ポアンカレ予想 I：命題と Ricci flow（スカラー曲率の発展方程式・最大値原理・Hamilton の定理）

0. この記事の要点

ゴムのように伸び縮みする 3 次元の閉じた空間があって、その中のどんな輪ゴムも手繰り寄せて 1 点に縮められるとします。このとき空間は 3 次元の球面に限るのか、というのがポアンカレ予想の問いです。証明の鍵は、空間の「曲がり具合」に従って空間の計量を少しずつ変形し、でこぼこを熱のようにならして丸くしていく方法（Ricci flow）です。この記事を読み終えると、この変形の基本の式がどう導かれ、どこで行き詰まりうるかが分かります。

• ポアンカレ予想は「単連結な閉 3 次元多様体は $S^3$ に微分同相である」という命題です。Perelman が 2002〜2003 年の 3 本のプレプリントで証明しました。この記事から 3 章をかけて、命題、道具、証明の論理の鎖を順に述べます。
• 単連結な閉 3 次元多様体は向き付け可能で、実係数のコホモロジーは $S^3$ と同じです（命題 2.6）。$n\ge3$ では連結和の基本群は自由積（2 つの群を、互いに関係を持たせずにつなげた群）になります（命題 2.7）。この 2 つは第 6 章で証明の最終段に使います。
• Ricci flow は、Ricci 曲率（曲率テンソルを縮約したもの）に従って計量を変形する、計量の発展方程式 $\partial g/\partial t=-2\operatorname{Ric}$ です。計量の変分に対する曲率の変分公式（補題 4.1）から、スカラー曲率（各点での曲がり具合を 1 つの数にまとめたもの）が $\partial R/\partial t=\Delta R+2|\operatorname{Ric}|^2$ を満たすことが出ます（定理 4.2）。
• 計量が時間に依っていても、閉多様体上ではスカラーの最大値原理が成り立ちます（定理 5.1）。これから $R$ の最小値は減らず、$R\gt0$ の初期計量から出た流れは有限時間 $T\le n/(2R_{\min}(0))$ までしか続きません（系 5.2）。
• 丸い球面は相似に縮んで有限時間で 1 点につぶれ、$S^2\times\mathbb{R}$ は球面の方向だけが縮みます。葉巻ソリトンは形を変えずに流れる定常解です。これらは特異点の模型になります。
• Hamilton は 1982 年に、$\operatorname{Ric}\gt0$ の閉 3 次元多様体が球面空間形であることを Ricci flow で示しました（定理 7.1、主張のみ）。一般の初期計量では首がつぶれる型の特異点が現れ、流れをそのまま続けられません。これが Hamilton の計画の障害で、第 5・6 章の主題です。

この記事で使う事前知識

• 基本群: 空間の中のループを連続的に変形して同じとみなしたものの群。これが自明なものが単連結。→ 基本群
• Riemann 計量: 各点の接ベクトルに長さと角度を与える内積の滑らかな族。→ Riemann 計量
• Ricci 曲率・スカラー曲率: 曲率テンソルを縮約して得る曲がり具合の量。→ 曲率テンソル
• Lie 微分: ベクトル場の流れに沿ってテンソル場を微分したもの。→ Lie 微分
• 最大値原理: 熱方程式の解の最大値は、時間とともに増えない、という性質。→ 熱方程式

1. 動機

Poincaré は 1904 年の論文（Analysis situs の第 5 補遺）の末尾で、基本群が自明な閉 3 次元多様体は 3 次元球面に限るか、という問いを残しました。2 次元では、閉曲面の分類から「単連結な閉曲面は $S^2$」がすぐに出ます。3 次元には分類表がなく、この問いは 1 世紀のあいだ解けませんでした。

次元を上げた類似の命題（ホモトピー球面は球面に同相か）は、先に高い次元で解かれました。Smale は 1961 年に 5 次元以上を、Freedman は 1982 年に 4 次元の位相多様体の場合を証明しています。3 次元だけが残りました。

3 次元に固有の見通しを与えたのは Thurston です。1982 年の論文で、閉 3 次元多様体は標準的な切り方で 8 種類の等質な幾何構造を持つ部分に分かれる、という幾何化予想を述べました。ポアンカレ予想はその特別な場合です。同じ 1982 年に Hamilton は、計量を曲率に従って変形する方程式 Ricci flow を導入し、Ricci 曲率が正の閉 3 次元多様体が球面空間形であることを示しました。計量を熱方程式のように流して「丸める」という方針です。

ただし一般の計量から出発すると、流れは有限時間で特異点を作ります。Hamilton はその後 20 年にわたって特異点の解析を進め、特異点の手前で多様体を切って流れを続ける「手術」の構想を示しました。残っていた障害は、特異点の近くで計量を拡大したときの極限が取れること（崩壊しないこと）と、現れうる極限の分類でした。Perelman は 2002 年 11 月の第 1 論文でこの 2 つを解決し、2003 年の第 2・第 3 論文で手術つきの流れの構成と有限時間での消滅を示しました。

この記事は 3 章の入口です。位相の側の命題を正確に述べ、Ricci flow の基本的な計算、すなわち変分公式、スカラー曲率の発展方程式、最大値原理、厳密解を証明します。Perelman のエントロピーと非崩壊定理は 第 5 章、手術と有限時間消滅、予想が従う論理は 第 6 章 で扱います。

2. 位相の側の命題

2.1. ポアンカレ予想

この記事で多様体は滑らか（$C^\infty$ 級）で、第 2 可算な Hausdorff 空間とします。コンパクトで境界のない多様体を閉多様体といいます。弧状連結な空間 $X$ が単連結であるとは、基本群 $\pi_1(X)$ が自明であることです（定義 2.3［基本群と被覆空間］）。

定義 2.1（ポアンカレ予想の命題）↗

次の命題をポアンカレ予想という: 連結で単連結な閉 3 次元多様体は、$3$ 次元球面 $S^3=\{x\in\mathbb{R}^4:|x|=1\}$ に微分同相である。

名前は「予想」のままですが、現在は定理です。証明の最終段は第 6 章の 定理 5.5［ポアンカレ予想 III］ にあります。

注意 2.2（位相・PL・微分の 3 つの圏）

Poincaré の問いは位相多様体と同相についてのものでした。3 次元では、位相多様体は本質的にただ 1 つの PL 構造（Moise、1952 年）と滑らかな構造（Munkres、1960 年ほか）を持ち、同相な滑らかな 3 次元多様体は微分同相です。したがって 定義 2.1 の「微分同相」を「同相」に、「滑らかな多様体」を「位相多様体」に替えても同じ命題になります。この事実はこの 3 章の証明では使いません。4 次元以上ではこの一致は成り立たず、7 次元にはエキゾチック球面があります。

注意 2.3（ホモトピー球面による言い換え）

閉 3 次元多様体が単連結であることと、$S^3$ にホモトピー同値であること（ホモトピー 3 球面であること）は同値です。単連結なら整係数の Poincaré 双対と Hurewicz の定理（定理 5.4［Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理］）から $\pi_3\cong H_3\cong\mathbb{Z}$ の生成元 $S^3\to M$ が取れ、Whitehead の定理でこれがホモトピー同値になります。整係数の Poincaré 双対と Whitehead の定理は Rikai にまだ無いので、この同値は以下で使いません。実係数で言える範囲を 命題 2.6 で証明します。

単連結性から直接に分かることを 2 つの補題にまとめます。

1 つ目の補題の証明の方針は次のとおりです。まず小さな範囲ごとに、閉 1 形式の積分を関数の差として書きます。次にそれを道に沿ってつなぎ、ループを 1 点に縮める変形のあいだ値が変わらないことを確かめます。単連結ならどのループも定値のループに縮むので、積分は 0 になります。2 つ目の補題は、向きを 2 通り選ぶ 2 重被覆が単連結性のために分裂することを使います。

補題 2.4（単連結な多様体の閉 1 形式は完全）✓

$M$ を連結で単連結な多様体とする。$M$ 上の閉 $1$ 形式はすべて完全である。すなわち $H^1_{\mathrm{dR}}(M)=0$。

証明（補題 2.4）

$\omega$ を閉 $1$ 形式とします。命題 2.4［de Rham コホモロジー］ により、区分的に滑らかな閉曲線 $\gamma$ すべてについて $\int_\gamma\omega=0$ を示せば十分です。

局所的な原始関数。 $M$ を、チャートで $\mathbb{R}^n$ の開球に写る開集合 $U_a$ で覆います。開球は星形なので、Poincaré の補題（定理 3.4［de Rham コホモロジー］）により各 $U_a$ 上に滑らかな関数 $f_a$ で $df_a=\omega|_{U_a}$ となるものがあります。$U_a\cap U_b$ 上では $d(f_a-f_b)=0$ なので、$f_a-f_b$ は $U_a\cap U_b$ の各連結成分の上で定数です。

連続な道に沿う量。 連続な道 $c\colon[0,1]\to M$ に対し、分割 $0=t_0\lt t_1\lt\dots\lt t_m=1$ と添字 $a_1,\dots,a_m$ で $c([t_{i-1},t_i])\subset U_{a_i}$ となるものを取り（Lebesgue 数の補題 補題 3.4［基本群と被覆空間］ を $[0,1]$ の開被覆 $\{c^{-1}(U_a)\}$ に使う）、

$$I(c)=\sum_{i=1}^m\bigl(f_{a_i}(c(t_i))-f_{a_i}(c(t_{i-1}))\bigr)$$

と置きます。これは取り方によりません。実際、$c([t_{i-1},t_i])$ が $U_a\cap U_b$ に入るなら、この集合は連結なので $U_a\cap U_b$ の 1 つの連結成分に入り、そこで $f_a-f_b$ は定数ですから、$f_a$ で測った差と $f_b$ で測った差は等しくなります。分点を 1 つ足しても和は変わらないので、2 つの分割は共通の細分を通じて同じ値を与えます。$c$ が区分的に滑らかなら、各小区間で $\int_{c|[t_{i-1},t_i]}\omega=\int_{t_{i-1}}^{t_i}\frac{d}{dt}f_{a_i}(c(t))\,dt=f_{a_i}(c(t_i))-f_{a_i}(c(t_{i-1}))$ なので $I(c)=\int_c\omega$ です。

ホモトピー不変性。 $\gamma$ を点 $p$ を基点とする区分的に滑らかな閉曲線とします。$M$ は単連結なので、連続写像 $H\colon[0,1]^2\to M$ で $H(0,t)=\gamma(t)$、$H(1,t)=p$、$H(s,0)=H(s,1)=p$ となるものがあります。$[0,1]^2$ の開被覆 $\{H^{-1}(U_a)\}$ に 補題 3.4［基本群と被覆空間］ を使い、分割 $0=s_0\lt\dots\lt s_k=1$、$0=t_0\lt\dots\lt t_m=1$ と添字 $a_{ij}$ で $H([s_{j-1},s_j]\times[t_{i-1},t_i])\subset U_{a_{ij}}$ となるものを取ります。$c_j=H(s_j,\cdot)$ と書き、$j$ を固定して

$$\delta_i(t)=f_{a_{ij}}(H(s_j,t))-f_{a_{ij}}(H(s_{j-1},t))\qquad(t\in[t_{i-1},t_i])$$

と置きます。$c_{j-1}$ と $c_j$ はどちらも分割 $\{t_i\}$ と添字 $a_{ij}$ で $I$ を計算できるので

$$I(c_j)-I(c_{j-1})=\sum_{i=1}^m\bigl(\delta_i(t_i)-\delta_i(t_{i-1})\bigr).$$

線分 $H([s_{j-1},s_j]\times\{t_i\})$ は連結で $U_{a_{ij}}\cap U_{a_{i+1,j}}$ に入るので、その 1 つの連結成分に入り、そこで $f_{a_{ij}}-f_{a_{i+1,j}}$ は定数です。よって $\delta_i(t_i)=\delta_{i+1}(t_i)$ で、和は $\delta_m(1)-\delta_1(0)$ に畳み込まれます。$H(s,0)=H(s,1)=p$ は $s$ によらないので $\delta_1(0)=\delta_m(1)=0$ です。したがって $I(c_j)=I(c_{j-1})$ がすべての $j$ で成り立ち、$\int_\gamma\omega=I(c_0)=I(c_k)$ です。$c_k$ は定値の道なので $I(c_k)=0$ です。

