数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

外微分と余微分の共変微分表示

補題 5.1（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式

  • 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  • 外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
  • シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分

    • シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分

      • 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性 この先をたどる →
• 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
      • Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
  • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
• 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  • 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理

    • ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理

      • 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
      • フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分 この先をたどる →
      • チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• ∂̄ + ∂̄* は Dirac 型作用素と 0 階の項の和✓補題 3.3・Hodge 分解と Lefschetz 分解
• 射影空間・複素トーラス・Riemann 面の Hodge 数✓命題 5.8・Hodge 分解と Lefschetz 分解
• Kähler 条件の同値条件✓定理 3.1・Kähler 多様体
• Hodge Laplacian の解析的性質✓定理 4.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

関連するノック 2 問

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