となる $\sigma \in \mathrm{Aut}(\Omega/F)$ がある。

証明（補題 4.9）

$M \subseteq M' \subseteq \Omega$ なる中間体と $\tau$ を延長する埋め込み $\tau' : M' \to \Omega$ の組 $(M', \tau')$ の全体を、延長の関係で半順序集合と見ます。鎖 $\{(M_i, \tau_i)\}$ は、和集合 $\bigcup M_i$ の上で $\tau_i$ たちを貼り合わせた埋め込みを上界にもつので、定理 5.1［選択公理と Zorn の補題］ により極大元 $(M', \tau')$ があります。$\alpha \in \Omega \setminus M'$ があったとすると、$\alpha$ は $F$ 上、したがって $M'$ 上代数的で、最小多項式を $m \in M'[x]$ とします。係数に $\tau'$ を施した $m^{\tau'}$ は $\tau'(M')$ 上既約で、$\Omega$ が代数閉体なので根 $\alpha' \in \Omega$ をもちます。命題 6.2［多項式環と体の拡大］ から

$$M'(\alpha) \cong M'[x]/(m) \cong \tau'(M')[x]/(m^{\tau'}) \cong \tau'(M')(\alpha')$$

で、これは $\tau'$ を延長する埋め込み $M'(\alpha) \to \Omega$ を与え、極大性に反します。よって $M' = \Omega$ です。$\tau'(\Omega)$ は $\Omega$ と同型なので代数閉体で、$F \subseteq \tau'(\Omega)$ です。$\beta \in \Omega$ は $F$ 上代数的なので $\tau'(\Omega)$ 係数の多項式の根で、その多項式は $\tau'(\Omega)$ の中で 1 次式の積に分解するので $\beta \in \tau'(\Omega)$。したがって $\tau'$ は全射で、$\Omega$ の自己同型です。

後半は、$M = F(w)$ と、$w \mapsto w'$ で定まる埋め込み $F(w) \cong F[x]/(m_w) \cong F(w') \subseteq \Omega$ に前半を使います。

∎

$\ell = p$ では「不分岐」は強すぎる条件です（$\det\bar\rho_{E,p} = \bar\chi_p$ が $p$ で分岐するので）。代わりになるのが次の条件です。

定義 4.10（有限（有限平坦））↗

mod $p$ 表現 $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ が $p$ で有限（finite）であるとは、$\mathbb{Z}_p$ 上の有限平坦群スキーム $\mathcal{F}$ で、$G_p$ 加群として $\mathcal{F}(\overline{\mathbb{Q}}_p) \cong k^2$（右辺は $\bar\rho|_{G_p}$ による作用）となるものが存在することをいう。素数 $\ell \ne p$ については、$\bar\rho$ が $\ell$ で不分岐であることを $\ell$ で有限であるという。

有限平坦群スキームの理論はこの章では展開しません。この定義が必要なのは、Ribet の定理（定理 6.7）の仮定を正確に述べるためと、Frey 曲線がその仮定を満たすこと（定理 5.5、主張のみ）を述べるためです。素朴には「$p$ での分岐が、$p$ で良い還元をもつ曲線の $p$ 等分点と同じ程度に小さい」という条件です。

4.4. 還元の型と Frey 曲線の極小モデル

定義 4.11（良い還元・乗法的還元・半安定）↗

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$\ell$ を素数とする。$E$ の方程式から、有理数係数の変数変換 $x = u^2x' + r$、$y = u^3y' + su^2x' + t$（$u \ne 0$）で得られる一般 Weierstrass 方程式

$$y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$$

で、係数 $a_i$ の分母が $\ell$ で割り切れないものを、$E$ の $\ell$ 整なモデルという。その $c_4$ と判別式 $\Delta$（定義式は既存の記事の付録）について、

• $v_\ell(\Delta) = 0$ となる $\ell$ 整なモデルがあるとき、$E$ は $\ell$ で良い還元をもつ、
• $v_\ell(\Delta) > 0$ かつ $v_\ell(c_4) = 0$ となる $\ell$ 整なモデルがあるとき、$E$ は $\ell$ で乗法的還元をもつ

という。このどちらかのモデルの $v_\ell(\Delta)$ を $v_\ell(\Delta_{\min})$ と書く。すべての素数で良い還元か乗法的還元をもつとき $E$ は半安定であるといい、乗法的還元をもつ素数の積を $E$ の導手 $N_E$ という。

注意 4.12

変数変換で $c_4' = u^{-4}c_4$、$\Delta' = u^{-12}\Delta$ となります。$v_\ell(\Delta) = 0$ または $v_\ell(c_4) = 0$ の $\ell$ 整なモデルから別の $\ell$ 整なモデルに移るとき、$c_4', \Delta'$ の $\ell$ 進付値が負にならないためには $v_\ell(u) \le 0$ でなければならず、$v_\ell(\Delta') \ge v_\ell(\Delta)$ です。したがって上の 2 つの場合のモデルは $v_\ell(\Delta)$ を最小にする（極小な）モデルで、$v_\ell(\Delta_{\min})$ はモデルの選び方によらず、2 つの場合が同時に起こることもありません。この定義は、定義 9.4［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の定義（極小モデルを $\ell$ を法として還元した 3 次曲線が非特異、または結節点をもつ）を、$\Delta$ と $c_4$ の条件に言い直したものです（Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 第 VII 章 §5）。半安定な曲線の導手が乗法的還元の素数の積であることは導手の一般の定義からの帰結ですが、この章では上のとおり定義として採ります。

命題 4.13（Frey 型の曲線の極小モデル）✓

$A, B$ を整数とし、$A$、$B$、$C = A + B$ は $0$ でなく対ごとに互いに素、$A \equiv 3 \pmod 4$、$16 \mid B$ とする。$E : y^2 = x(x - A)(x + B)$ について次が成り立つ。

1. 変換 $x = 4X$、$y = 8Y + 4X$ により、$E$ は整数係数の方程式 $$Y^2 + XY = X^3 + \frac{B - A - 1}{4}X^2 - \frac{AB}{16}X$$ に移り、その不変量は $c_4 = A^2 + AB + B^2$、$\Delta = 2^{-8}(ABC)^2$ である。
2. $E$ は半安定で、すべての素数 $\ell$ について $v_\ell(\Delta_{\min}) = v_\ell\bigl(2^{-8}(ABC)^2\bigr)$。乗法的還元をもつ素数は、$ABC$ の奇素因数と、$32 \mid B$ のときの $2$ である。
3. とくに、素数 $p \ge 5$ と、対ごとに互いに素な $0$ でない整数 $\alpha, \beta, \gamma$ について $A = \alpha^p$、$B = \beta^p$、$C = \gamma^p$ であり $\beta$ が偶数なら、$N_E = \prod_{\ell \mid \alpha\beta\gamma}\ell$ で、 $$v_\ell(\Delta_{\min}) = 2p\,v_\ell(\alpha\beta\gamma) \ (\ell \ne 2), \qquad v_2(\Delta_{\min}) = 2p\,v_2(\beta) - 8 .$$

証明（命題 4.13）

1. $E$ の方程式は $y^2 = x^3 + (B - A)x^2 - ABx$ です。代入すると

$$64Y^2 + 64XY + 16X^2 = 64X^3 + 16(B - A)X^2 - 4ABX$$

で、$64$ で割って整理すると主張の式になります。$B \equiv 0$、$A \equiv 3 \pmod 4$ から $B - A - 1 \equiv -4 \equiv 0 \pmod 4$、$16 \mid B$ から $16 \mid AB$ なので係数は整数です。この方程式は $a_1 = 1$、$a_2 = (B - A - 1)/4$、$a_3 = 0$、$a_4 = -AB/16$、$a_6 = 0$ で、

$$b_2 = a_1^2 + 4a_2 = B - A, \quad b_4 = 2a_4 + a_1a_3 = -\frac{AB}{8}, \quad b_6 = 0, \quad b_8 = -a_4^2 = -\frac{A^2B^2}{256}$$