∎

補題 2.5（単連結な多様体は向き付け可能）✓

連結で単連結な多様体 $M$（次元 $n\ge1$）は向き付け可能である（定義 3.1［ストークスの定理］）。

証明（補題 2.5）

向きの 2 重被覆。 点 $p\in M$ と $T_pM$ の向き $o$（順序基底の、行列式が正の基底変換による同値類。各 $T_pM$ に 2 つある）の組 $(p,o)$ 全体を $\tilde M$ とし、$\pi(p,o)=p$ と置きます。連結な定義域を持つチャート $(U,x)$ に対し

$$U^\pm=\bigl\{(p,\pm[\partial_1|_p,\dots,\partial_n|_p]):p\in U\bigr\}$$

と置き（$-[\cdot]$ は逆の向き）、これらすべてを開基とする位相を $\tilde M$ に入れます。2 つのチャート $(U,x)$、$(V,y)$ について、$U\cap V$ の上で座標変換の Jacobi 行列式の符号は局所定数なので、$U^+\cap V^\pm$ は $\pi$ で $U\cap V$ の開集合（行列式が正、または負の点の集合）に写ります。したがってこれらは開基の公理を満たし、$\pi|_{U^\pm}\colon U^\pm\to U$ は同相です。$\pi^{-1}(U)=U^+\sqcup U^-$ なので、$\pi$ は次数 $2$ の被覆写像です（定義 3.1［基本群と被覆空間］）。

$\tilde M$ は連結でない。 $\tilde M$ は局所的に $M$ と同相なので局所弧状連結です。もし $\tilde M$ が連結なら弧状連結で、命題 3.10［基本群と被覆空間］ (2) により被覆の次数は指数 $[\pi_1(M):\pi_*\pi_1(\tilde M)]$ に等しくなります。$\pi_1(M)=1$ なのでこの指数は $1$ で、次数 $2$ に反します。

切断から向きの合ったアトラスを作る。 $C$ を $\tilde M$ の連結成分とします。連結なチャート $U$ の上で、連結な集合 $U^+$、$U^-$ はそれぞれ $C$ に含まれるか $C$ と交わらないかのどちらかなので、$|C\cap\pi^{-1}(p)|$ は $p\in U$ によらず、$M$ の連結性から $M$ 全体で一定の値 $k\in\{0,1,2\}$ です。$C\ne\varnothing$ なので $k\ge1$、$k=2$ なら $C=\tilde M$ となって連結でないことに反するので $k=1$ です。したがって $\pi|_C\colon C\to M$ は全単射な局所同相で、逆写像 $s\colon M\to C\subset\tilde M$ は連続です。連結なチャート $(U,x)$ ごとに、$s(U)$ は連結なので $U^+$ か $U^-$ のどちらかに入ります。$U^-$ に入るときは座標 $x^1$ を $-x^1$ に替えたチャートに取り替えます。こうして得たアトラスでは、各点 $p$ で座標基底の向きが $s(p)$ の向きに一致するので、座標変換の Jacobi 行列式はすべて正です。命題 3.2［ストークスの定理］ により $M$ は向き付け可能です。

∎

命題 2.6（単連結な閉 3 次元多様体の実コホモロジー）✓

$M$ を連結で単連結な閉 $3$ 次元多様体とする。このとき $M$ は向き付け可能で、

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M)\cong\begin{cases}\mathbb{R}&(k=0,3),\\0&(k=1,2).\end{cases}$$

これは $S^3$ の de Rham コホモロジー（定理 5.1［de Rham コホモロジー］）と同じである。

証明（命題 2.6）

向き付け可能であることは 補題 2.5 です。向きを 1 つ固定します。$M$ は連結なので $H^0_{\mathrm{dR}}(M)=\mathbb{R}$（定数関数）です。$H^1_{\mathrm{dR}}(M)=0$ は 補題 2.4 です。$M$ は閉で向き付けられているので、Poincaré 双対（定理 6.4［コホモロジーと双対性］、閉多様体の場合は 系 6.5［コホモロジーと双対性］ (2)）により $H^2_{\mathrm{dR}}(M)\cong H^1_{\mathrm{dR}}(M)^*=0$、同じ系の (1) により $H^3_{\mathrm{dR}}(M)\cong\mathbb{R}$ です。

∎

de Rham の定理（定理 5.4［コホモロジーと双対性］）により、これは実係数の特異コホモロジーについての主張でもあります。実係数ではねじれが見えないので、これだけでは $M$ と $S^3$ を区別できる不変量が残っているかどうかは分かりません。Poincaré 自身、1900 年には「ホモロジーが球面と同じなら球面」と述べ、1904 年に反例（Poincaré ホモロジー球面。基本群は位数 $120$）を見つけて、条件を基本群に置き換えました。

2.2. 連結和と素な多様体

連結な向き付けられた $n$ 次元多様体 $M_1$、$M_2$ の連結和 $M_1\# M_2$ は、それぞれから 1 点を除き、その点のまわりの穴あき球を半径方向を逆にして貼り合わせたものです（定義 6.3［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］）。向きを保つ微分同相類は貼り合わせに使う球の取り方によりません（系 6.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］）。

群 $G$、$H$ の自由積 $G*H$ を、自明な群からの準同型 $G\leftarrow1\to H$ の押し出しとして定めます。すなわち準同型 $j_G\colon G\to G*H$、$j_H\colon H\to G*H$ があり、任意の群 $K$ と準同型 $\varphi_G\colon G\to K$、$\varphi_H\colon H\to K$ に対して、$\Phi j_G=\varphi_G$、$\Phi j_H=\varphi_H$ となる準同型 $\Phi\colon G*H\to K$ がただ 1 つあります。

命題 2.7（連結和の基本群）✓

$n\ge3$ とし、$M_1$、$M_2$ を連結な向き付けられた $n$ 次元の境界のない多様体とする。このとき

$$\pi_1(M_1\# M_2)\cong\pi_1(M_1)*\pi_1(M_2).$$

証明（命題 2.7）

定義 6.3［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の記号で、埋め込み $f_i\colon B_R\to M_i$（$R\gt1$、$B_R$ は半径 $R$ の開球）を取り、$p_i=f_i(0)$、$M_i^\circ=M_i\setminus\{p_i\}$ と書きます。$M_1\# M_2$ は $M_1^\circ\sqcup M_2^\circ$ で $f_1(tu)\sim f_2((1-t)u)$（$u\in S^{n-1}$、$0\lt t\lt1$）を同一視した商です。

1 点を除いても基本群は変わらない。 $M_i=M_i^\circ\cup f_i(B_1)$ で、$f_i(B_1)$ は開球と同相なので可縮で単連結、共通部分 $f_i(B_1\setminus\{0\})$ は $S^{n-1}\times(0,1)$ と同相です。$n\ge3$ なので $S^{n-1}$ は単連結で（命題 6.3［基本群と被覆空間］）、積の基本群の公式（命題 2.11［基本群と被覆空間］）から共通部分も弧状連結で単連結です。$M_i^\circ$ が弧状連結であることを確かめます。$M_i^\circ$ の点は、$f_i(B_1\setminus\{0\})$ の中なら半径方向の線分で球面 $f_i(\partial B_{1/2})$ の点に結べるので、$f_i(B_{1/2})$ の外の 2 点 $x,y$ を $M_i^\circ$ の中で結べば十分です。$M_i$ の中の道 $c$ で $x$ から $y$ へ行くものを取り、$c$ が閉球 $f_i(\bar B_{1/2})$ に入る最初の時刻と最後の時刻の点を、連結な球面 $f_i(\partial B_{1/2})$（$n\ge2$）の中の道で結び直せば、$p_i$ を通らない道になります。以上で van Kampen の定理の仮定が満たされ、$V=f_i(B_1)$ が単連結な場合の 系 6.2［基本群と被覆空間］ (2) により、包含 $M_i^\circ\to M_i$ は同型 $\pi_1(M_i^\circ)/N\cong\pi_1(M_i)$ を誘導します。$N$ は $\pi_1$ が自明な共通部分の像の $\pi_1(M_i^\circ)$ における正規閉包なので自明で、$\pi_1(M_i^\circ)\cong\pi_1(M_i)$ です。

連結和への van Kampen。 商写像を $q\colon M_1^\circ\sqcup M_2^\circ\to M_1\# M_2$ とし、$U=q(M_1^\circ)$、$V=q(M_2^\circ)$ と置きます。$q^{-1}(U)=M_1^\circ\sqcup f_2(B_1\setminus\{0\})$ は開集合なので $U$ は開集合で、$V$ も同様です。同一視は $M_1^\circ$ の点どうしを貼らないので $q|_{M_1^\circ}$ は単射な開写像で、$U$ は $M_1^\circ$ と同相、$V$ は $M_2^\circ$ と同相です。$U\cap V=q(f_1(B_1\setminus\{0\}))\cong S^{n-1}\times(0,1)$ は、上と同じ理由で弧状連結かつ単連結です。van Kampen の定理（定理 6.1［基本群と被覆空間］）により、$\pi_1(M_1\# M_2)$ は $\pi_1(U)\leftarrow\pi_1(U\cap V)=1\to\pi_1(V)$ の押し出し、すなわち自由積 $\pi_1(U)*\pi_1(V)$ です。前段から $\pi_1(U)\cong\pi_1(M_1)$、$\pi_1(V)\cong\pi_1(M_2)$ です。

∎

$n=2$ ではこの命題は成り立ちません。トーラス $T^2=T^2\# S^2$ から 1 点を除くと基本群は階数 $2$ の自由群になり、$\pi_1(T^2)=\mathbb{Z}^2$ と違います。証明で $S^{n-1}$ の単連結性を使った箇所が $n=2$ で壊れます。

定義 2.8（素な 3 次元多様体・既約な 3 次元多様体）↗

連結な向き付けられた閉 $3$ 次元多様体 $M$ が $S^3$ に微分同相でなく、$M\cong M_1\# M_2$ と書けば必ず $M_1$ か $M_2$ が $S^3$ に微分同相であるとき、$M$ は素であるという。$M$ に埋め込まれた $2$ 次元球面がすべて、$M$ に埋め込まれた $3$ 次元閉球の境界になっているとき、$M$ は既約であるという。

定理 2.9（素分解の存在と一意性（Kneser・Milnor））※

$S^3$ に微分同相でない連結な向き付けられた閉 $3$ 次元多様体 $M$ は、有限個の素な多様体の連結和 $M\cong P_1\#\dots\# P_k$ に書ける。素な因子 $P_1,\dots,P_k$ は、順序と向きを保つ微分同相を除いて一意に決まる。また、素な多様体は既約であるか、$S^2\times S^1$ に微分同相である。

注意 2.10（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。存在（Kneser、1929 年）は、三角形分割に対して正規曲面の理論を使い、互いに平行でない球面の個数が有限であることを示すもので、PL トポロジーの準備が長くなります。一意性（Milnor、1962 年）も球面の交わりを減らす切り貼りの議論が要ります。証明は J. Hempel『3-Manifolds』第 3 章、A. Hatcher『Notes on Basic 3-Manifold Topology』第 1 章にあります。Perelman の第 3 論文は 1.4 節の注意で、ポアンカレ予想に限ればこの定理を使わずに済むことを述べています。第 6 章の最終段の証明でもこの定理は使いません。

2.3. 球面空間形と幾何化予想

定義 2.11（球面空間形）↗

$\Gamma\subset SO(4)$ を、$S^3$ に自由に（単位元以外は固定点を持たずに）作用する有限部分群とする。商多様体 $S^3/\Gamma$ を球面空間形という。$S^3$ の丸い計量は $\Gamma$ で不変なので、$S^3/\Gamma$ は断面曲率が正の定数の計量を持つ。

