数学 › 複素幾何 › Kähler 多様体

Kähler 条件の同値条件

定理 3.1（「Kähler 多様体」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(X,g)$ を Hermite 多様体、 $\omega$ を基本形式、 $\nabla$ を $g$ の Levi-Civita 接続（定理 5.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）とする。次は同値である。

$d\omega=0$ 。
各点 $p\in X$ のまわりに、 $p$ を原点とする正則座標 $(w_1,\dots,w_n)$ で $h_{j\bar k}(w)=\delta_{jk}+O(|w|^2)$ 、すなわち $h_{j\bar k}(0)=\delta_{jk}$ かつ $h_{j\bar k}$ の 1 階偏導関数がすべて原点で $0$ となるものがある。
正則接束 $(TX,h)$ の Chern 接続は、同型 $\iota:TX\to T^{1,0}X$ のもとで Levi-Civita 接続 $\nabla$ に一致する。
$\nabla J=0$ 、すなわち任意のベクトル場 $Y$ について $\nabla(JY)=J\nabla Y$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 123 件、定義なども含めて 146 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

J 不変な内積と正の (1,1) 形式✓補題 2.1・Kähler 多様体
正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像
- 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論
    多重円板の Cauchy 積分公式✓定理 2.2・多変数複素関数論この先をたどる →
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論
    ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
    べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論（上で展開済み）
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素線型写像の実行列式✓補題 2.3・複素多様体と正則写像
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
Chern 接続の存在と一意性✓定理 4.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
- 正則ベクトル束の ∂̄ 作用素✓命題 3.1・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
  - 可積分性の同値条件✓定理 4.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    複素化の分解と基底✓補題 2.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
    1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    Lie 括弧の性質✓命題 2.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
  - Dolbeault コホモロジーの基本性質✓命題 5.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
    関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    (p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
    複素構造が定める向き✓命題 2.4・概複素構造と Dolbeault コホモロジーこの先をたどる →
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式
  - 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
  - 外積代数の基本性質✓定理 5.3・ベクトル場と微分形式
  - シュワルツの定理（n 変数）✓定理 9.9・多変数関数の微分と偏微分
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
- 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

(0,•) 形式の Clifford 加群の構造✓補題 3.2・Hodge 分解と Lefschetz 分解
Kähler 恒等式✓定理 6.3・Kähler 多様体
Ricci 形式と第一 Chern 類✓定理 7.2・Kähler 多様体

Kähler 条件の同値条件

閉包の状態

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