（$b_8 = a_1^2a_6 + 4a_2a_6 - a_1a_3a_4 + a_2a_3^2 - a_4^2$ で $a_3 = a_6 = 0$）。よって

$$c_4 = b_2^2 - 24b_4 = (B - A)^2 + 3AB = A^2 + AB + B^2,$$$$\Delta = -b_2^2b_8 - 8b_4^3 - 27b_6^2 + 9b_2b_4b_6 = \frac{(B - A)^2A^2B^2}{256} + \frac{8A^3B^3}{512} = \frac{A^2B^2\bigl((B - A)^2 + 4AB\bigr)}{256} = \frac{(ABC)^2}{2^8}.$$

2. 1 の方程式はすべての素数 $\ell$ で $\ell$ 整です。$\ell \nmid ABC$ かつ $\ell \ne 2$ なら $v_\ell(\Delta) = 0$ で良い還元です。$\ell$ が $ABC$ の奇素因数なら $v_\ell(\Delta) > 0$ で、対ごとに互いに素なので $\ell$ は $A, B, C$ のちょうど 1 つを割ります。$\ell \mid A$ なら $c_4 \equiv B^2$、$\ell \mid B$ なら $c_4 \equiv A^2$、$\ell \mid C$ なら $c_4 = (A + B)^2 - AB \equiv -AB \pmod\ell$ で、どの場合も $\ell \nmid c_4$、乗法的還元です。$\ell = 2$: $A$ は奇数、$B$ は偶数なので $c_4$ は奇数、$C$ も奇数で、$v_2(\Delta) = 2v_2(B) - 8 \ge 0$ です。$v_2(B) = 4$ なら良い還元、$v_2(B) \ge 5$ なら乗法的還元です。

3. $\beta$ が偶数で $p \ge 5$ なので $32 \mid \beta^p = B$、$v_2(B) = p\,v_2(\beta)$ です。$ABC = (\alpha\beta\gamma)^p$ を 2 に代入します。

∎

例 4.14（3² + 4² = 5² から作る曲線の導手）

既存の記事の 例 9.3［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ は $y^2 = x(x - 9)(x + 16)$ を扱いました。ここでは $A = 9 \equiv 1 \pmod 4$ なので 命題 4.13 の正規化を満たしません。同じ等式を $-25 + 16 = -9$ と読み、$A = -25 \equiv 3 \pmod 4$、$B = 16$、$C = -9$ とすると仮定を満たします。$E' : y^2 = x(x + 25)(x + 16)$ は

$$Y^2 + XY = X^3 + 10X^2 + 25X$$

に移り（$(16 + 25 - 1)/4 = 10$、$-AB/16 = 25$）、$c_4 = 625 - 400 + 256 = 481 = 13\cdot 37$、$\Delta = (25\cdot 16\cdot 9)^2/2^8 = 3600^2/256 = 50625 = 15^4$ です。$v_2(B) = 4$ なので $2$ で良い還元、$3$ と $5$ で乗法的還元をもち、導手は $15$、$v_3(\Delta_{\min}) = v_5(\Delta_{\min}) = 4$ です。指数 $p = 2$ に当たるので $2p\,v_\ell(abc) = 4$ と合っています。

もとの $y^2 = x(x - 9)(x + 16)$ は、$E'$ で $x$ を $-x - 16$ に替えた $-y^2 = x(x - 9)(x + 16)$ と $y^2$ の符号だけが違う曲線（$E'$ の $-1$ による 2 次ひねり）で、$2$ での還元が良くありません。$A \equiv 3 \pmod 4$ という正規化は、$2$ での還元をできるだけ良くする符号の選び方です。

例 4.15（E[2] と mod 2 表現）

$E : y^2 = (x - e_1)(x - e_2)(x - e_3)$（$e_i \in \overline{\mathbb{Q}}$ は相異なる）では、$-(x, y) = (x, -y)$ なので $2P = O$ は $P = O$ または $y = 0$ と同値で、$E[2] = \{O, (e_1, 0), (e_2, 0), (e_3, 0)\}$ は位数 $4 = 2^2$ です（命題 4.2 と合う）。$\bar\rho_{E,2}$ の像は、$G_{\mathbb{Q}}$ が 3 つの根 $e_1, e_2, e_3$ を置換する様子そのものです。Frey 型の曲線では $e_i \in \{0, A, -B\}$ がすべて有理数なので $\bar\rho_{E,2}$ は自明です。これが Mazur の定理（定理 10.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）の仮定「$E[2] \subset E(\mathbb{Q})$」です。

5. 局所的な振る舞い：Frey 曲線の mod p 表現はどこで分岐するか

5.1. 3 つの入力（主張のみ）

定理 5.1（良い還元の素数での不分岐性と Frobenius のトレース）※

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$p$ を素数、$\ell \ne p$ を $E$ が良い還元をもつ素数とする。このとき $\rho_{E,p}$（したがって $\bar\rho_{E,p}$）は $\ell$ で不分岐で、

$$\mathrm{tr}\,\rho_{E,p}(\mathrm{Frob}_\ell) = a_\ell(E) = \ell + 1 - \#\tilde E(\mathbb{F}_\ell)$$

が成り立つ（$a_\ell(E)$ は 定義 4.4［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）。

注意 5.2

主張のみ。 証明には、還元写像 $E(\overline{\mathbb{Q}}_\ell) \to \tilde E(\overline{\mathbb{F}}_\ell)$ が群準同型で $p$ べき等分点の上で単射であること（形式群の理論）と、有限体上の楕円曲線の Frobenius 自己準同型の Tate 加群でのトレースが $a_\ell$ であること（同種写像の次数の理論）が要り、どちらも Rikai にありません。出典: Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 第 V 章 §2 と第 VII 章 §3・§7（Néron–Ogg–Shafarevich の判定法）。Darmon–Diamond–Taylor（以下 DDT。参考文献）の Proposition 2.11 (a) がこの形の主張です。

定理 5.3（Tate の一意化）※

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$\ell$ を $E$ が乗法的還元をもつ素数とする。このとき次のものが存在する。

• $q \in \mathbb{Q}_\ell^\times$ で $v_\ell(q) = v_\ell(\Delta_{\min}) > 0$ を満たすもの（Tate の周期）、
• $\mathbb{Q}_\ell \subseteq L \subseteq \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$、$[L : \mathbb{Q}_\ell] \le 2$ を満たす体 $L$、
• 群の同型 $\phi : \overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times/q^{\mathbb{Z}} \to E(\overline{\mathbb{Q}}_\ell)$ で、すべての $\sigma \in \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}_\ell/L)$ と $x$ について $\phi(\sigma x) = \sigma\phi(x)$ となるもの。

注意 5.4

主張のみ。 Tate による $\ell$ 進解析的な構成（$\mathbb{C}^\times/q^{\mathbb{Z}}$ による複素楕円曲線の表示の $\ell$ 進版。$q$ のべき級数で書いた Weierstrass 係数 $a_4(q), a_6(q)$ をもつ曲線 $E_q$ を作り、$j(E_q) = j(E)$ となる $q$ を取る）で、$\ell$ 進解析と楕円関数の恒等式を要します。$L = \mathbb{Q}_\ell$ と取れるのは還元が分裂型のときで、非分裂型のときは $L$ は不分岐 2 次拡大です。出典: Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, 第 V 章 §3・§5。DDT, Proposition 1.5。

定理 5.5（p での有限性の判定）※

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$p$ を素数とする。

1. $E$ が $p$ で良い還元をもつなら、$\bar\rho_{E,p}$ は $p$ で有限である。
2. $E$ が $p$ で乗法的還元をもつとき、$\bar\rho_{E,p}$ が $p$ で有限であることは $p \mid v_p(\Delta_{\min})$ と同値である。

注意 5.6

主張のみ。 1 は極小モデルが $\mathbb{Z}_p$ 上の群スキームとして延び、その $p$ 等分点が有限平坦群スキームになることによります。2 は Tate の一意化から $E[p]$ を $\mu_p$ による $\mathbb{Z}/p$ の拡大として表し、その拡大類が $q$ の Kummer 類であることと、そのような拡大が有限平坦群スキームから来る条件（$q$ が単数と $p$ 乗の積であること）によります。出典: DDT, Proposition 2.11 (b) と Proposition 2.12 (d)（後者の証明は Edixhoven の結果と Serre 1987 の §2.9 を引いています）。