補題 2.12（球面の自由な商の基本群）✓

$n\ge2$ とし、有限群 $\Gamma$ が $S^n$ に同相写像で自由に（単位元以外は固定点を持たずに）作用しているとする。商空間 $S^n/\Gamma$ に商位相を入れると、商写像 $p\colon S^n\to S^n/\Gamma$ は被覆写像で、

$$\pi_1(S^n/\Gamma)\cong\Gamma .$$

とくに球面空間形 $S^3/\Gamma$ の基本群は $\Gamma$ に同型で、単連結な球面空間形は $S^3$ だけである。

証明（補題 2.12）

被覆写像であること。 $x\in S^n$ とします。作用が自由なので、点 $\gamma x$（$\gamma\in\Gamma$）は互いに異なります。$S^n$ は Hausdorff で $\Gamma$ は有限なので、$\gamma x$ の開近傍 $W_\gamma$ を互いに交わらないように取れます。$U=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}\gamma^{-1}(W_\gamma)$ は $x$ の開近傍で、$\gamma U\subset W_\gamma$ なので、$\gamma\ne\gamma'$ なら $\gamma U\cap\gamma'U=\varnothing$ です。開集合 $W\subset S^n$ について $p^{-1}(p(W))=\bigcup_\gamma\gamma W$ は開集合なので、商位相の定義から $p(W)$ は開集合で、$p$ は開写像です。$p^{-1}(p(U))=\bigsqcup_\gamma\gamma U$ で、各 $p|_{\gamma U}\colon\gamma U\to p(U)$ は連続な全単射（$\gamma U$ の 2 点が同じ軌道に入れば、$\gamma U\cap\gamma'\gamma U\ne\varnothing$ から $\gamma'=1$）かつ開写像なので同相です。よって $p$ は被覆写像です（定義 3.1［基本群と被覆空間］）。$S^n/\Gamma$ は連結な $S^n$ の連続像なので連結で、各点が $S^n$ の開集合と同相な近傍 $p(U)$ を持つので、局所道連結かつ半局所単連結です（Euclid 空間の開球と同相な近傍が取れる）。

被覆変換群は $\Gamma$。 $S^n$ は単連結なので（命題 6.3［基本群と被覆空間］）、$p$ は普遍被覆です。各 $\gamma\in\Gamma$ は $p\circ\gamma=p$ を満たす同相写像、すなわち被覆変換で、$\gamma\mapsto(x\mapsto\gamma x)$ は $\Gamma$ から被覆変換群への準同型です。作用が自由なので単射です。全射性を示します。基点 $x_0$ を取ります。被覆変換 $d$ について $p(d(x_0))=p(x_0)$ なので、$d(x_0)=\gamma x_0$ となる $\gamma\in\Gamma$ があります。定理 7.2［基本群と被覆空間］ (1) により、$x_0$ を $\gamma x_0$ に写す被覆変換はただ 1 つなので、$d$ は $\gamma$ の作用に一致します。同定理の (2) から $\pi_1(S^n/\Gamma)$ は被覆変換群に同型で、したがって $\Gamma$ に同型です。

球面空間形。 定義 2.11 の $\Gamma\subset SO(4)$ は $S^3$ に同相写像で自由に作用する有限群なので、$\pi_1(S^3/\Gamma)\cong\Gamma$ です。$\pi_1(S^3/\Gamma)$ が自明なら $\Gamma$ は自明で、$S^3/\Gamma=S^3$ です。

∎

例 2.13（レンズ空間の基本群）

$S^3=\{(z,w)\in\mathbb{C}^2:|z|^2+|w|^2=1\}$ とし、互いに素な整数 $p\ge2$、$q$ に対し、$\zeta=e^{2\pi i/p}$ として $\sigma(z,w)=(\zeta z,\zeta^qw)$ と置きます。$\sigma$ は位数 $p$ のユニタリ変換で、$\sigma^k(z,w)=(z,w)$ なら $z\ne0$ のとき $\zeta^k=1$、$w\ne0$ のとき $\zeta^{kq}=1$ で、どちらでも $p\mid k$ です（$q$ は $p$ と互いに素）。よって $\Gamma=\langle\sigma\rangle\cong\mathbb{Z}/p$ は自由に作用します。商 $L(p,q)=S^3/\Gamma$ がレンズ空間です。

$\mathbb{C}^2=\mathbb{R}^4$ のユニタリ変換は行列式が正の直交変換なので $\Gamma\subset SO(4)$ で、$L(p,q)$ は球面空間形です。補題 2.12 から $\pi_1(L(p,q))\cong\mathbb{Z}/p$ です。$p$ が違えば基本群が違うので、$L(p,q)$ と $L(p',q')$（$p\ne p'$）は同相でなく、どれも $S^3$ と同相ではありません。

Thurston の 8 つの幾何は、単連結な $3$ 次元の等質 Riemann 多様体のうち、コンパクトな商を持ち、等長変換群が極大であるものです。

模型	等方部分群の次元	例
$S^3$	$3$	球面空間形
$\mathbb{E}^3$（Euclid 空間）	$3$	平坦トーラス $T^3$
$\mathbb{H}^3$（双曲空間）	$3$	双曲多様体
$S^2\times\mathbb{R}$	$1$	$S^2\times S^1$
$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$	$1$	種数 $2$ 以上の曲面 $\times S^1$
$\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})$	$1$	双曲曲面の単位接束
$\mathrm{Nil}$（Heisenberg 群）	$1$	トーラス上の非自明な円周束
$\mathrm{Sol}$	$0$	Anosov 写像のトーラス束

閉 $3$ 次元多様体 $M$ に埋め込まれたトーラス $T$ が非圧縮であるとは、包含が誘導する $\pi_1(T)\to\pi_1(M)$ が単射であることです。境界のない $3$ 次元多様体 $N$ が上の模型 $X$ の幾何構造を持つとは、$N$ が $X$ に局所等長な完備で体積有限の Riemann 計量を持つことです。

定理 2.14（幾何化予想（Perelman の定理））※

$M$ を素な向き付けられた閉 $3$ 次元多様体とする。このとき $M$ の中に、互いに交わらない有限個（$0$ 個でもよい）の埋め込まれた非圧縮トーラスがあって、それらに沿って $M$ を切り開いた各成分の内部が 8 つの幾何のどれかの幾何構造を持つ。

注意 2.15（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。Thurston が 1982 年に予想し（W. P. Thurston, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982)）、Haken 多様体の場合を証明しました。一般の場合は Perelman の手術つき Ricci flow の長時間挙動の解析（第 2 論文 §6〜§8）と、崩壊する $3$ 次元多様体がグラフ多様体であるという定理（第 2 論文 7.4 節で述べられ、証明は Shioya–Yamaguchi、Morgan–Tian、Kleiner–Lott ほかが与えた）によります。証明の全体は本 1 冊を超える分量です。出典は第 6 章の 定理 6.1［ポアンカレ予想 III］ の注意にまとめます。単連結な $M$ に幾何化予想を使うと、非圧縮トーラスは無く（$\pi_1(T)=\mathbb{Z}^2$ は自明な群に単射で入らない）、$M$ 全体が幾何構造を持ち、基本群が有限なのは $S^3$ の幾何だけなので $M\cong S^3$ となります。ポアンカレ予想だけならこの定理の全体は不要で、第 6 章では有限時間消滅を通る短い道を使います。

3. Ricci flow と厳密解

3.1. 記号と定義

$(M,g)$ を $n$ 次元 Riemann 多様体、$\nabla$ を Levi-Civita 接続（定理 5.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）とします。曲率の符号は 定義 2.1［曲率テンソル］ に合わせます。スカラー曲率を $R$ と書くので、混同を避けて曲率テンソルは $\operatorname{Rm}$ と書きます。

$$\operatorname{Rm}(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z,\qquad \operatorname{Rm}(\partial_i,\partial_j)\partial_k=R_{ijk}{}^l\partial_l .$$

添字の繰り返しは和を取り、添字の上げ下げは $g$ で行います。Ricci 曲率とスカラー曲率は 定義 4.1［曲率テンソル］ のとおり $R_{jk}=\operatorname{Ric}(\partial_j,\partial_k)=R_{ijk}{}^i$、$R=g^{jk}R_{jk}$ です。Christoffel 記号（命題 4.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）で書くと、$\nabla_{\partial_i}\nabla_{\partial_j}\partial_k=\nabla_{\partial_i}(\Gamma^m_{jk}\partial_m)=(\partial_i\Gamma^l_{jk}+\Gamma^m_{jk}\Gamma^l_{im})\partial_l$ と $[\partial_i,\partial_j]=0$ から

$$R_{ijk}{}^l=\partial_i\Gamma^l_{jk}-\partial_j\Gamma^l_{ik}+\Gamma^l_{im}\Gamma^m_{jk}-\Gamma^l_{jm}\Gamma^m_{ik}$$

です。関数の Laplacian は $\Delta f=\operatorname{div}\operatorname{grad}f=g^{ij}\nabla_i\nabla_jf$ とします（命題 5.5［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ の符号。Hodge 理論の章の $\delta d$ とは符号が逆で、こちらは最大点で $\Delta f\le0$ となる向きです）。テンソルのノルムは $|\operatorname{Ric}|^2=g^{ik}g^{jl}R_{ij}R_{kl}$ のように $g$ で測ります。体積要素を $dV$ と書きます。

定義 3.1（Ricci flow・正規化 Ricci flow）↗

多様体 $M$ 上の Riemann 計量の滑らかな族 $g(t)$（$t\in[0,T)$）が

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\operatorname{Ric}(g(t))$$

を満たすとき、$g(t)$ を Ricci flow（の解）という。$M$ が閉多様体のとき、$r(t)=\int_MR\,dV\big/\int_MdV$（スカラー曲率の平均）として

$$\frac{\partial g}{\partial t}=-2\operatorname{Ric}+\frac2n\,r\,g$$

を正規化 Ricci flow という。

係数 $-2$ は、調和座標で $\operatorname{Ric}_{jk}=-\frac12\Delta g_{jk}+(\text{低階の項})$ となることに合わせたもので、方程式は形式的には $\partial g/\partial t=\Delta g+\dots$ という熱方程式の形です。正規化 Ricci flow は体積を保ちます（定理 4.2 の後で確かめます）。両者は空間の相似拡大と時間の取り替えで移り合います。

定義 3.2（Ricci ソリトン・勾配ソリトン）↗

Riemann 多様体 $(M,g)$、ベクトル場 $X$、定数 $\lambda\in\mathbb{R}$ が

$$\operatorname{Ric}+\tfrac12L_Xg=\lambda g$$

を満たすとき、$(M,g,X)$ を Ricci ソリトンという（$L_X$ は Lie 微分）。$\lambda\gt0$、$\lambda=0$、$\lambda\lt0$ に応じて縮小、定常、拡大ソリトンという。$X=\operatorname{grad}f$ となる関数 $f$ があるとき勾配ソリトンといい、このとき方程式は

$$\operatorname{Ric}+\nabla^2f=\lambda g$$

となる（$\nabla^2f$ は Hesse 形式 $\nabla_i\nabla_jf$。下の 補題 3.3 による）。$X=0$ の場合 $\operatorname{Ric}=\lambda g$ を Einstein 計量という。

補題 3.3（計量の Lie 微分）✓

Riemann 多様体 $(M,g)$ 上のベクトル場 $X$ の流れを $\theta_s$ とし、$L_Xg=\frac{d}{ds}\big|_{s=0}\theta_s^*g$ と置く。このとき

$$(L_Xg)(Y,Z)=\langle\nabla_YX,Z\rangle+\langle Y,\nabla_ZX\rangle,\qquad \frac{d}{ds}\theta_s^*g=\theta_s^*(L_Xg).$$

とくに $X=\operatorname{grad}f$ なら $L_Xg=2\nabla^2f$ である。

証明（補題 3.3）

ベクトル場 $Y,Z$ に対し、関数 $g(Y,Z)$ の $X$ 方向の微分を 2 通りに計算します。$\theta_s^*(g(Y,Z))=(\theta_s^*g)(\theta_s^*Y,\theta_s^*Z)$（$\theta_s^*Y=d\theta_{-s}(Y\circ\theta_s)$ は引き戻し）を $s=0$ で微分すると、Lie 微分の定義（定義 3.1［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）と $L_XY=[X,Y]$（定理 3.2［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）から

$$X\langle Y,Z\rangle=(L_Xg)(Y,Z)+\langle[X,Y],Z\rangle+\langle Y,[X,Z]\rangle .$$

