数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 I

計量の Lie 微分

補題 3.3（「ポアンカレ予想 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

Riemann 多様体 $(M,g)$ 上のベクトル場 $X$ の流れを $\theta_s$ とし、 $L_Xg=\frac{d}{ds}\big|_{s=0}\theta_s^*g$ と置く。このとき

(L_Xg)(Y,Z)=\langle\nabla_YX,Z\rangle+\langle Y,\nabla_ZX\rangle,\qquad \frac{d}{ds}\theta_s^*g=\theta_s^*(L_Xg).

とくに $X=\operatorname{grad}f$ なら $L_Xg=2\nabla^2f$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
$L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

勾配ソリトンは自己相似解✓命題 3.7・ポアンカレ予想 I
Ricci flow の線形化の退化と Ricci–DeTurck 流✓命題 6.1・ポアンカレ予想 I

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