5.2. 不分岐性の判定

補題 5.7（不分岐な p 乗根）✓

$\ell \ne p$ を素数とする。

1. $1$ の $p$ 乗根はすべて $\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ に属する。
2. $q \in \mathbb{Q}_\ell^\times$ について、$x^p = q$ の解が $\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ に存在することは $p \mid v_\ell(q)$ と同値で、このとき解はすべて $\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ に属する。

証明（補題 5.7）

1. 定理 5.1［合同式とフェルマーの小定理］ により $\ell^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ なので、$n = p - 1$ とすると $p \mid \ell^n - 1$ で、$\zeta_{\ell^n - 1}^{(\ell^n - 1)/p} \in \mathbb{Q}_\ell(\zeta_{\ell^n - 1}) \subset \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ は $1$ の原始 $p$ 乗根です。$1$ の $p$ 乗根はそのべきです。

2. $w \in \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$、$w^p = q$ なら $p\,v_\ell(w) = v_\ell(q)$ で、$\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ 上で $v_\ell$ は整数値なので $p \mid v_\ell(q)$ です。逆に $v_\ell(q) = pm$ とし、$q = \ell^{pm}u$、$u \in \mathbb{Z}_\ell^\times$ と書きます。$u$ の $\mathbb{F}_\ell$ での像 $\bar u \ne 0$ について、$X^p - \bar u$ の $\overline{\mathbb{F}}_\ell$ での根 $\bar w$ を 1 つ取ると、$\bar w \ne 0$、微分 $p\bar w^{p-1} \ne 0$（$p \ne \ell$）なので単根で、$\bar w$ はある $\mathbb{F}_{\ell^n}$ に属します。$\mathbb{Q}_\ell(\zeta_{\ell^n - 1})$ の整数環 $\mathcal{O}_n$ は剰余体 $\mathbb{F}_{\ell^n}$ の完備局所環なので、$X^p - \bar u = (X - \bar w)h_0(X)$（$h_0(\bar w) \ne 0$、すなわち 2 つの因子は互いに素）に 定理 7.3［完備化と Artin–Rees の補題］ を使うと、$X^p - u = (X - w)h(X)$ となる $w \in \mathcal{O}_n$ が得られます。$\ell^mw \in \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ は $x^p = q$ の解です。他の解はこれに $1$ の $p$ 乗根を掛けたもので、1 により $\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ に属します。

∎

次の命題は、Tate の一意化を使って $E[p]$ を具体的に書き下し、惰性群の作用を読み取ります。$E[p]$ は、$\overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times$ の中で $p$ 乗すると $q^{\mathbb{Z}}$ に入る元の類として表され、$1$ の $p$ 乗根 $\zeta$ と $q$ の $p$ 乗根 $w$ の 2 つで張られます。惰性群が $\zeta$ を動かさず、$w$ を $\zeta$ の冪倍に動かすだけなので、作用の行列の形と、不分岐になる条件 $p \mid v_\ell(\Delta_{\min})$ が見えてきます。

命題 5.8（乗法的還元の素数での惰性群の作用）△

定理 5.3 を仮定する。$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$\ell \ne p$ を素数とし、$E$ は $\ell$ で乗法的還元をもつとする。このとき $E[p]$ の基底で、すべての $\sigma \in I_\ell$ について

$$\bar\rho_{E,p}(\sigma) = \begin{pmatrix} 1 & \kappa(\sigma) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \kappa(\sigma) \in \mathbb{F}_p$$

となるものがあり、$\bar\rho_{E,p}$ が $\ell$ で不分岐であることは $p \mid v_\ell(\Delta_{\min})$ と同値である。分岐する場合、$\bar\rho_{E,p}(I_\ell)$ は位数 $p$ の群である。

証明（命題 5.8）

$q$、$L$、$\phi$ を 定理 5.3 のものとします。$\overline{\mathbb{Q}}_\ell$ は標数 $0$ の代数閉体なので、$E(\overline{\mathbb{Q}}_\ell)$ の $p$ 等分点は $p^2$ 個で（補題 4.1）、埋め込み $\overline{\mathbb{Q}} \hookrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_\ell$ による $E[p]$ の像（$p^2$ 個）と一致します。したがって $\phi$ は

$$M := \{x \in \overline{\mathbb{Q}}_\ell^\times \mid x^p \in q^{\mathbb{Z}}\}/q^{\mathbb{Z}} \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; E[p]$$

を引き起こします。$\zeta$ を $1$ の原始 $p$ 乗根、$w$ を $w^p = q$ の解とします。$x^p = q^j$ なら $(x/w^j)^p = 1$ なので $x = \zeta^iw^j$ で、$M$ の元は $\zeta^iw^j$（$0 \le i, j < p$）の類です。$M$ は位数 $p^2$ なので、$\zeta$ と $w$ の類が $\mathbb{F}_p$ 上の基底です。

$L \subseteq \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ なので $I_\ell \subseteq \mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}}_\ell/L)$ で、$\phi$ は $I_\ell$ の作用と可換です。$\sigma \in I_\ell$ について、補題 5.7 の 1 から $\sigma\zeta = \zeta$。$(\sigma w)^p = \sigma q = q$ なので $\sigma w = \zeta^{\kappa(\sigma)}w$ と書けます。基底 $\phi(\zeta), \phi(w)$ に関する $\sigma$ の行列は主張の形です。$\bar\rho_{E,p}(I_\ell) = 1$ は、すべての $\sigma \in I_\ell$ が $w$ を固定すること、すなわち $w \in \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ と同値です。実際、$w \in \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ なら $I_\ell$ の定義から固定されます。$w \notin \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ なら、$w$ の $\mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$ 上の最小多項式は次数 $2$ 以上で $x^p - q$ を割り、$x^p - q$ の根 $\zeta^iw$（$0 \le i < p$）は相異なるので、$w$ と異なる根 $w'$ をもち、補題 4.9（$\Omega = \overline{\mathbb{Q}}_\ell$、$F = \mathbb{Q}_\ell^{\mathrm{ur}}$）により $\sigma w = w' \ne w$ となる $\sigma \in I_\ell$ があります。この条件は 補題 5.7 の 2 により $p \mid v_\ell(q) = v_\ell(\Delta_{\min})$ と同値です。$\sigma \mapsto \kappa(\sigma)$ は $I_\ell$ から $\mathbb{F}_p$ への準同型（$\sigma\tau w = \sigma(\zeta^{\kappa(\tau)}w) = \zeta^{\kappa(\tau) + \kappa(\sigma)}w$）なので、像は $0$ か $\mathbb{F}_p$ 全体で、分岐するなら $\bar\rho_{E,p}(I_\ell)$ の位数は $p$ です。

∎

既存の記事の付録が「$p \mid v_\ell(\Delta_{\min})$ なら $q$ が $p$ 乗元と単数の積になり、惰性群の作用が自明になる」と 1 文で述べていたことの内容が、この命題です。

5.3. Serre の導手・重さと Frey 曲線

定義 5.9（Serre の導手・指標・重さ（この章で使う場合））↗

$p$ を奇素数、$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$（$k$ は標数 $p$ の有限体）を mod $p$ 表現、$V = k^2$ とする。

1. 素数 $\ell \ne p$ に対し、$\bar\rho(I_\ell)$ の位数が $\ell$ で割り切れないとき $n(\ell, \bar\rho) = \dim_k V - \dim_k V^{I_\ell}$ とおく（一般には高次分岐群 $G_i$ を使って $n(\ell, \bar\rho) = \sum_{i \ge 0}\frac{|G_i|}{|G_0|}\dim V/V^{G_i}$ と定める。$\bar\rho(I_\ell)$ の位数が $\ell$ と素なら $i \ge 1$ の項は消える）。Serre の導手を $N(\bar\rho) = \prod_{\ell \ne p}\ell^{n(\ell, \bar\rho)}$ と定める。
2. $\det\bar\rho = \bar\chi_p$ であり、$\bar\rho$ が $p$ で有限であるとき、Serre の重さは $k(\bar\rho) = 2$、指標は $\varepsilon(\bar\rho) = 1$ であるという。