一方、$\nabla$ は計量と両立し捩れがないので $X\langle Y,Z\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle$、$\nabla_XY-[X,Y]=\nabla_YX$ です。引くと $(L_Xg)(Y,Z)=\langle\nabla_YX,Z\rangle+\langle Y,\nabla_ZX\rangle$ です。第 2 式は、流れの性質 $\theta_{s+\sigma}=\theta_\sigma\circ\theta_s$ から $\theta_{s+\sigma}^*g=\theta_s^*(\theta_\sigma^*g)$ となるので、$\sigma=0$ で微分して得られます。$X=\operatorname{grad}f$ のとき $\langle\nabla_YX,Z\rangle=Y\langle X,Z\rangle-\langle X,\nabla_YZ\rangle=Y(Zf)-(\nabla_YZ)f=\nabla^2f(Y,Z)$ で、これは $Y,Z$ について対称なので $L_Xg=2\nabla^2f$ です。

∎

3.2. 球面・Einstein 計量・積

補題 3.4（丸い球面の曲率）✓

半径 $r$ の球面 $S^n(r)=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:|x|=r\}$（$n\ge2$）に誘導計量を入れると

$$\operatorname{Rm}(X,Y)Z=\frac1{r^2}\bigl(\langle Y,Z\rangle X-\langle X,Z\rangle Y\bigr),\qquad \operatorname{Ric}=\frac{n-1}{r^2}\,g,\qquad R=\frac{n(n-1)}{r^2}.$$

証明（補題 3.4）

$\mathbb{R}^{n+1}$ の平坦な接続を $\bar\nabla$、外向き単位法線を $\nu(x)=x/r$ とします。接ベクトル場 $X$ について $\bar\nabla_X\nu=X/r$ です。命題 5.4［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ により $S^n(r)$ の Levi-Civita 接続は $\bar\nabla$ の接成分なので、接ベクトル場 $Y,Z$ について $\bar\nabla_YZ=\nabla_YZ+\langle\bar\nabla_YZ,\nu\rangle\nu$ で、$\langle Z,\nu\rangle=0$ を $Y$ で微分すると $\langle\bar\nabla_YZ,\nu\rangle=-\langle Z,\bar\nabla_Y\nu\rangle=-\langle Y,Z\rangle/r$ です。よって

$$\bar\nabla_X\bar\nabla_YZ=\bar\nabla_X\nabla_YZ-\frac1rX\langle Y,Z\rangle\,\nu-\frac1{r^2}\langle Y,Z\rangle X .$$

接成分を取ると $\nabla_X\nabla_YZ-r^{-2}\langle Y,Z\rangle X$ です。$\bar\nabla$ は平坦なので $\bar\nabla_X\bar\nabla_YZ-\bar\nabla_Y\bar\nabla_XZ-\bar\nabla_{[X,Y]}Z=0$ で、その接成分は

$$\operatorname{Rm}(X,Y)Z-\frac1{r^2}\langle Y,Z\rangle X+\frac1{r^2}\langle X,Z\rangle Y=0$$

です。正規直交基底 $E_1,\dots,E_n$ でトレースを取ると $\operatorname{Ric}(Y,Z)=\sum_i\langle\operatorname{Rm}(E_i,Y)Z,E_i\rangle=r^{-2}(n\langle Y,Z\rangle-\langle Y,Z\rangle)$、さらにトレースを取って $R=n(n-1)/r^2$ です。

∎

命題 3.5（Einstein 計量と S² × ℝ の流れ）✓

1. $(M,g_0)$ が Einstein 計量 $\operatorname{Ric}(g_0)=\lambda g_0$ を持つとき、$g(t)=(1-2\lambda t)g_0$ は $1-2\lambda t\gt0$ の範囲で Ricci flow の解である。
2. $(M_1,g_1(t))$、$(M_2,g_2(t))$ が Ricci flow の解なら、積多様体上の積計量 $g_1(t)+g_2(t)$ も Ricci flow の解である。
3. $g_{S^2}$ を単位球面の計量、$dz^2$ を $\mathbb{R}$ の標準計量とする。$S^2\times\mathbb{R}$ 上の $g(t)=(r_0^2-2t)\,g_{S^2}+dz^2$ は $0\le t\lt r_0^2/2$ で Ricci flow の解である。$S^2\times S^1$ 上でも同じ式が解を与える。

証明（命題 3.5）

(1) 定数 $c\gt0$ について、$cg$ の Christoffel 記号は $\frac12(cg)^{kl}(\partial_i(cg)_{jl}+\dots)=\Gamma^k_{ij}(g)$ で $g$ と同じです（定理 5.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ の座標表示）。3.1 節の式から $R_{ijk}{}^l$、したがって $R_{jk}=R_{ijk}{}^i$ も同じで、$\operatorname{Ric}(cg)=\operatorname{Ric}(g)$ です。よって $\operatorname{Ric}(g(t))=\operatorname{Ric}(g_0)=\lambda g_0$ で、$\partial g/\partial t=-2\lambda g_0=-2\operatorname{Ric}(g(t))$ です。

(2) 積の座標 $(x^a,y^\alpha)$ で積計量は区分対角で、各区画はその因子の座標だけに依ります。Christoffel 記号の座標表示から、2 つの因子の添字が混ざる $\Gamma$ は $0$ で、混ざらないものは各因子の Christoffel 記号です。3.1 節の式から $R_{ijk}{}^l$ も同様で、$\operatorname{Ric}(g_1+g_2)=\operatorname{Ric}(g_1)+\operatorname{Ric}(g_2)$（区分対角）です。したがって $\partial_t(g_1+g_2)=-2\operatorname{Ric}(g_1)-2\operatorname{Ric}(g_2)=-2\operatorname{Ric}(g_1+g_2)$ です。

(3) 補題 3.4 で $n=2$、$r=1$ とすると $\operatorname{Ric}(g_{S^2})=g_{S^2}$ なので、(1) から $(r_0^2-2t)g_{S^2}$ は $S^2$ 上の解です。$dz^2$ は平坦で時間によらないので $\mathbb{R}$（または $S^1$）上の解です。(2) を使います。

∎

命題 3.6（丸い球面の Ricci flow）✓

$n\ge2$ とする。半径 $r_0$ の丸い球面 $S^n(r_0)$ の計量 $g_0$ から出発する Ricci flow の解として、半径 $r(t)$ の丸い球面の計量

$$g(t)=\frac{r(t)^2}{r_0^2}\,g_0,\qquad r(t)^2=r_0^2-2(n-1)t\qquad\Bigl(0\le t\lt T=\frac{r_0^2}{2(n-1)}\Bigr)$$

が取れる。$t\uparrow T$ で直径は $0$ に、曲率 $R=n(n-1)/r(t)^2$ は無限大に発散する。

証明（命題 3.6）

補題 3.4 から $\operatorname{Ric}(g_0)=\frac{n-1}{r_0^2}g_0$ なので、命題 3.5 (1) を $\lambda=(n-1)/r_0^2$ で使うと $g(t)=(1-2(n-1)t/r_0^2)g_0$ が解です。$g_0$ を $c$ 倍した計量は長さを $\sqrt c$ 倍するので半径 $\sqrt c\,r_0$ の球面と等長で、$r(t)^2=r_0^2-2(n-1)t$ です。曲率は 補題 3.4 を半径 $r(t)$ で使います。

∎

$3$ 次元の単位球面は時刻 $T=1/4$ で消えます。初期計量を持つ解が一意であること（定理 6.2）を認めれば、これが丸い球面から出るただ 1 つの解です。

左の球面が相似に縮んで 1 点につぶれる様子と、右の $S^2\times\mathbb{R}$ で球面方向だけが縮み直線方向は変わらない様子を並べて見てください。

$r(t{)}^2=1-2t$ に従う $S^2$（左）と $S^2\times \mathbb{R}$（右）の Ricci flow。左は $t\uparrow 1/2$ で 1 点になり、右は円柱が細くなるだけで直線方向の長さは変わらない。

3.3. ソリトンは形を変えずに流れる

命題 3.7（勾配ソリトンは自己相似解）✓

$(M,g_0,f_0)$ を勾配ソリトン $\operatorname{Ric}(g_0)+\nabla^2f_0=\lambda g_0$ とし、ベクトル場 $\operatorname{grad}_{g_0}f_0$ が完備である（流れ $\theta_s$ がすべての $s\in\mathbb{R}$ で定まる。$M$ が閉なら自動的に成り立つ）とする。$\sigma(t)=1-2\lambda t$、

$$s(t)=\int_0^t\frac{d\tau}{\sigma(\tau)},\qquad g(t)=\sigma(t)\,\theta_{s(t)}^*g_0$$

と置くと、$g(t)$ は $\sigma(t)\gt0$ の範囲で Ricci flow の解である。すなわち勾配ソリトンは、微分同相による引き戻しと相似拡大だけで動く解を与える。

証明（命題 3.7）

$\psi_t=\theta_{s(t)}$ と書きます。補題 3.3 の第 2 式と合成関数の微分、$s'(t)=1/\sigma(t)$ から

$$\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\sigma\,\psi_t^*g_0\bigr)=-2\lambda\,\psi_t^*g_0+\sigma\cdot\frac1\sigma\,\psi_t^*\bigl(L_{\operatorname{grad}f_0}g_0\bigr)=\psi_t^*\bigl(-2\lambda g_0+2\nabla^2f_0\bigr)=\psi_t^*\bigl(-2\operatorname{Ric}(g_0)\bigr).$$

最後にソリトンの方程式を使いました。微分同相 $\psi$ について $\psi^*g_0$ の Levi-Civita 接続は $g_0$ のものの引き戻しなので（一意性 定理 5.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）$\operatorname{Ric}(\psi^*g_0)=\psi^*\operatorname{Ric}(g_0)$ で、定数倍で $\operatorname{Ric}$ は変わらない（命題 3.5 の証明の (1)）ので、右辺は $-2\operatorname{Ric}(\psi_t^*g_0)=-2\operatorname{Ric}(g(t))$ です。

∎

縮小ソリトン（$\lambda\gt0$）は $t=1/(2\lambda)$ で 1 点に縮む解、定常ソリトンはすべての時刻で互いに等長な解、拡大ソリトンは $t\gt-1/(2|\lambda|)$ で定義される解です。特異点の近くで解を拡大した極限にはソリトンが現れるので、ソリトンの分類が特異点の理解の中心になります（第 5 章）。

平面の共形平坦な計量の Ricci 曲率を計算しておきます。葉巻ソリトンと 2 次元の例の両方で使います。次の補題は、座標で曲率を書き下す具体的な計算の部品で、証明は添字の計算を順に追うだけです。

補題 3.8（2 次元の共形平坦な計量の曲率）✓

$\mathbb{R}^2$ の開集合上の計量 $g=e^{2w}(dx^2+dy^2)$（$w$ は滑らかな関数）について、$w_i=\partial_iw$、$\Delta_0=\partial_x^2+\partial_y^2$ と書くと

$$\Gamma^k_{ij}=\delta^k_iw_j+\delta^k_jw_i-\delta_{ij}w_k,\qquad R_{jk}=-(\Delta_0w)\,\delta_{jk},\qquad R=-2e^{-2w}\Delta_0w,$$

関数 $f$ の Hesse 形式は $\nabla_i\nabla_jf=\partial_i\partial_jf-w_j\partial_if-w_i\partial_jf+\delta_{ij}\langle\nabla_0w,\nabla_0f\rangle$（$\langle\cdot,\cdot\rangle$、$\nabla_0$ は Euclid のもの）である。

証明（補題 3.8）

$g_{ij}=e^{2w}\delta_{ij}$、$g^{kl}=e^{-2w}\delta^{kl}$、$\partial_ig_{jl}=2w_ie^{2w}\delta_{jl}$ を Christoffel 記号の座標表示に入れると

$$\Gamma^k_{ij}=\tfrac12e^{-2w}\bigl(2w_ie^{2w}\delta_{jk}+2w_je^{2w}\delta_{ik}-2w_ke^{2w}\delta_{ij}\bigr)=\delta^k_jw_i+\delta^k_iw_j-\delta_{ij}w_k .$$

