数学 › 多様体論 › ベクトル場と微分形式

外微分の存在と一意性

定理 6.2（「ベクトル場と微分形式」§6） ・ ✓公理まで証明済み

MM を nn 次元 C∞C^\infty 多様体とする。次の 3 条件を満たす R\mathbb{R} 線形写像の族 d ⁣:Ωk(M)→Ωk+1(M)d\colon \Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)（k=0,1,…,nk=0,1,\dots,n）がただ 1 つ存在する。

  1. f∈Ω0(M)=C∞(M)f\in\Omega^0(M)=C^\infty(M) に対し、dfdf は 定義 4.1 の微分に一致する。
  2. （次数付きライプニッツ則）α∈Ωk(M)\alpha\in\Omega^k(M)、β∈Ωl(M)\beta\in\Omega^l(M) に対し d(α∧β)=dα∧β+(−1)k α∧dβ.d(\alpha\wedge\beta) = d\alpha\wedge\beta + (-1)^{k}\,\alpha\wedge d\beta .
  3. d∘d=0d\circ d = 0、すなわち任意の α∈Ωk(M)\alpha\in\Omega^k(M) に対し d(dα)=0d(d\alpha)=0。

さらにこの dd は、チャート (U,x)(U,x) 上で α=∑I′αI dxI\alpha = \sum'_I \alpha_I\, dx^I と表されるとき

dα=∑I′dαI∧dxI=∑I′ ∑j=1n∂αI∂xj dxj∧dxId\alpha = \sum'_{I} d\alpha_I \wedge dx^{I} = \sum'_{I}\ \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \alpha_I}{\partial x^{j}}\, dx^{j}\wedge dx^{I}

で与えられる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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