Serre は任意の mod $p$ 表現に対して $N(\bar\rho)$、$\varepsilon(\bar\rho)$、$k(\bar\rho)$ を定義しています。重さ $k(\bar\rho)$ の一般の定義は $\bar\rho|_{I_p}$ の形による場合分けで与えられ、$2 \le k(\bar\rho) \le p^2 - 1$ の値を取ります（Serre 1987 の §2）。たとえば $p$ で乗法的還元をもち $p \nmid v_p(\Delta_{\min})$ である楕円曲線の $\bar\rho_{E,p}$ は $k(\bar\rho) = p + 1$ です。この章で必要なのは 2 の場合だけです。

定理 5.10（Frey 曲線の mod p 表現の分岐）△

定理 5.1、定理 5.3、定理 5.5 を仮定する。$p \ge 5$ を素数、$\alpha, \beta, \gamma$ を対ごとに互いに素な $0$ でない整数で、$\alpha^p + \beta^p = \gamma^p$、$\beta$ は偶数、$\alpha^p \equiv 3 \pmod 4$ を満たすものとし、$E : y^2 = x(x - \alpha^p)(x + \beta^p)$、$\bar\rho = \bar\rho_{E,p}$ とおく。このとき

1. $\bar\rho$ は $2p$ を割らないすべての素数で不分岐である。
2. $\bar\rho(I_2)$ は位数 $p$ の群で、$\bar\rho$ は $2$ で分岐する。
3. $\bar\rho$ は $p$ で有限である。
4. 定理 4.4 も仮定すると、$N(\bar\rho) = 2$、$k(\bar\rho) = 2$、$\varepsilon(\bar\rho) = 1$ である。

証明（定理 5.10）

$A = \alpha^p$、$B = \beta^p$ は 命題 4.13 の仮定を満たします（$p \ge 5$ と $\beta$ が偶数であることから $32 \mid B$）。その 2 と 3 により、$E$ は $\alpha\beta\gamma$ を割らない素数で良い還元、割る素数で乗法的還元をもち、$v_\ell(\Delta_{\min}) = 2p\,v_\ell(\alpha\beta\gamma)$（$\ell \ne 2$）、$v_2(\Delta_{\min}) = 2p\,v_2(\beta) - 8$ です。

1. $\ell \nmid 2p$ とします。$\ell \nmid \alpha\beta\gamma$ なら良い還元で、定理 5.1 により不分岐です。$\ell \mid \alpha\beta\gamma$ なら乗法的還元で、$v_\ell(\Delta_{\min}) = 2p\,v_\ell(\alpha\beta\gamma)$ は $p$ の倍数なので、命題 5.8 により不分岐です。

2. $2 \mid \beta$ なので $2$ で乗法的還元をもち、$2 \ne p$ です。$v_2(\Delta_{\min}) = 2p\,v_2(\beta) - 8 \equiv -8 \pmod p$ で、$p$ は奇素数なので $p \nmid 8$。命題 5.8 により $\bar\rho$ は $2$ で分岐し、$\bar\rho(I_2)$ の位数は $p$ です。

3. $p \nmid \alpha\beta\gamma$ なら $p$ で良い還元で、定理 5.5 の 1 によります。$p \mid \alpha\beta\gamma$ なら乗法的還元で、$v_p(\Delta_{\min}) = 2p\,v_p(\alpha\beta\gamma)$ が $p$ の倍数なので、同じ定理の 2 によります。

4. 1 から $\ell \nmid 2p$ で $n(\ell, \bar\rho) = 0$。$\ell = 2$ では $\bar\rho(I_2)$ の位数 $p$ は $2$ と素で、命題 5.8 の行列の形から $V^{I_2}$ は 1 次元（$\kappa \ne 0$ となる $\sigma$ があるので、固定されるベクトルは第 1 基底ベクトルの定数倍だけ）、よって $n(2, \bar\rho) = 2 - 1 = 1$、$N(\bar\rho) = 2$ です。命題 4.6 から $\det\bar\rho = \bar\chi_p$ で、3 と合わせて 定義 5.9 の 2 から $k(\bar\rho) = 2$、$\varepsilon(\bar\rho) = 1$ です。

∎

これは DDT, Theorem 2.15 の (b)〜(d) に当たります（分岐の判定そのものは同 Proposition 2.12 (c)）。指数 $p \ge 5$ のフェルマー方程式の解という仮定は、ここで「判別式がほとんど完全な $p$ 乗である」という形で使われました。$E[p]$ の点の座標が生成する体 $\mathbb{Q}(E[p])$ は、次数が $\#\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ に達しうる大きな拡大でありながら、$2$ と $p$ でしか分岐せず、しかも $p$ での分岐は良い還元の場合と同程度に小さい。そのような拡大は存在しないはずだ、というのが Frey の着想で、それを保型形式の言葉に直して証明するのが次の節です。

6. 保型的な mod p 表現とレベル下げ

6.1. 保型的であること

定義 6.1（Hecke 固有形式・保型的な mod p 表現）↗

$N \ge 1$ とする。$f = \sum_{n \ge 1} a_nq^n \in S_2(\Gamma_0(N))$（定義 5.9［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］、$q = e^{2\pi i\tau}$）と素数 $\ell \nmid N$ に対し

$$T_\ell f = \sum_{n \ge 1}\bigl(a_{\ell n} + \ell\,a_{n/\ell}\bigr)q^n \qquad (\ell \nmid n \text{ のとき } a_{n/\ell} = 0)$$

とおく。これは 定義 5.9［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ の Hecke 作用素 $T_\ell$ の $q$ 展開での表示で、$T_\ell f \in S_2(\Gamma_0(N))$ である（証明は第 8 章）。$T_\ell f = c f$ となる $c \in \mathbb{C}$ があるとき $f$ を $T_\ell$ の固有形式という。$a_1 = 1$ なら、$q$ の係数を比べて $c = a_\ell$ である。

$k$ を標数 $p$ の有限体、$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を mod $p$ 表現とする。$\bar\rho$ がレベル $N$ で保型的（重さ $2$）であるとは、次のものが存在することをいう。

• $f = \sum a_nq^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ で $a_1 = 1$ のもの、
• 代数体 $K \subset \mathbb{C}$、その整数環 $\mathcal{O}_K$ の $p$ を含む素イデアル $\lambda$、環準同型 $\iota : \mathcal{O}_K \to \bar k$ で核が $\lambda$ のもの

で、$Np$ を割らないすべての素数 $\ell$ について、$T_\ell f = a_\ell f$、$a_\ell \in \mathcal{O}_K$、$\bar\rho$ は $\ell$ で不分岐、$\mathrm{tr}\,\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell) = \iota(a_\ell)$ が成り立つ。

「レベル $N$」は「$S_2(\Gamma_0(N))$ の固有形式から来る」という意味で、$f$ がレベル $N$ の新形式であることは要求しません（Ribet の論文の用語です）。$M \mid N$ なら $\Gamma_0(N) \subseteq \Gamma_0(M)$ なので $S_2(\Gamma_0(M)) \subseteq S_2(\Gamma_0(N))$ で、レベル $M$ で保型的ならレベル $N$ でも保型的です。逆向き、つまりレベルを小さくできるかが問題です。

この定義が「Galois 表現が保型形式から来る」と呼ばれるのは、次の定理があるからです。

定理 6.2（重さ 2 の固有形式に伴う Galois 表現）※

$f = \sum a_nq^n$ を重さ $2$、レベル $N$ の新形式、$K_f$ を $a_n$ の全体が $\mathbb{Q}$ 上生成する体とする。$K_f$ は代数体で、$a_n$ はその整数環に属する。$K_f$ の整数環の素イデアル $\lambda$（$p \in \lambda$）と $K_f$ の $\lambda$ 進完備化 $K_{f,\lambda}$ に対し、連続な表現

$$\rho_{f,\lambda} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(K_{f,\lambda})$$

で、$Np$ を割らないすべての素数 $\ell$ で不分岐、$\rho_{f,\lambda}(\mathrm{Frob}_\ell)$ の特性多項式が $X^2 - a_\ell X + \ell$ であるものが存在する。$\rho_{f,\lambda}$ は絶対既約で、$\det\rho_{f,\lambda} = \chi_p$、$\det\rho_{f,\lambda}(c) = -1$ である。