3.1 節の式で $l=i$ と縮約すると $R_{jk}=\partial_i\Gamma^i_{jk}-\partial_j\Gamma^i_{ik}+\Gamma^i_{im}\Gamma^m_{jk}-\Gamma^i_{jm}\Gamma^m_{ik}$ です。次元が $2$ なので $\Gamma^i_{ik}=w_k+2w_k-w_k=2w_k$ で、各項は次のとおりです（$w_{jk}=\partial_j\partial_kw$）。

$$\begin{aligned} \partial_i\Gamma^i_{jk}&=w_{jk}+w_{jk}-\delta_{jk}\Delta_0w=2w_{jk}-\delta_{jk}\Delta_0w,\qquad \partial_j\Gamma^i_{ik}=2w_{jk},\\ \Gamma^i_{im}\Gamma^m_{jk}&=2w_m\bigl(\delta^m_jw_k+\delta^m_kw_j-\delta_{jk}w_m\bigr)=4w_jw_k-2\delta_{jk}|\nabla_0w|^2 . \end{aligned}$$

最後の項は $(\delta^i_jw_m+\delta^i_mw_j-\delta_{jm}w_i)(\delta^m_iw_k+\delta^m_kw_i-\delta_{ik}w_m)$ を展開した 9 項の和です。順に

$$w_jw_k,\quad w_jw_k,\quad -\delta_{jk}|\nabla_0w|^2,\quad 2w_jw_k,\quad w_jw_k,\quad -w_jw_k,\quad -w_jw_k,\quad -\delta_{jk}|\nabla_0w|^2,\quad w_jw_k$$

で（4 番目は $\delta^i_m\delta^m_i=2$ による）、合計は $4w_jw_k-2\delta_{jk}|\nabla_0w|^2$ です。よって 2 次の項は打ち消し合い、$R_{jk}=(2w_{jk}-\delta_{jk}\Delta_0w)-2w_{jk}=-\delta_{jk}\Delta_0w$、$R=g^{jk}R_{jk}=-2e^{-2w}\Delta_0w$ です。Hesse 形式は $\nabla_i\nabla_jf=\partial_i\partial_jf-\Gamma^k_{ij}\partial_kf$ に $\Gamma$ を入れたものです。

∎

命題 3.9（Hamilton の葉巻ソリトン）✓

$\mathbb{R}^2$ 上の計量

$$g=\frac{dx^2+dy^2}{1+x^2+y^2}$$

と関数 $f=-\log(1+x^2+y^2)$ は $\operatorname{Ric}+\nabla^2f=0$ を満たす。すなわち $(\mathbb{R}^2,g,f)$ は定常勾配ソリトンである。スカラー曲率は $R=4/(1+x^2+y^2)\gt0$ で、$g$ は完備である。

証明（命題 3.9）

$\rho^2=x^2+y^2$、$w=-\frac12\log(1+\rho^2)$ と置くと $g=e^{2w}(dx^2+dy^2)$、$f=2w$ です。座標を $x_1=x$、$x_2=y$ と書くと

$$w_i=-\frac{x_i}{1+\rho^2},\qquad w_{ij}=-\frac{\delta_{ij}}{1+\rho^2}+\frac{2x_ix_j}{(1+\rho^2)^2},\qquad |\nabla_0w|^2=\frac{\rho^2}{(1+\rho^2)^2},$$$$\Delta_0w=-\frac{2}{1+\rho^2}+\frac{2\rho^2}{(1+\rho^2)^2}=-\frac{2}{(1+\rho^2)^2}.$$

補題 3.8 から $R_{ij}=\frac{2}{(1+\rho^2)^2}\delta_{ij}$、$R=-2(1+\rho^2)\Delta_0w=\frac{4}{1+\rho^2}$ です。Hesse 形式は、同じ補題で $f=2w$ として

$$\nabla_i\nabla_jf=2w_{ij}-4w_iw_j+2\delta_{ij}|\nabla_0w|^2=-\frac{2\delta_{ij}}{1+\rho^2}+\frac{4x_ix_j}{(1+\rho^2)^2}-\frac{4x_ix_j}{(1+\rho^2)^2}+\frac{2\rho^2\delta_{ij}}{(1+\rho^2)^2}=-\frac{2\delta_{ij}}{(1+\rho^2)^2}.$$

したがって $R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf=0$ です。完備性を確かめます。極座標で $g=(d\rho^2+\rho^2d\theta^2)/(1+\rho^2)$ で、$s=\operatorname{arsinh}\rho$ と置くと $ds=d\rho/\sqrt{1+\rho^2}$、$\rho^2/(1+\rho^2)=\tanh^2s$ なので

$$g=ds^2+\tanh^2s\,d\theta^2 .$$

任意の曲線について $g$ での長さは $\int|ds|$ 以上なので、原点からの距離が $L$ 以下の点は $s\le L$ を満たします。よって有界閉集合は $\{s\le L\}$ の閉部分集合でコンパクトであり、Hopf–Rinow の定理（定理 5.2［測地線と完備性］）により $g$ は完備です。

∎

表示 $g=ds^2+\tanh^2s\,d\theta^2$ から、葉巻ソリトンは遠方で周長 $2\pi$ の円柱 $ds^2+d\theta^2$ に近づき、先端（$s=0$）で丸く閉じていることが分かります。曲率 $R=4/\cosh^2s$ は遠方で指数的に $0$ に近づきます。Ricci flow のもとでこの計量は、先端へ向かう微分同相で引き戻されるだけで形を変えません（命題 3.7）。葉巻ソリトンと直線の積は、大きなスケールで見ると体積が半径の 2 乗でしか増えない「崩壊した」空間で、これが $3$ 次元の特異点の模型として現れないことを示すのが第 5 章の非崩壊定理です。

4. 曲率の変分公式とスカラー曲率の発展方程式

4.1. 計量を動かしたときの曲率の変化

Ricci flow のもとで曲率がどう変わるかを知るには、計量を一般の方向 $h$ に動かしたときの曲率の変化を計算しておくのが早道です。第 5 章で Perelman の汎関数の変分を計算するときにも同じ公式を使います。

補題 4.1（曲率の変分公式）✓

$g(s)$ を多様体 $M$ 上の Riemann 計量の滑らかな族とし、$h=\partial g/\partial s$（対称 $2$ テンソル）、$H=g^{ij}h_{ij}$ と置く。共変微分と添字の上げ下げを $g(s)$ で行うと、次が成り立つ。

1. $\dfrac{\partial}{\partial s}g^{ij}=-h^{ij}$。
2. $\dfrac{\partial}{\partial s}\Gamma^k_{ij}=A^k_{ij}:=\dfrac12g^{kl}\bigl(\nabla_ih_{jl}+\nabla_jh_{il}-\nabla_lh_{ij}\bigr)$。
3. $\dfrac{\partial}{\partial s}R_{ijk}{}^l=\nabla_iA^l_{jk}-\nabla_jA^l_{ik}$。
4. $\dfrac{\partial}{\partial s}R_{jk}=\dfrac12\bigl(\nabla^l\nabla_jh_{kl}+\nabla^l\nabla_kh_{jl}-\Delta h_{jk}-\nabla_j\nabla_kH\bigr)$。
5. $\dfrac{\partial}{\partial s}R=-\langle h,\operatorname{Ric}\rangle+\nabla^j\nabla^kh_{jk}-\Delta H$。ここで $\langle h,\operatorname{Ric}\rangle=h^{jk}R_{jk}$。
6. $\dfrac{\partial}{\partial s}dV=\dfrac12H\,dV$。

証明（補題 4.1）

(1) $g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k$ を微分すると $(\partial_sg^{ij})g_{jk}+g^{ij}h_{jk}=0$ で、$g^{kl}$ を掛けて $\partial_sg^{il}=-g^{ij}h_{jk}g^{kl}=-h^{il}$ です。

(2) Christoffel 記号の座標表示 $\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{kl}(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij})$（定理 5.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）を $s$ で微分し、(1) と $\frac12(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij})=g_{lm}\Gamma^m_{ij}$ を使うと

$$\partial_s\Gamma^k_{ij}=-h^{kl}g_{lm}\Gamma^m_{ij}+\tfrac12g^{kl}\bigl(\partial_ih_{jl}+\partial_jh_{il}-\partial_lh_{ij}\bigr).$$

一方 $\nabla_ih_{jl}=\partial_ih_{jl}-\Gamma^m_{ij}h_{ml}-\Gamma^m_{il}h_{jm}$ なので

$$\begin{aligned} \nabla_ih_{jl}+\nabla_jh_{il}-\nabla_lh_{ij} ={}&\partial_ih_{jl}+\partial_jh_{il}-\partial_lh_{ij}\\ &-\Gamma^m_{ij}h_{ml}-\Gamma^m_{il}h_{jm}-\Gamma^m_{ji}h_{ml}-\Gamma^m_{jl}h_{im}+\Gamma^m_{li}h_{mj}+\Gamma^m_{lj}h_{im}\\ ={}&\partial_ih_{jl}+\partial_jh_{il}-\partial_lh_{ij}-2\Gamma^m_{ij}h_{ml} \end{aligned}$$

です（$\Gamma$ の下の添字の対称性で 4 項が打ち消し合う）。$\frac12g^{kl}$ を掛けると、$g^{kl}h_{ml}\Gamma^m_{ij}=h^{kl}g_{lm}\Gamma^m_{ij}$ なので上の $\partial_s\Gamma^k_{ij}$ に一致します。$A$ は $h$ の共変微分で書けているのでテンソルです。

(3) $R_{ijk}{}^l=\partial_i\Gamma^l_{jk}-\partial_j\Gamma^l_{ik}+\Gamma^l_{im}\Gamma^m_{jk}-\Gamma^l_{jm}\Gamma^m_{ik}$ を微分して (2) を使うと

$$\partial_sR_{ijk}{}^l=\partial_iA^l_{jk}-\partial_jA^l_{ik}+A^l_{im}\Gamma^m_{jk}+\Gamma^l_{im}A^m_{jk}-A^l_{jm}\Gamma^m_{ik}-\Gamma^l_{jm}A^m_{ik}.$$

他方、$(1,2)$ テンソルの共変微分の定義から

$$\begin{aligned} \nabla_iA^l_{jk}&=\partial_iA^l_{jk}+\Gamma^l_{im}A^m_{jk}-\Gamma^m_{ij}A^l_{mk}-\Gamma^m_{ik}A^l_{jm},\\ \nabla_jA^l_{ik}&=\partial_jA^l_{ik}+\Gamma^l_{jm}A^m_{ik}-\Gamma^m_{ji}A^l_{mk}-\Gamma^m_{jk}A^l_{im}. \end{aligned}$$

差を取ると $\Gamma^m_{ij}A^l_{mk}$ の項が消え、$\partial_sR_{ijk}{}^l$ の式と項ごとに一致します。

(4) $R_{jk}=R_{ijk}{}^i$ なので、(3) で $l=i$ と縮約して $\partial_sR_{jk}=\nabla_iA^i_{jk}-\nabla_jA^i_{ik}$ です。$A^i_{jk}=\frac12(\nabla_jh_k{}^i+\nabla_kh_j{}^i-\nabla^ih_{jk})$ から

$$\nabla_iA^i_{jk}=\tfrac12\bigl(\nabla^i\nabla_jh_{ki}+\nabla^i\nabla_kh_{ji}-\Delta h_{jk}\bigr),\qquad A^i_{ik}=\tfrac12\bigl(\nabla_ih_k{}^i+\nabla_kH-\nabla^ih_{ik}\bigr)=\tfrac12\nabla_kH,$$

したがって $\nabla_jA^i_{ik}=\frac12\nabla_j\nabla_kH$ で、(4) を得ます。

(5) $R=g^{jk}R_{jk}$ を微分し、(1) と (4) を使います。$g^{jk}$ は共変微分と交換するので $g^{jk}\nabla^l\nabla_jh_{kl}=\nabla^l\nabla^kh_{kl}$、$g^{jk}\Delta h_{jk}=\Delta H$、$g^{jk}\nabla_j\nabla_kH=\Delta H$ で

$$\partial_sR=-h^{jk}R_{jk}+\tfrac12\bigl(2\nabla^l\nabla^kh_{kl}-2\Delta H\bigr)=-\langle h,\operatorname{Ric}\rangle+\nabla^j\nabla^kh_{jk}-\Delta H .$$

