Lie 微分

$X$ を滑らかなベクトル場、$\theta_t$ をその流れとする。

1. 関数 $f$ に対し $(L_Xf)(p)=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}f(\theta_t(p))=X_pf$。
2. ベクトル場 $Y$ に対し $(L_XY)_p=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}\,d(\theta_{-t})_{\theta_t(p)}\bigl(Y_{\theta_t(p)}\bigr)\in T_pM$。
3. $k$ 形式 $\omega$ に対し $(L_X\omega)_p=\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}(\theta_t^*\omega)_p\in\Lambda^kT_p^*M$。