数学 › 多様体論 › de Rham コホモロジー

ホモトピー公式

命題 3.1（「de Rham コホモロジー」§3）・ ✓公理まで証明済み

$k$ 形式 $\omega\in\Omega^k(M\times\mathbb{R})$ に対し、

(K\omega)_x(v_1,\dots,v_{k-1})=\int_0^1(i_T\omega)_{(x,t)}\bigl(d(i_t)\,v_1,\dots,d(i_t)\,v_{k-1}\bigr)\,dt

で定まる $K\omega\in\Omega^{k-1}(M)$ は滑らかで（ $K\colon\Omega^k(M\times\mathbb{R})\to\Omega^{k-1}(M)$ ）、

i_1^*\omega-i_0^*\omega=d\,K\omega+K\,d\omega .

つまり $K\omega=\int_0^1i_t^*(i_T\omega)\,dt$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
  - シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    ウェッジ積定義 5.2・ベクトル場と微分形式
    外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
    外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式（上で展開済み）
  - $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式

これを使っている定理証明で参照している 1 件

ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジー

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