(6) 座標で $dV=\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx^1\cdots dx^n$ です。行列式の微分の公式 $\partial_s\det g=(\det g)\,g^{ij}\partial_sg_{ij}$ から $\partial_s\sqrt{\det g}=\frac12H\sqrt{\det g}$ です。

∎

4.2. Ricci flow のもとでの発展方程式

定理 4.2（スカラー曲率と体積要素の発展方程式）✓

$g(t)$ を多様体 $M$ 上の Ricci flow の解とする。このとき

$$\frac{\partial R}{\partial t}=\Delta R+2|\operatorname{Ric}|^2,\qquad \frac{\partial}{\partial t}dV=-R\,dV .$$

証明（定理 4.2）

補題 4.1 を $h=-2\operatorname{Ric}$ で使います。$H=-2R$ です。(5) から

$$\frac{\partial R}{\partial t}=2|\operatorname{Ric}|^2-2\nabla^j\nabla^kR_{jk}+2\Delta R .$$

縮約 Bianchi 恒等式（系 5.2［曲率テンソル］）は添字で $\nabla^kR_{jk}=\frac12\nabla_jR$ なので、$\nabla^j\nabla^kR_{jk}=\frac12\Delta R$ です。代入すると $\partial R/\partial t=2|\operatorname{Ric}|^2-\Delta R+2\Delta R=\Delta R+2|\operatorname{Ric}|^2$ です。体積要素は (6) から $\partial_tdV=\frac12(-2R)dV=-R\,dV$ です。

∎

スカラー曲率は「反応項 $2|\operatorname{Ric}|^2\ge0$ つきの熱方程式」を満たします。拡散項 $\Delta R$ は曲率をならし、反応項は曲率を増やします。この 2 つの綱引きが Ricci flow の性質を決めます。

閉多様体では、体積 $V(t)=\int_MdV$ は $dV/dt=-\int_MR\,dV$ に従います。正規化 Ricci flow（定義 3.1）では、補題 4.1 (6) を $h=-2\operatorname{Ric}+\frac2nrg$、$H=-2R+2r$ で使って $dV/dt=\int_M(r-R)\,dV=0$ となり、体積が保たれます。

命題 4.3（閉曲面の全スカラー曲率は計量によらない）✓

$M$ を向き付けられた閉曲面（$2$ 次元の閉多様体）とする。$\int_MR\,dV$ は $M$ 上の Riemann 計量の取り方によらない。$M=S^2$ のとき、任意の計量について

$$\int_{S^2}R\,dV=8\pi,\qquad\text{すなわち Gauss 曲率 }K=R/2\text{ について}\quad\int_{S^2}K\,dV=4\pi .$$

証明（命題 4.3）

$2$ 次元では $\operatorname{Ric}=\frac R2g$。 正規直交基底 $e_1,e_2$ を取ると、定義 4.1［曲率テンソル］ から $\operatorname{Ric}(e_1,e_1)=\operatorname{Rm}(e_2,e_1,e_1,e_2)=K$、$\operatorname{Ric}(e_2,e_2)=\operatorname{Rm}(e_1,e_2,e_2,e_1)=K$ で、$\operatorname{Ric}(e_1,e_2)=\operatorname{Rm}(e_1,e_1,e_2,e_1)+\operatorname{Rm}(e_2,e_1,e_2,e_2)=0$（曲率の交代性 命題 3.1［曲率テンソル］ 1、2）です。よって $\operatorname{Ric}=Kg$、$R=2K$ です。

変分が $0$。 2 つの計量 $g_0,g_1$ に対し $g_s=(1-s)g_0+sg_1$（$0\le s\le1$）は計量の族で、$h=g_1-g_0$ です。補題 4.1 (5)(6) から

$$\frac{d}{ds}\int_MR\,dV=\int_M\Bigl(-\langle h,\operatorname{Ric}\rangle+\nabla^j\nabla^kh_{jk}-\Delta H+\tfrac12HR\Bigr)dV .$$

$\nabla^j\nabla^kh_{jk}$ はベクトル場 $X^j=\nabla_kh^{jk}$ の発散、$\Delta H$ は $\operatorname{grad}H$ の発散なので、積分は $0$ です（命題 3.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）。$\operatorname{Ric}=\frac R2g$ から $\langle h,\operatorname{Ric}\rangle=\frac12HR$ で、残りの 2 項は打ち消し合います。よって $\int_MR\,dV$ は $s$ によらず、$g_0$ と $g_1$ で同じ値です。

球面の値。 単位球面の計量では 補題 3.4 から $R=2$ で、面積は極座標で $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=4\pi$ なので $\int R\,dV=8\pi$ です。

∎

これは Gauss–Bonnet の定理 $\int K\,dA=2\pi\chi$（$\mathbb{R}^3$ の中の曲面については 定理 6.3［曲線と曲面］）の、抽象的な計量に対する形です。第 6 章で、$3$ 次元多様体の中の極小球面の面積の変化を評価するときに使います。

例 4.4（2 次元の Ricci flow は共形類を保つ）

$2$ 次元では $\operatorname{Ric}=\frac R2g$ なので、Ricci flow は $\partial g/\partial t=-Rg$ となり、計量は各点でスカラー倍されるだけです。局所的に $g(t)=e^{u(x,y,t)}(dx^2+dy^2)$ と書くと、補題 3.8（$w=u/2$）から $R=-e^{-u}\Delta_0u$ で、$\partial_tg=(\partial_tu)e^u(dx^2+dy^2)$、$-Rg=(\Delta_0u)(dx^2+dy^2)$ を比べて

$$\frac{\partial u}{\partial t}=e^{-u}\Delta_0u$$

を得ます。非線形の熱方程式（対数型の速い拡散方程式）です。たとえば $u(x,y,t)=-\log(e^{4t}+x^2+y^2)$ は、$\rho^2=x^2+y^2$ として

$$\partial_tu=-\frac{4e^{4t}}{e^{4t}+\rho^2},\qquad \Delta_0u=-\frac{4}{e^{4t}+\rho^2}+\frac{4\rho^2}{(e^{4t}+\rho^2)^2}=-\frac{4e^{4t}}{(e^{4t}+\rho^2)^2},\qquad e^{-u}\Delta_0u=-\frac{4e^{4t}}{e^{4t}+\rho^2}$$

なので解です。$t=0$ で葉巻ソリトン（命題 3.9）に一致し、時刻 $t$ の計量は、縮小写像 $(x,y)\mapsto e^{-2t}(x,y)$（$\operatorname{grad}f=-2(x,y)$ の流れ）による葉巻ソリトンの引き戻しです。命題 3.7 の具体例になっています。閉曲面では、命題 4.3 と 定理 4.2 から面積が $dA/dt=-\int R\,dV$ という一定の速さで変わります（演習 8.4）。

5. 最大値原理

5.1. 時間に依る計量でのスカラー最大値原理

熱方程式の解の最大値は時間とともに増えません（有界領域の場合は 定理 3.1［熱方程式］）。同じことが、Laplacian を定める計量が時間に依っていても成り立ち、さらに反応項があれば常微分方程式の解と比べられます。証明は最大点での 1 階・2 階の微分の符号だけを使います。

定理 5.1（スカラー最大値原理（ODE との比較））✓

$M$ を閉多様体、$g(t)$（$t\in[0,T]$）を $M$ 上の Riemann 計量の滑らかな族、$F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を局所 Lipschitz 連続な関数とする。$u\colon M\times[0,T]\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数、$\varphi\colon[0,T]\to\mathbb{R}$ を常微分方程式 $\varphi'=F(\varphi)$ の解とする。

1. $\dfrac{\partial u}{\partial t}\ge\Delta_{g(t)}u+F(u)$ かつ $u(\cdot,0)\ge\varphi(0)$ ならば、$M\times[0,T]$ 上で $u\ge\varphi$。
2. $\dfrac{\partial u}{\partial t}\le\Delta_{g(t)}u+F(u)$ かつ $u(\cdot,0)\le\varphi(0)$ ならば、$M\times[0,T]$ 上で $u\le\varphi$。

証明（定理 5.1）

(1) $u$ と $\varphi$ はコンパクト集合上の連続関数なので、ある $C$ について値が $[-C,C]$ に入ります。$F$ の $[-C-1,C+1]$ 上の Lipschitz 定数を $L$ とします。$v=u-\varphi$ と置くと

$$\frac{\partial v}{\partial t}\ge\Delta v+F(u)-F(\varphi)\ge\Delta v-L|v| .$$

$0\lt\varepsilon\lt e^{-(L+1)T}$ を取り、$w=v+\varepsilon e^{(L+1)t}$ と置きます。$t=0$ で $w\ge\varepsilon\gt0$ です。$M\times[0,T]$ 上で $w\gt0$ を示します。そうでないとすると、$\{t:\min_Mw(\cdot,t)\le0\}$ は空でない閉集合で、その最小元 $t_0$ は正です。$w(x_0,t_0)=0$ となる点 $x_0$ を取ります。$t\le t_0$ では $w\ge0$ なので、次が成り立ちます。

• $x_0$ は $w(\cdot,t_0)$ の最小点なので、$x_0$ のまわりの座標で 1 階微分は $0$、Hesse 行列 $(\partial_i\partial_jw)$ は半正定値です。$\Delta w=g^{ij}(\partial_i\partial_jw-\Gamma^k_{ij}\partial_kw)=g^{ij}\partial_i\partial_jw$ で、正定値行列 $(g^{ij})$ と半正定値行列の積のトレースは $0$ 以上なので、$\Delta v(x_0,t_0)=\Delta w(x_0,t_0)\ge0$。
• $w(x_0,t)\ge0=w(x_0,t_0)$（$t\le t_0$）なので $\partial_tw(x_0,t_0)\le0$。

一方 $|v(x_0,t_0)|=\varepsilon e^{(L+1)t_0}$ なので

$$\partial_tw(x_0,t_0)=\partial_tv+\varepsilon(L+1)e^{(L+1)t_0}\ge\Delta v-L\varepsilon e^{(L+1)t_0}+\varepsilon(L+1)e^{(L+1)t_0}\ge\varepsilon e^{(L+1)t_0}\gt0$$

となり矛盾です。よって $v\gt-\varepsilon e^{(L+1)t}$ で、$\varepsilon\to0$ として $v\ge0$ を得ます。

(2) $\tilde u=-u$、$\tilde\varphi=-\varphi$、$\tilde F(y)=-F(-y)$ と置くと、$\partial_t\tilde u\ge\Delta\tilde u+\tilde F(\tilde u)$、$\tilde\varphi'=\tilde F(\tilde\varphi)$、$\tilde u(\cdot,0)\ge\tilde\varphi(0)$ で、$\tilde F$ も局所 Lipschitz です。(1) から $\tilde u\ge\tilde\varphi$、すなわち $u\le\varphi$ です。

∎

閉多様体であること（境界がなくコンパクトであること）は、最小点が必ず内部にあることを保証するために使っています。非コンパクトな多様体では、無限遠での増大度の仮定が要ります。$F$ が局所 Lipschitz なら、与えた初期値に対する $\varphi'=F(\varphi)$ の解は局所的に一意に存在します（定理 4.1［解の存在と一意性］）。

5.2. スカラー曲率の最小値

系 5.2（スカラー曲率の最小値の単調性と存在時間の上界）✓

$g(t)$（$t\in[0,T)$）を $n$ 次元閉多様体 $M$ 上の Ricci flow の解とし、$R_{\min}(t)=\min_MR(\cdot,t)$ と置く。

1. $R_{\min}(t)$ は $t$ について非減少である。
2. $R_{\min}(0)=\rho_0\gt0$ ならば $$R_{\min}(t)\ge\frac{1}{\rho_0^{-1}-2t/n}\qquad\text{かつ}\qquad T\le\frac{n}{2\rho_0}.$$
3. $\rho_0\gt0$ について $R_{\min}(0)\ge-\rho_0$ ならば、すべての $t\in[0,T)$ で $$R_{\min}(t)\ge-\frac{n}{2}\cdot\frac{1}{t+n/(2\rho_0)}.$$