注意 6.3

主張のみ。 Eichler と志村による構成で、モジュラー曲線の Jacobi 多様体 $J_0(N)$ の商のアーベル多様体 $A_f$ の Tate 加群を使い、特性多項式の決定は Eichler–志村の合同関係式（$T_\ell \equiv F + V \bmod \ell$）によります。既約性は Ribet、$N$ を割る素数での振る舞いは Carayol、Deligne–Rapoport らによります。出典: G. Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, 第 7 章。DDT, Theorem 3.1 がまとまった形の主張です。この定理はこの章の推論（$\S 8$）には使いません。保型性の定義（定義 6.1）の意味を説明するために置いています。$\rho_{f,\lambda}$ を $\lambda$ を法として還元し半単純化したもの $\bar\rho_{f,\lambda}$ のトレースは $a_\ell \bmod \lambda$ なので、「$\bar\rho$ がレベル $N$ で保型的」は「$\bar\rho$ の半単純化がある固有形式 $f$ の $\bar\rho_{f,\lambda}$ と同型」と同じことになります（トレースが一致する半単純表現は同型、という Brauer–Nesbitt の定理と Chebotarev の密度定理による）。

楕円曲線のモジュラー性との関係は次のとおりです。

補題 6.4（モジュラーな楕円曲線の mod p 表現は保型的）△

定理 5.1 を仮定する。$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線、$N_E$ をその導手とし、$E$ はモジュラー（定義 6.1［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）とする。このときすべての素数 $p$ について、$\bar\rho_{E,p}$ はレベル $N_E$ で保型的である。

証明（補題 6.4）

定義から、レベル $N_E$ の新形式 $f = \sum a_nq^n$ で、$\ell \nmid N_E$ なるすべての素数について $a_\ell = a_\ell(E)$ となるものがあります。新形式は $a_1 = 1$ で、すべての $T_n$ の同時固有ベクトルなので（定義 5.9［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）、$\ell \nmid N_E$ について $T_\ell f = a_\ell f$ です。$K = \mathbb{Q}$、$\lambda = p\mathbb{Z}$、$\iota : \mathbb{Z} \to \mathbb{F}_p \subset \overline{\mathbb{F}}_p$ を取ります。$\ell \nmid N_Ep$ なら、$E$ は $\ell$ で良い還元をもつので（半安定で $\ell \nmid N_E$）、定理 5.1 により $\bar\rho_{E,p}$ は $\ell$ で不分岐で、$\mathrm{tr}\,\bar\rho_{E,p}(\mathrm{Frob}_\ell) = a_\ell(E) \bmod p = \iota(a_\ell)$ です。

∎

6.2. Serre の保型性予想

Serre は 1987 年の論文で、奇で絶対既約な mod $p$ 表現はすべて保型的であること（弱い形）と、そのときレベル $N(\bar\rho)$、重さ $k(\bar\rho)$、指標 $\varepsilon(\bar\rho)$ の固有形式から来ること（強い形）を予想しました。「弱い形 ⇒ 強い形」、すなわち保型的であることが分かっている表現についてレベルと重さを最小にできる、という部分は当時 ε 予想（予想 ε）と呼ばれました。現在はどちらも定理です。この章で必要な場合だけを述べます。

定理 6.5（Serre の保型性予想（重さ 2・自明な指標の場合））※

$p \ge 5$ を素数、$k$ を標数 $p$ の有限体、$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を絶対既約な mod $p$ 表現で、$\det\bar\rho = \bar\chi_p$（とくに奇）、$p$ で有限であるものとする。このとき $\bar\rho$ はレベル $N(\bar\rho)$ で保型的である。

注意 6.6

主張のみ。 C. Khare と J.-P. Wintenberger が 2009 年に、Kisin の結果と合わせて Serre の予想を一般の形（任意の奇で絶対既約な $\bar\rho$ が重さ $k(\bar\rho)$、レベル $N(\bar\rho)$ の固有形式から来る）で証明しました（参考文献）。予想の原型は Serre 1987 の (3.2.3)（弱い形）と (3.2.4)（強い形）です。上の定理はその重さ $2$・自明な指標の場合です。$p = 2, 3$ では指標 $\varepsilon(\bar\rho)$ の扱いに注意が要るので $p \ge 5$ に限って述べました。

フェルマーの最終定理の証明には、この定理は不要です。 証明は小さい素数・小さいレベルの場合から出発する帰納法で、各段で Wiles・Taylor–Wiles の方法を一般化した保型性持ち上げ定理を使います。したがってこの定理から 命題 8.2 によってフェルマーの最終定理を導いても、$\S 8$ の証明より少ない道具で済むわけではありません。

6.3. Ribet の定理

定理 6.7（Ribet のレベル下げ定理）※

$p \ge 3$ を素数、$k$ を標数 $p$ の有限体、$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を絶対既約な mod $p$ 表現で、レベル $N$ で保型的であるものとする。素数 $\ell$ が $N$ をちょうど 1 回割り（$\ell \mid N$、$\ell^2 \nmid N$）、$\bar\rho$ が $\ell$ で有限である（定義 4.10。$\ell \ne p$ なら不分岐）とする。さらに次のどちらかが成り立つとする。

• (i) $\ell \not\equiv 1 \pmod p$、
• (ii) $p \nmid N$。

このとき $\bar\rho$ はレベル $N/\ell$ で保型的である。

注意 6.8

主張のみ。 K. A. Ribet, “On modular representations of $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ arising from modular forms”, Inventiones Mathematicae 100 (1990) の主定理（Theorem 1.1）です。原論文の文は「$\rho$ が $p$ で有限（$p \,\|\, N$）なら、レベル $N$ で保型的な $\rho$ は、(1) $p \not\equiv 1 \pmod l$、(2) $N$ は $l$ と素、の一方または両方が成り立つときレベル $N/p$ で保型的である」で（原論文の $l$ がこの章の $p$、原論文の $p$ がこの章の $\ell$）、上の (i)(ii) はこれをそのまま書いたものです。原論文の「レベル $N$ で保型的」は「レベルが $N$ を割る重さ $2$・自明な指標の新形式から来る」ことで、定義 6.1 と同じ条件です（レベルが $N$ を割る新形式の Hecke 固有値の系は $S_2(\Gamma_0(N))$ の固有形式の固有値の系として現れ、逆も成り立つ）。原論文は続く Corollary 1.2 で、まず標数の素数を条件 (1) で落とし、次に残りの奇素数を条件 (2) で落とすという、命題 6.9 と同じ順番で Frey 曲線の表現をレベル $2$ まで下げています。証明は論文 1 本分で、モジュラー曲線と志村曲線の Jacobi 多様体の悪い還元の幾何を使います（骨子は下）。既存の記事の 定理 10.4［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ は、この定理と 定理 5.10 を合わせた「必要な特別な場合」でした。

条件 (i)(ii) は後に取り除かれ、Mazur・Carayol・Gross・Edixhoven・Diamond らの結果と合わせて、次の形が知られています（DDT, Theorem 3.15）: $p$ が奇素数で $\bar\rho$ が絶対既約かつ保型的なら（$p = 3$ のときは $\bar\rho$ の $G_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}$ への制限も絶対既約とする）、$\bar\rho$ は重さ $2$、レベル $N(\bar\rho)p^{\delta}$ の新形式（指標つきの新形式を許し、その指標の位数は $p$ と素）から来る。ここで $\delta \in \{0, 1, 2\}$ は $\bar\rho|_{G_p}$ で決まり、$\det\bar\rho|_{I_p} = \bar\chi_p|_{I_p}$ で $p$ で有限なら $\delta = 0$ です。この章では原論文の形（上の定理）だけを使い、条件 (i)(ii) を満たす順番で素数を落とします（命題 6.9）。

証明の骨子（解説。この章の推論には使いません）。 $\bar\rho$ がレベル $N$ で保型的であることは、$S_2(\Gamma_0(N))$ に作用する Hecke 環 $\mathbb{T}_N$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$（剰余体の標数 $p$）で、$J_0(N)[\mathfrak{m}]$ への Galois 作用が $\bar\rho$ の直和になるものがある、と言い換えられます。$\ell$ が $N$ をちょうど 1 回割るとき、$J_0(N)$ は $\ell$ で半安定な還元をもち、その還元のトーラス部分の指標群 $X_\ell$ は、標数 $\ell$ の超特異楕円曲線（とレベル $N/\ell$ の構造）の因子群として記述されます（Deligne–Rapoport）。