証明（系 5.2）

各点で $\operatorname{Ric}$ を対角化する正規直交基底を取り、固有値を $\rho_1,\dots,\rho_n$ とすると、Cauchy–Schwarz の不等式から $R^2=(\sum_i\rho_i)^2\le n\sum_i\rho_i^2=n|\operatorname{Ric}|^2$ です。定理 4.2 と合わせて

$$\frac{\partial R}{\partial t}\ge\Delta R+\frac2nR^2 .$$

(1) $0\le t_1\lt t_2\lt T$ とします。$\partial_tR\ge\Delta R$ なので、区間 $[t_1,t_2]$ で 定理 5.1 (1) を $F=0$、$\varphi\equiv R_{\min}(t_1)$ として使うと $R(\cdot,t_2)\ge R_{\min}(t_1)$ です。

(2) $F(y)=\frac2ny^2$ は局所 Lipschitz で、$\varphi(t)=(\rho_0^{-1}-2t/n)^{-1}$ は $\varphi'=\frac2n\varphi^2$、$\varphi(0)=\rho_0$ を満たし、$0\le t\lt T_0:=n/(2\rho_0)$ で定義されます。$t_1\lt\min(T,T_0)$ について、区間 $[0,t_1]$ で 定理 5.1 (1) を使うと $R(\cdot,t_1)\ge\varphi(t_1)$ です。もし $T\gt T_0$ なら、$R$ はコンパクト集合 $M\times[0,T_0]$ 上で連続なので有界ですが、$t_1\uparrow T_0$ で $\varphi(t_1)\to\infty$ となり矛盾します。よって $T\le T_0$ です。

(3) $\varphi(t)=-(\rho_0^{-1}+2t/n)^{-1}$ は $\varphi'=\frac2n(\rho_0^{-1}+2t/n)^{-2}=\frac2n\varphi^2$、$\varphi(0)=-\rho_0$ を満たし、すべての $t\ge0$ で定義されます。(2) と同じく $R\ge\varphi$ で、$\varphi(t)=-\frac n2\bigl(t+\frac{n}{2\rho_0}\bigr)^{-1}$ です。

∎

(2) は「正のスカラー曲率を持つ計量から出た Ricci flow は、初期計量だけで決まる時刻までに必ず壊れる」ことを言っています。丸い球面ではこの上界が実際の消滅時刻に一致します（演習 8.2）。(3) は、どんな初期計量でも負の曲率が $-n/(2t)$ の速さで薄まっていくことを示します。$n=3$ のとき $R_{\min}(t)\ge-\frac32(t+\mathrm{const})^{-1}$ で、Perelman は第 2 論文の式 (7.2) と第 3 論文の 1.3 節でこの評価を使っています。第 6 章の有限時間消滅の証明の入力の 1 つです。

6. 解の存在：DeTurck の技巧

Ricci flow は見かけ上は熱方程式ですが、そのままでは放物型方程式の一般論が使えません。方程式が微分同相で不変なので、線形化の主表象が退化するからです。

命題 6.1（Ricci flow の線形化の退化と Ricci–DeTurck 流）✓

$(M,g)$ を $n$ 次元 Riemann 多様体とする。

1. 写像 $g\mapsto-2\operatorname{Ric}(g)$ の $g$ での $h$ 方向の微分は $$\bigl(D(-2\operatorname{Ric})_g[h]\bigr)_{jk}=\Delta h_{jk}+\nabla_j\nabla_kH-\nabla^l\nabla_jh_{kl}-\nabla^l\nabla_kh_{jl}$$ である。その主表象（$\nabla$ を余ベクトル $\xi$ に置き換えた $2$ 次の部分） $$\sigma(\xi)h_{jk}=|\xi|^2h_{jk}+\xi_j\xi_kH-\xi^l\xi_jh_{kl}-\xi^l\xi_kh_{jl}$$ は、任意の余ベクトル $v$ について $h=\xi\otimes v+v\otimes\xi$ を $0$ に写す。とくに $\xi\ne0$ でも $\sigma(\xi)$ は単射でない。
2. 背景の計量 $\tilde g$ を固定し、その Christoffel 記号を $\tilde\Gamma$ として、ベクトル場 $W^k=g^{ij}(\Gamma^k_{ij}-\tilde\Gamma^k_{ij})$ と $$P(g)=-2\operatorname{Ric}(g)+L_Wg,\qquad (L_Wg)_{jk}=\nabla_jW_k+\nabla_kW_j$$ を定める。このとき $DP_g[h]=\Delta h+B_g[h]$ で、$B_g$ は $h$ について 1 階以下の線形微分作用素である。したがって $DP_g$ の主表象は $|\xi|^2\cdot\mathrm{id}$ で、Ricci–DeTurck 流 $\partial g/\partial t=P(g)$ は狭義放物型である。

証明（命題 6.1）

(1) 微分の式は 補題 4.1 (4) を $-2$ 倍したものです。$h_{jk}=\xi_jv_k+v_j\xi_k$ を主表象に入れます。$a=\xi^lv_l$ と書くと $H=2a$、$\xi^lh_{kl}=|\xi|^2v_k+a\xi_k$ なので

$$\sigma(\xi)h_{jk}=|\xi|^2(\xi_jv_k+v_j\xi_k)+2a\xi_j\xi_k-\xi_j\bigl(|\xi|^2v_k+a\xi_k\bigr)-\xi_k\bigl(|\xi|^2v_j+a\xi_j\bigr)=0 .$$

(2) 2 つの接続の差 $\Gamma-\tilde\Gamma$ はテンソルなので（命題 4.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ 3）、$W$ はベクトル場です。$L_Wg$ の表示は 補題 3.3 です。$g$ を $h$ 方向に動かすと、補題 4.1 (1)(2) から

$$\delta W^k=-h^{ij}(\Gamma^k_{ij}-\tilde\Gamma^k_{ij})+g^{ij}A^k_{ij},\qquad g^{ij}A^k_{ij}=\tfrac12g^{kl}\bigl(2\nabla^ih_{il}-\nabla_lH\bigr)=\nabla^ih_i{}^k-\tfrac12\nabla^kH .$$

第 1 項は $h$ の微分を含みません。$W_k=g_{kl}W^l$ の変分は $\delta W_k=h_{kl}W^l+g_{kl}\delta W^l=\nabla^ih_{ik}-\frac12\nabla_kH+(h\text{ の }0\text{ 階の項})$ です。$\nabla_jW_k=\partial_jW_k-\Gamma^m_{jk}W_m$ の変分は $\nabla_j(\delta W_k)-A^m_{jk}W_m$ で、第 2 項は $h$ の 1 階の項です。よって

$$\delta(L_Wg)_{jk}=\nabla_j\nabla^lh_{lk}+\nabla_k\nabla^lh_{lj}-\nabla_j\nabla_kH+(h\text{ の }1\text{ 階以下の項}).$$

(1) の式と足すと、$\nabla_j\nabla_kH$ が打ち消し合い

$$DP_g[h]_{jk}=\Delta h_{jk}+\bigl(\nabla_j\nabla^lh_{lk}-\nabla^l\nabla_jh_{kl}\bigr)+\bigl(\nabla_k\nabla^lh_{lj}-\nabla^l\nabla_kh_{jl}\bigr)+(1\text{ 階以下}).$$

括弧の中は共変微分の交換子です。$\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$ は、ベクトル場には定義により $\operatorname{Rm}(X,Y)$ として微分を含まずに作用し（定義 2.1［曲率テンソル］）、関数には $0$ として作用し、テンソル積について Leibniz 則を満たし縮約と交換するので、テンソル $h$ にも曲率と $h$ の成分の積（$h$ の $0$ 階の項）として作用します。したがって括弧の中は $h$ の $0$ 階の項で、$DP_g[h]=\Delta h+B_g[h]$ です。

∎

(1) の核は、ベクトル場 $V$ による無限小の微分同相 $h=L_Vg$（$h_{jk}=\nabla_jV_k+\nabla_kV_j$）の主表象です。$\operatorname{Ric}$ が微分同相で不変であること $\operatorname{Ric}(\psi^*g)=\psi^*\operatorname{Ric}(g)$ を線形化すると、この方向が退化することが分かります。DeTurck の技巧は、$L_Wg$ を足して座標の自由度を固定し、放物型にするものです。Ricci–DeTurck 流の解 $\hat g(t)$ が得られたら、$\partial_t\phi_t=-W(\phi_t,t)$、$\phi_0=\mathrm{id}$ で定まる微分同相の族で引き戻した $g(t)=\phi_t^*\hat g(t)$ が Ricci flow の解になります（命題 3.7 の証明と同じ計算で $L_W$ の項が打ち消されます）。

定理 6.2（短時間の存在と一意性（Hamilton・DeTurck））※

$M$ を閉多様体、$g_0$ を $M$ 上の滑らかな Riemann 計量とする。

1. ある $T\gt0$ と、$g(0)=g_0$ を満たす Ricci flow の滑らかな解 $g(t)$（$t\in[0,T)$）が存在する。同じ初期計量を持つ 2 つの解は、共通の定義区間で一致する。
2. 解が定義される最大の区間を $[0,T_{\max})$ とする。$T_{\max}\lt\infty$ ならば $$\limsup_{t\uparrow T_{\max}}\ \max_M|\operatorname{Rm}|(\cdot,t)=\infty .$$

注意 6.3（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。存在は、命題 6.1 (2) の狭義放物型の準線形方程式に対する短時間の解の存在定理（Hölder 空間または Sobolev 空間での線形放物型方程式の評価と逆関数定理）によります。一意性は、微分同相の族 $\phi_t$ を調和写像の熱流として解き直す議論が要ります。(2) は、曲率が有界なら曲率のすべての階数の導関数が有界になるという評価（Shi の微分評価）によります。これらの放物型方程式の理論は Rikai にまだ無く、合わせると本の数章分になります。Hamilton の 1982 年の論文は Nash–Moser の逆関数定理で存在を示し（同論文の Theorem 14.1 が (2)）、DeTurck が 1983 年に上の技巧で証明を大幅に短くしました。証明は Chow–Knopf『The Ricci Flow: An Introduction』第 3 章・第 6〜7 章、Topping『Lectures on the Ricci Flow』第 5 章にあります。

(2) により、解が有限時間で終わるのは曲率が発散するときだけです。この時刻を特異時刻といいます。

7. Hamilton の定理と、その先の障害

7.1. 正の Ricci 曲率

定理 7.1（Hamilton の定理（1982 年））※

$M$ を連結な閉 $3$ 次元多様体、$g_0$ を $\operatorname{Ric}(g_0)\gt0$（すべての $0$ でない接ベクトル $v$ で $\operatorname{Ric}(v,v)\gt0$）を満たす Riemann 計量とする。$g_0$ から出発する正規化 Ricci flow の解はすべての $t\ge0$ で存在し、$t\to\infty$ で断面曲率が正の定数の計量に滑らかに収束する。したがって $M$ は球面空間形 $S^3/\Gamma$ に微分同相であり、$M$ が単連結なら $S^3$ に微分同相である。

注意 7.2（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。証明は、(a) $\operatorname{Ric}\gt0$ が流れで保たれること、(b) Ricci 曲率の固有値の比が保たれ、さらに曲率が大きい点ほど固有値が互いに近づくこと（pinching 評価）、(c) スカラー曲率の勾配の評価から曲率の最大値と最小値の比が $1$ に近づくこと、の 3 段からなり、(a)(b) にテンソルに対する最大値原理を使います。全体で論文 1 本（R. S. Hamilton, J. Differential Geom. 17 (1982), 255–306）の分量です。定理 5.1 はその最大値原理のスカラーの場合にあたります。断面曲率が正の定数の完備な計量を持つ単連結な多様体が球面であることも、別に証明が要ります。教科書の証明は Chow–Knopf『The Ricci Flow: An Introduction』第 6 章にあります。

$\operatorname{Ric}\gt0$ なら Bonnet–Myers の定理（定理 6.6［測地線と完備性］）から基本群が有限であることは分かります。Hamilton の定理はその先の、微分同相型の決定まで行きます。「単連結な閉 $3$ 次元多様体が $\operatorname{Ric}\gt0$ の計量を持つ」ことが言えればポアンカレ予想になりますが、それを直接示す方法は知られていません。そこで、任意の計量から出発して Ricci flow を追うことになります。

7.2. 3 次元の曲率は正の側に寄っていく

一般の初期計量では曲率の符号は保たれません。しかし $3$ 次元では、曲率が大きくなる点では負の部分が相対的に小さくなります。

定理 7.3（Hamilton–Ivey の pinching 評価）※

$M$ を閉 $3$ 次元多様体、$g(t)$（$t\in[0,T)$）を Ricci flow の解とする。任意の $\varepsilon\gt0$ に対し、$\varepsilon$ と $g(0)$ の断面曲率の下限だけで決まる定数 $C_\varepsilon$ があって、すべての $(x,t)\in M\times[0,T)$ と $T_xM$ の任意の $2$ 次元部分空間 $\sigma$ について、時刻 $t$ の断面曲率は

$$K(\sigma)\ge-\varepsilon\,R(x,t)-C_\varepsilon$$

を満たす。

注意 7.4（主張のみ：理由と出典）

この定理は主張のみとし、証明を付けません。証明は、曲率作用素の固有値 $\lambda\ge\mu\ge\nu$ が満たす常微分方程式系 $\lambda'=\lambda^2+\mu\nu$（および巡回置換）に対して、ある凸集合が保たれることを確かめ、テンソルの最大値原理（Hamilton の 1986 年の論文）を使うものです。テンソルの最大値原理の証明が Rikai に無く、長くなります。上の形は、もとの定量的な評価（$\nu\lt0$ の点でスカラー曲率が $|\nu|\log|\nu|$ の程度以上になる）からの帰結です。T. Ivey（Differential Geom. Appl. 3 (1993)）と Hamilton（“The formation of singularities in the Ricci flow”, Surveys in Differential Geometry 2 (1995)）が独立に得ました。Perelman は第 1 論文 12.1 節で「$\phi$-ほとんど非負の曲率」$\operatorname{Rm}\ge-\phi(R)R$（$\phi$ は無限遠で $0$ に減少する関数）としてこの評価を使い、第 2 論文 5.1 節で時刻つきの形を引用しています。教科書の証明は Chow–Knopf『The Ricci Flow: An Introduction』にあります。

特異点の近くで計量を曲率の最大値で割って拡大すると、$C_\varepsilon$ の項は消えて $K\ge-\varepsilon R$ がすべての $\varepsilon$ で成り立ちます。したがって拡大した極限は（存在すれば）断面曲率が非負です。$3$ 次元の特異点模型が非負曲率の解に限られることが、Hamilton の計画を可能にしています。

7.3. 首の特異点

例 7.5（S² × S¹ の流れ）

$S^2\times S^1$ に、半径 $r_0$ の丸い球面と長さ $\ell$ の円周の積計量を入れます。命題 3.5 (3) から $g(t)=(r_0^2-2t)g_{S^2}+dz^2$ が解で、スカラー曲率は $R=2/(r_0^2-2t)$ です。$t\uparrow r_0^2/2$ で $S^2$ の方向だけが縮み、$S^1$ の方向の長さは変わりません。多様体全体が同時に円周へつぶれ、曲率はすべての点で発散します。系 5.2 (2) の上界は $T\le3r_0^2/4$ で、実際の特異時刻 $r_0^2/2$ より大きく、この例では等号になりません（$\operatorname{Ric}$ の固有値が $1/r^2,1/r^2,0$ で揃っていないため）。この流れを円周方向に切り出した $S^2\times(\text{区間})$ が、次に述べる「首」の標準形です。

ダンベル形の計量の定性的な振る舞い。2 つのふくらみをつなぐ細い首（S² × 区間に近い部分）では球面方向の曲率が大きく、首が先に縮んで有限時間でつぶれる。両側のふくらみでは曲率は有界のままで、流れを滑らかに続けることはできない。

$S^3$ の上でも、ダンベル形の計量（2 つの大きな球を細い首でつないだ形）から出発すると、首の部分が $S^2\times\mathbb{R}$ の流れ（命題 3.5 (3)）に近い振る舞いをして先に縮み、両側の球が丸くなる前に首がつぶれます。これを首の特異点（neck pinch）といいます。回転対称な計量についてこの現象が実際に起こることは Angenent と Knopf が 2004 年に厳密に示しました。特異時刻で多様体の一部だけの曲率が発散するので、定理 6.2 (2) により流れはそこで止まります。

Hamilton の計画は次のとおりです。

1. 特異時刻の直前に、つぶれかけた首を $S^2$ で切り、切り口に球（帽子）を貼って滑らかな計量に直す（手術）。位相的には、連結和の分解の逆をたどることになる。
2. 手術後の多様体で Ricci flow を再び走らせ、これを繰り返す。
3. 有限回の手術の後、各成分が丸くなって消えれば、もとの多様体は球面空間形と $S^2\times S^1$ の連結和であると分かる。

この計画を実行するには、特異点の近くの計量の形がすべて分かっていなければなりません。必要なのは次の 2 点です。

障害	内容	解決
崩壊	特異点の近くで計量を拡大した列が、単射半径が $0$ に近づいて低い次元につぶれると、極限の多様体が取れない。葉巻ソリトン $\times\,\mathbb{R}$ のような模型が現れる可能性が残る。	Perelman の非崩壊定理（第 1 論文 §4。第 5 章 で証明）
特異点模型の分類	拡大した極限（非負曲率の古代解）を分類し、曲率の大きい点の近傍が首・帽子・正曲率の閉多様体のどれかであることを示す。	Perelman の標準近傍定理（第 1 論文 §11〜§12。第 5 章で命題として述べる）

その上で、手術を無限に繰り返しても時刻が集積しないこと（第 2 論文）と、単連結な場合に流れが有限時間で消えること（第 3 論文）を示す必要があります。これらは 第 6 章 で扱います。

8. 演習

演習 8.1易

$n$ 次元 Riemann 多様体の各点で $|\operatorname{Ric}|^2\ge R^2/n$ が成り立つことを示し、等号が成り立つのは $\operatorname{Ric}=\frac Rng$ のときに限ることを示せ。

解答

$\operatorname{Ric}$ の跡のない部分を $\overset{\circ}{\operatorname{Ric}}=\operatorname{Ric}-\frac Rng$ と置きます。$\langle g,g\rangle=n$、$\langle\operatorname{Ric},g\rangle=R$ なので $\langle\overset{\circ}{\operatorname{Ric}},g\rangle=R-R=0$ で、

$$|\operatorname{Ric}|^2=\Bigl|\overset{\circ}{\operatorname{Ric}}\Bigr|^2+\frac{2R}{n}\langle\overset{\circ}{\operatorname{Ric}},g\rangle+\frac{R^2}{n^2}\,n=\Bigl|\overset{\circ}{\operatorname{Ric}}\Bigr|^2+\frac{R^2}{n}$$

です。よって $|\operatorname{Ric}|^2\ge R^2/n$ で、等号は $\overset{\circ}{\operatorname{Ric}}=0$ のときに限ります。Perelman の第 2 論文の式 (7.1) $\partial_tR=\Delta R+2|\overset{\circ}{\operatorname{Ric}}|^2+\frac23R^2$ は、$n=3$ でこの分解を 定理 4.2 に入れたものです。

演習 8.2易

半径 $r_0$ の丸い $S^3$ から出発する Ricci flow について、系 5.2 (2) が与える存在時間の上界を求め、命題 3.6 の消滅時刻と比べよ。

解答

補題 3.4 から $R_{\min}(0)=6/r_0^2$ です。系 5.2 (2) の上界は $n/(2\rho_0)=3r_0^2/12=r_0^2/4$ です。命題 3.6 の消滅時刻は $r_0^2/(2(n-1))=r_0^2/4$ で、一致します。丸い球面は Einstein 計量なので、演習 8.1 の等号が成り立ち、証明で使った不等式 $\partial_tR\ge\Delta R+\frac2nR^2$ が等式になるからです。実際 $R(t)=6/(r_0^2-4t)$ は $\varphi'=\frac23\varphi^2$ の解そのものです。

演習 8.3標準

$(M,g_0)$ を断面曲率が $-1$ の閉 $n$ 次元多様体（$n\ge2$）とする。このとき $\operatorname{Ric}(g_0)=-(n-1)g_0$ である（補題 3.4 と同じく、定曲率 $\kappa$ なら $\operatorname{Ric}=(n-1)\kappa g$）。(a) $g_0$ から出発する Ricci flow の解を求め、すべての $t\ge0$ で存在することを確かめよ。(b) スカラー曲率を求め、系 5.2 (3) の下界と比べよ。

解答

(a) 命題 3.5 (1) を $\lambda=-(n-1)$ で使うと $g(t)=(1+2(n-1)t)g_0$ が解で、$1+2(n-1)t\gt0$ はすべての $t\ge0$ で成り立ちます。計量は相似に膨らみ続けます。

(b) $\operatorname{Ric}(g(t))=\operatorname{Ric}(g_0)=-(n-1)g_0$ で、$g(t)^{jk}=(1+2(n-1)t)^{-1}g_0^{jk}$ なので

$$R(t)=-\frac{n(n-1)}{1+2(n-1)t}.$$

系 5.2 (3) を $\rho_0=n(n-1)$ で使うと、下界は $-\frac n2\bigl(t+\frac{1}{2(n-1)}\bigr)^{-1}=-\frac{n(n-1)}{2(n-1)t+1}$ で、$R(t)$ に一致します。双曲多様体では (3) の評価が等号になります。体積で正規化すると計量は動かず、正規化 Ricci flow の定常解です。幾何化予想の証明では、長時間での「厚い部分」がこの型の振る舞いに近づきます。

演習 8.4標準

$g(t)$（$t\in[0,T)$）を $S^2$ 上の Ricci flow の解とし、時刻 $t$ の面積を $A(t)$ とする。$A(t)=A(0)-8\pi t$ を示し、$T\le A(0)/(8\pi)$ を導け。丸い球面で等号を確かめよ。

解答

定理 4.2 から $\partial_tdV=-R\,dV$ なので $A'(t)=-\int_{S^2}R\,dV$ です。命題 4.3 により右辺は計量によらず $-8\pi$ です。よって $A(t)=A(0)-8\pi t$ です。面積は正なので $t\lt A(0)/(8\pi)$ でなければならず、$T\le A(0)/(8\pi)$ です。半径 $r_0$ の丸い球面では $A(0)=4\pi r_0^2$ で上界は $r_0^2/2$、命題 3.6（$n=2$）の消滅時刻 $r_0^2/2$ に一致します。$3$ 次元では全スカラー曲率は位相不変量ではないので、同じ議論はできません。その代わりになるのが、第 6 章で扱う極小球面の面積の評価です。

参考文献

1. R. S. Hamilton, “Three-manifolds with positive Ricci curvature”, J. Differential Geom. 17 (1982), 255–306. Ricci flow の導入、短時間の存在、定理 7.1 の原論文。
2. D. M. DeTurck, “Deforming metrics in the direction of their Ricci tensors”, J. Differential Geom. 18 (1983), 157–162. 命題 6.1 の技巧。
3. R. S. Hamilton, “The formation of singularities in the Ricci flow”, Surveys in Differential Geometry 2 (1995), 7–136. 特異点の解析、ソリトン、pinching 評価、手術の構想。
4. B. Chow, D. Knopf, The Ricci Flow: An Introduction, Mathematical Surveys and Monographs 110, American Mathematical Society, 2004 — 第 2 章（厳密解と首の特異点）、第 3 章（短時間の存在）、第 4 章（最大値原理）、第 6 章（Hamilton の定理）。
5. P. Topping, Lectures on the Ricci Flow, London Mathematical Society Lecture Note Series 325, Cambridge University Press, 2006 — 第 2 章（変分公式と発展方程式）、第 3 章（最大値原理）、第 5 章（DeTurck の技巧）。
6. W. P. Thurston, “Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), 357–381. 幾何化予想。
7. J. Milnor, “Towards the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds”, Notices Amer. Math. Soc. 50 (2003), 1226–1233. 歴史と、Perelman の第 1・第 2 論文が出た時点での概観。
8. G. Perelman, “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”, arXiv:math/0211159 (2002); “Ricci flow with surgery on three-manifolds”, arXiv:math/0303109 (2003); “Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds”, arXiv:math/0307245 (2003).