• (i) の場合（Mazur の原理）. $\bar\rho$ が $\ell$ で有限で、かつレベル $N/\ell$ で保型的でないとします。$\ell \ne p$ の場合で説明します。後者から $\mathfrak{m}$ は「$\ell$ で新しい」部分に台をもち、不分岐性から $J_0(N)[\mathfrak{m}]$ に現れる $\bar\rho$ は $\ell$ での還元のトーラス部分の $p$ 等分点に入ります。そこでは $\mathrm{Frob}_\ell$ が $\ell U_\ell$ で作用し、$\ell$ で新しい部分では $U_\ell^2 = 1$ なので、$\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell)$ はスカラー $\pm\ell$ になります。すると $\det\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell) = \ell^2$ ですが、$\det\bar\rho = \bar\chi_p$ から $\det\bar\rho(\mathrm{Frob}_\ell) = \ell$ なので、$\ell^2 \equiv \ell$、すなわち $\ell \equiv 1 \pmod p$ でなければなりません。対偶を取れば、$\ell \not\equiv 1 \pmod p$ ならレベル $N/\ell$ で保型的です。$\ell = p$ の場合は、不分岐性の代わりに有限平坦群スキームの連結・エタール分解を使う同じ型の議論になります。
• (ii) の場合（Ribet の議論）. $\ell \equiv 1 \pmod p$ のときは、補助の素数 $r \nmid Np$ で $r \not\equiv 1 \pmod p$、かつ $\bar\rho$ がレベル $Nr$ で「$r$ で新しく」保型的になるもの（レベル上げ。$\bar\rho(\mathrm{Frob}_r)$ の固有値の条件を満たす $r$ は Chebotarev の密度定理で無限個ある）を取ります。次に、判別式 $\ell r$ の四元数環から作る志村曲線の Jacobi 多様体 $J'$ に移ります（Jacquet–Langlands 対応により、$\ell$ と $r$ で新しい Hecke 固有系は $J'$ にも現れる）。Čerednik–Drinfeld の一意化から、$J'$ の $r$ での還元の指標群は、$J_0(N r)$ の $\ell$ での還元の指標群 $X_\ell$ の一部と Hecke 加群として同一視でき（Ribet の完全列）、これによって「$\ell$ での有限性」を「$J'$ の $r$ での成分群への作用」に翻訳して、$\bar\rho$ がレベル $Nr/\ell$ で保型的であることを導きます。最後に $r \not\equiv 1 \pmod p$ なので (i) により $r$ を落とします。

6.4. Frey 曲線の表現はレベル 2 まで下がる

この命題の筋書きは、階段を下りるようなものです。Frey 曲線の表現は、はじめは曲線の導手 $N_E$ に等しいレベルで保型的です。そこから Ribet の定理を使って、条件を満たす素数を 1 つずつレベルから落とし、最後にレベル $2$ に着きます。各段で、落としてよい条件が成り立つことを確かめるのが証明の中身です。

命題 6.9（レベル 2 への到達）△

定理 4.4、定理 5.1、定理 5.3、定理 5.5、定理 6.7 を仮定する。$p$、$\alpha, \beta, \gamma$、$E$、$\bar\rho = \bar\rho_{E,p}$ を 定理 5.10 のとおりとし、さらに

• $\bar\rho$ は $\mathbb{F}_p$ 上既約（$\mathbb{F}_p^2$ に $G_{\mathbb{Q}}$ で保たれる直線がない）、
• $E$ はモジュラー

であるとする。このとき $\bar\rho$ はレベル $2$ で保型的である。

証明（命題 6.9）

絶対既約性。 命題 4.6 により $\bar\rho$ は奇で、$p$ は奇数なので、補題 4.7 から $\bar\rho$ は絶対既約です。

出発点。 命題 4.13 により $E$ は半安定で $N_E = \prod_{\ell \mid \alpha\beta\gamma}\ell$。$N_E$ は平方因子をもたず、$\beta$ が偶数なので $2 \mid N_E$ です。補題 6.4 により $\bar\rho$ はレベル $N_E$ で保型的です。

$p$ を落とす。 $p \mid N_E$ のとき、$\ell = p$ に 定理 6.7 を使います。$p$ は $N_E$ をちょうど 1 回割り、$\bar\rho$ は $p$ で有限で（定理 5.10 の 3）、$p \not\equiv 1 \pmod p$ なので条件 (i) が成り立ちます。よって $\bar\rho$ はレベル $N_1 = N_E/p$ で保型的です。$p \nmid N_E$ のときは $N_1 = N_E$ とおきます。どちらの場合も $p \nmid N_1$、$2 \mid N_1$ で、$N_1$ は平方因子をもちません。

奇素数を 1 つずつ落とす。 $N_1 = 2\ell_1\ell_2\cdots\ell_r$（$\ell_j$ は相異なる奇素数で $p$ と異なる）と書き、$M_j = 2\ell_{j+1}\cdots\ell_r$（$M_0 = N_1$、$M_r = 2$）とおきます。$\bar\rho$ がレベル $M_{j-1}$ で保型的なら、$\ell = \ell_j$ は $M_{j-1}$ をちょうど 1 回割り、$\ell_j \nmid 2p$ なので $\bar\rho$ は $\ell_j$ で不分岐（定理 5.10 の 1）、$p \nmid M_{j-1}$ なので条件 (ii) が成り立ち、定理 6.7 から $\bar\rho$ はレベル $M_j = M_{j-1}/\ell_j$ で保型的です。$j = 1, \ldots, r$ と繰り返して、$\bar\rho$ はレベル $M_r = 2$ で保型的です。

∎

素数を落とす順番は任意ではありません。$\ell_j \equiv 1 \pmod p$ となる素数は条件 (i) を満たさないので、先に $p$ をレベルから除いて条件 (ii) を使えるようにしておく必要があります（演習 10.4）。

7. レベル 2 の尖点形式は存在しない

定理 7.1（S₂(Γ₀(2)) = 0）✓

$S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$、$T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とする。

1. $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) = \Gamma_0(2) \sqcup \Gamma_0(2)S \sqcup \Gamma_0(2)ST$。とくに $[\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) : \Gamma_0(2)] = 3$。
2. $S_2(\Gamma_0(2)) = 0$。
3. レベル $2$ で保型的な mod $p$ 表現は（どの素数 $p$ についても）存在しない。

証明（定理 7.1）

1. $g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ について、$S^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ から $gS^{-1} = \begin{pmatrix} -b & a \\ -d & c \end{pmatrix}$、$gT^{-1}S^{-1} = \begin{pmatrix} a - b & a \\ c - d & c \end{pmatrix}$ です。したがって $g \in \Gamma_0(2)$ は「$c$ が偶数」、$g \in \Gamma_0(2)S$ は「$d$ が偶数」、$g \in \Gamma_0(2)ST$ は「$c \equiv d \pmod 2$」と同値です。$ad - bc = 1$ から $c, d$ がともに偶数になることはないので、$(c, d) \bmod 2$ は $(0, 1)$、$(1, 0)$、$(1, 1)$ のどれか 1 つで、それぞれが 3 つの条件のちょうど 1 つに当たります。

2. 補題 10.8［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ で証明済みです。そこでの議論は、$f \in S_2(\Gamma_0(2))$ に対し 1 の 3 つの代表元にわたる積 $(f|_2 1)(f|_2 S)(f|_2 ST)$ が重さ $6$、レベル $1$ の尖点形式になり、位数公式の系 $S_6(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})) = 0$（系 5.8［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）と一致の定理から $f = 0$ を導くものです。

3. 定義 6.1 は $a_1 = 1$ である $f \in S_2(\Gamma_0(2))$ の存在を要求しますが、2 によりそのような $f$ はありません。

∎

例 7.2（レベル 11 なら矛盾しない）

$S_2(\Gamma_0(11))$ は 1 次元で、$f = \eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2 = q - 2q^2 - q^3 + 2q^4 + q^5 + \cdots$ が張ります（例 6.4［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）。導手 $11$ の楕円曲線 $y^2 + y = x^3 - x^2$ の mod $p$ 表現はレベル $11$ で保型的で、レベルを下げた先に形式が存在するので、何の矛盾も生じません。フェルマー方程式の解から作った表現が特別なのは、下がった先のレベルが $2$ で、そこに形式が 1 つもないことです。$X_0(N)$ の種数が $0$ になる $N$ は $N \le 10$ と $N = 12, 13, 16, 18, 25$ に限られ、$2$ はその 1 つです。

8. 鎖を閉じる

定理 8.1（主張のみの 7 定理からフェルマーの最終定理が従う）△

次の 7 つの定理を仮定する。

• (C1) Weil 対の存在（定理 4.4）
• (C2) 良い還元の素数での不分岐性と Frobenius のトレース（定理 5.1）
• (C3) Tate の一意化（定理 5.3）
• (C4) $p$ での有限性の判定（定理 5.5）
• (C5) Mazur の定理（定理 10.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）
• (C6) Wiles・Taylor–Wiles の定理（定理 10.6［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］）
• (C7) Ribet のレベル下げ定理（定理 6.7）

このとき、$n \ge 3$ を整数とすると、$x^n + y^n = z^n$ かつ $xyz \ne 0$ を満たす整数 $x, y, z$ は存在しない。

証明（定理 8.1）

第 0 段：素数指数への還元。 命題 7.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ により、$n = 4$ と各奇素数 $n = p$ について解がないことを示せば十分です。$n = 4$ は 定理 7.3［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］、$p = 3$ は 定理 3.3 で示されています。以下 $p \ge 5$ を素数とし、整数 $a, b, c$ が $a^p + b^p = c^p$、$abc \ne 0$ を満たすと仮定して矛盾を導きます。

第 1 段：正規化。 $g = \gcd(a, b)$ とすると $g^p \mid c^p$ から $g \mid c$ なので、3 つを $g$ で割って $\gcd(a, b) = 1$ としてよいです。このとき素数が $a, c$（または $b, c$）をともに割れば $b^p$（または $a^p$）を割るので、$a, b, c$ は対ごとに互いに素です。$x_1 = a$、$x_2 = b$、$x_3 = -c$ とおくと、$p$ が奇数なので $x_1^p + x_2^p + x_3^p = 0$ です。3 つとも奇数なら和が奇数になり、2 つが偶数なら互いに素でないので、偶数はちょうど 1 つです。それを $\beta$、残りを $u, v$ とします。奇数 $u$ について $u^2 \equiv 1 \pmod 8$ なので $u^p = u\,(u^2)^{(p-1)/2} \equiv u \pmod 8$、同様に $v^p \equiv v$ です。$p \ge 5$ から $32 \mid \beta^p$ なので $u + v \equiv u^p + v^p = -\beta^p \equiv 0 \pmod 4$、すなわち $u, v$ の一方は $4$ を法として $3$、他方は $1$ と合同です。$3$ と合同な方を $\alpha$、他方の $-1$ 倍を $\gamma$ とおくと

$$\alpha^p + \beta^p = \gamma^p, \qquad \beta \text{ は偶数}, \qquad \alpha^p \equiv \alpha \equiv 3 \pmod 4$$

で、$\alpha, \beta, \gamma$ は $0$ でなく対ごとに互いに素です。

第 2 段：Frey 曲線。 $A = \alpha^p$、$B = \beta^p$、$C = A + B = \gamma^p$ とし、$E : y^2 = x(x - A)(x + B)$ とおきます。命題 9.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ から判別式は $16(ABC)^2 \ne 0$ なので $E$ は楕円曲線です。$16 \mid B$、$A \equiv 3 \pmod 4$ なので 命題 4.13 が使え、$E$ は半安定、導手は $N_E = \prod_{\ell \mid \alpha\beta\gamma}\ell$、$v_\ell(\Delta_{\min}) = 2p\,v_\ell(\alpha\beta\gamma)$（$\ell \ne 2$）、$v_2(\Delta_{\min}) = 2p\,v_2(\beta) - 8$ です。

第 3 段：既約性。 $E$ の $2$ 等分点 $(0, 0)$、$(A, 0)$、$(-B, 0)$ は有理点なので $E[2] \subset E(\mathbb{Q})$ です。$E$ は半安定で $p \ge 5$ なので、(C5) により $\bar\rho = \bar\rho_{E,p}$ は $\mathbb{F}_p$ 上既約です。

第 4 段：モジュラー性。 $E$ は半安定なので、(C6) により $E$ はモジュラーです。

第 5 段：レベル下げ。 第 1 段の正規化により、$p$、$\alpha, \beta, \gamma$、$E$ は 定理 5.10 の仮定を満たします。(C1)〜(C4) と (C7) の仮定のもとで、第 3 段と第 4 段から 命題 6.9 が使え、$\bar\rho$ はレベル $2$ で保型的です。

第 6 段：矛盾。 定理 7.1 の 3 により、レベル $2$ で保型的な mod $p$ 表現は存在しません。第 5 段に矛盾します。

したがって $p \ge 5$ にも解はなく、第 0 段と合わせて、すべての $n \ge 3$ について解は存在しません。

∎

この証明が直接使った Rikai の中の定理は、指数の還元、$n = 4$、$n = 3$、Frey 曲線の判別式、極小モデル、定理 5.10、命題 6.9、$S_2(\Gamma_0(2)) = 0$ で、どれも証明があります。(C1)〜(C7) は仮定に明記したので、この定理自体は閉じています。フェルマーの最終定理が証明されたと言えるのは、(C1)〜(C7) が原論文で証明されているからで、その部分はこの章の外にあります。 (C1)〜(C3) は楕円曲線の標準的な教科書（Silverman の 2 冊）の内容、(C4) は有限平坦群スキームの理論、(C5)〜(C7) はそれぞれ研究論文の主定理です。(C6) を次の章で分解します。

命題 8.2（Serre の保型性予想からの導出）△

(C1)〜(C5) と 定理 6.5 を仮定する。このとき素数 $p \ge 5$ について、$a^p + b^p = c^p$、$abc \ne 0$ を満たす整数 $a, b, c$ は存在しない。

証明（命題 8.2）

解があると仮定し、定理 8.1 の証明の第 1 段〜第 3 段のとおり $\alpha, \beta, \gamma$、$E$、$\bar\rho = \bar\rho_{E,p}$ を取ります（第 3 段までは (C5) しか使っていません）。$\bar\rho$ は $\mathbb{F}_p$ 上既約で、命題 4.6 により $\det\bar\rho = \bar\chi_p$、補題 4.7 により絶対既約です。定理 5.10 により $\bar\rho$ は $p$ で有限で $N(\bar\rho) = 2$ です。定理 6.5 から $\bar\rho$ はレベル $2$ で保型的となり、定理 7.1 の 3 に反します。

∎

定理 8.1 の第 4 段と第 5 段、すなわち (C6) と (C7) が、ここでは Serre の予想 1 つに置き換わっています。Serre は 1987 年の論文でこの導出を示し、弱い形の予想（保型的であること）から強い形（レベル $N(\bar\rho)$）を導く部分を切り出しました。Frey 曲線に対しては、弱い形は谷山・志村予想から従い（補題 6.4）、強い形への移行が Ribet の定理です。こうして「谷山・志村予想（半安定な場合）⇒ フェルマーの最終定理」が 1986 年に確立しました。

9. 歴史

年	出来事	文献
1630 年代	Fermat が Diophantus『算術』の余白に主張を書き込む。$n = 4$ の証明だけが残る（没後 1670 年に公刊）	—
1753〜1770	Euler が $n = 3$ を扱う（一意分解の扱いに穴）	Euler『代数学』
1825・1839・1847	Dirichlet と Legendre（$n = 5$）、Lamé（$n = 7$）、Kummer（正則素数）	定理 8.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］
1955〜1967	谷山の問題、志村による精密化、Weil による導手を含む定式化	定理 6.2［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］
1978	Mazur が有理同種を分類し、(C5) を得る	Invent. Math. 44
1986	Frey が、解から作った曲線（先に Hellegouarch が考察）は谷山・志村予想に反するはずだと論じる	Ann. Univ. Sarav. 1
1987	Serre が保型性予想を定式化し、予想 ε があれば Frey の議論が完成することを示す	Duke Math. J. 54
1986〜1990	Ribet が予想 ε を証明（1986 年に発表、1990 年に出版）。(C7)	Invent. Math. 100
1993〜1995	Wiles が半安定な場合の谷山・志村予想の証明を発表（1993 年 6 月）。欠陥を Taylor との共同研究で修正（1994 年 9 月）。1995 年出版。(C6)	Ann. of Math. 141
2001	Breuil–Conrad–Diamond–Taylor がすべての楕円曲線のモジュラー性を証明	J. Amer. Math. Soc. 14
2009	Khare–Wintenberger が Serre の保型性予想を証明	Invent. Math. 178

10. 演習

演習 10.1易

整数 $x, y, z$ が $x^3 + y^3 = z^3$ を満たすなら $3 \mid xyz$ であることを、$9$ を法とする計算だけで示せ。これは 定理 3.3 の証明のどの段に当たるか。

解答

$3 \nmid m$ なら $m \equiv \pm 1, \pm 2, \pm 4 \pmod 9$ で、$m^3 \equiv \pm 1, \pm 8, \pm 64 \equiv \pm 1, \mp 1, \pm 1 \pmod 9$、つまり $m^3 \equiv \pm 1 \pmod 9$ です。$3 \nmid xyz$ とすると $x^3 + y^3 \in \{0, \pm 2\}$、$z^3 \in \{\pm 1\}$（$\bmod 9$）で等しくなりえません。よって $3 \mid xyz$ です。$\mathbb{Z}[\omega]$ では $9 = \omega\lambda^4$（$3 = -\omega^2\lambda^2$ の 2 乗）なので、これは証明の第 1 段（$\lambda \nmid \alpha\beta\gamma$ は起こらない）の $u = 1$ の場合です。第 1 段は「立方数は $\lambda^4$ を法として $\pm 1$」（補題 3.2）を使っており、$9$ を法とする計算の $\mathbb{Z}[\omega]$ 版になっています。

演習 10.2標準

$E : y^2 = x^3 - 2$ について、$\bar\rho_{E,2} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ は全射で、$\mathbb{F}_2$ 上既約であることを示せ。Mazur の定理（(C5)）の仮定のうち、この曲線が満たさないものはどれか。

解答

例 4.15 により $E[2] = \{O, (e_i, 0)\}$ で、$e_1, e_2, e_3$ は $x^3 - 2$ の根 $\sqrt[3]{2}$、$\omega\sqrt[3]{2}$、$\omega^2\sqrt[3]{2}$ です。$\mathbb{Q}(E[2]) = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$ は $x^3 - 2$ の分解体です。$x^3 - 2$ は Eisenstein の判定法（$2$ について。定理 4.1［多項式環と体の拡大］）で既約なので $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3$、$\omega \notin \mathbb{R}$ から $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega) : \mathbb{Q}] = 6$ です。$\bar\rho_{E,2}$ は $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(E[2])/\mathbb{Q})$ の上で単射で（定義 4.3 の 1）、$\#\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2) = (4 - 1)(4 - 2) = 6$ なので全射です。$\mathbb{F}_2^2$ の直線は $0$ でない元 1 つと $0$ からなるので、保たれる直線があることは $G_{\mathbb{Q}}$ で固定される位数 $2$ の点があること、すなわち $x^3 - 2$ が有理数の根をもつことと同値で、これは起こりません。よって既約です。満たさない仮定は「$E[2] \subset E(\mathbb{Q})$」です（半安定でもありません。$2$ と $3$ で加法的還元をもちます）。

演習 10.3標準

$E : y^2 = x(x - 3)(x + 32)$ について、(1) 極小モデルの判別式と導手を求めよ。(2) (C2)〜(C4) を仮定して、$p = 5$ のとき $\bar\rho_{E,5}$ が分岐する素数を決定し、$\bar\rho_{E,5}$ が $5$ で有限かどうかを判定せよ。

解答

(1) $A = 3 \equiv 3 \pmod 4$、$B = 32$、$C = 35$ は対ごとに互いに素で、命題 4.13 が使えます。$\Delta_{\min} = (3\cdot 32\cdot 35)^2/2^8 = 2^{10}\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7^2/2^8 = 2^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7^2 = 44100$、$c_4 = 9 + 96 + 1024 = 1129$（$2, 3, 5, 7$ で割り切れない）。$v_2(B) = 5$ なので $2$ でも乗法的還元で、導手は $N_E = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210$ です。

(2) $\ell \nmid 210$、$\ell \ne 5$ では良い還元なので不分岐（(C2)）。$\ell = 2, 3, 7$ では乗法的還元で $v_\ell(\Delta_{\min}) = 2$ が $5$ で割り切れないので、命題 5.8 により分岐します。$\ell = 5$ では乗法的還元で $v_5(\Delta_{\min}) = 2$ が $5$ で割り切れないので、(C4) により有限ではありません。まとめると $N(\bar\rho_{E,5}) = 2\cdot 3\cdot 7 = 42$（各素数で $n(\ell, \bar\rho) = 1$）で、$5$ での分岐は「良い還元の場合より大きい」ものです。フェルマー方程式の解から来ない曲線では、判別式の指数が $p$ の倍数にならないので、レベルは下がりません。

演習 10.4標準

$p = 7$ とし、絶対既約な mod $7$ 表現 $\bar\rho$ がレベル $N = 2\cdot 7\cdot 29\cdot 43$ で保型的で、$7$ で有限、$29$ と $43$ で不分岐であるとする。定理 6.7 だけを使って $\bar\rho$ がレベル $2$ で保型的であることを示せ。最初に $\ell = 29$ を落とそうとするとなぜ定理が使えないか。

解答

$29 = 4\cdot 7 + 1$、$43 = 6\cdot 7 + 1$ なので $29 \equiv 43 \equiv 1 \pmod 7$ です。最初に $\ell = 29$ を取ると、条件 (i) は $29 \equiv 1$ なので成り立たず、条件 (ii) も $7 \mid N$ なので成り立ちません。そこでまず $\ell = 7$ を取ります。$7$ は $N$ をちょうど 1 回割り、$\bar\rho$ は $7$ で有限、$7 \not\equiv 1 \pmod 7$ なので (i) が成り立ち、レベル $2\cdot 29\cdot 43$ で保型的です。このレベルは $7$ で割り切れないので、以後は (ii) が成り立ち、$\ell = 29$、$\ell = 43$ を順に落とせて（どちらも不分岐で、レベルをちょうど 1 回割る）、レベル $2$ に達します。定理 7.1 の 3 から、実はそのような $\bar\rho$ は存在しません。

参考文献

• H. Darmon, F. Diamond and R. Taylor, “Fermat’s Last Theorem”, in Current Developments in Mathematics, 1995, International Press, 1997 — 本文で DDT と略記。§2.2（Frey 曲線の表現の局所的性質、Theorem 2.15）、§3.2（Serre の予想と Theorem 3.15）、§3.6（フェルマーの最終定理の導出）。
• J.-P. Serre, “Sur les représentations modulaires de degré 2 de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$”, Duke Mathematical Journal 54 (1987), 179–230 — 導手・指標・重さの定義、保型性予想、フェルマーの最終定理への応用。
• K. A. Ribet, “On modular representations of $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ arising from modular forms”, Inventiones Mathematicae 100 (1990), 431–476. DOI:10.1007/BF01231195
• G. Frey, “Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations”, Annales Universitatis Saraviensis, Series Mathematicae 1 (1986), 1–40.
• B. Mazur, “Rational isogenies of prime degree”, Inventiones Mathematicae 44 (1978), 129–162.
• J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, 2nd ed., Springer, 2009（第 III 章 §8 の Weil 対、第 V 章・第 VII 章の還元と Galois 作用）、同 Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 1994（第 V 章の Tate 曲線）。
• C. Khare and J.-P. Wintenberger, “Serre’s modularity conjecture (I), (II)”, Inventiones Mathematicae 178 (2009).
• G. Cornell, J. H. Silverman and G. Stevens (eds.), Modular Forms and Fermat’s Last Theorem, Springer, 1997 — 1995 年の Boston 大学での講義録。Ribet の定理、Serre の予想、変形理論の解説を含む。
• K. Ireland and M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer, 1990 — 第 17 章に $\mathbb{Z}[\omega]$ での $x^3 + y^3 = uz^3$ の扱い。