数学 › 複素関数論 › 正則関数とコーシー・リーマンの関係式

コーシー・リーマンの関係式（十分性）

定理 5.1（「正則関数とコーシー・リーマンの関係式」§5）・ ✓公理まで証明済み

開集合 $\Omega$ 上の関数 $f = u+iv$ と点 $z_0 = x_0+iy_0 \in \Omega$ について、 $u$ と $v$ が $(x_0,y_0)$ で全微分可能であり、かつその点でコーシー・リーマンの関係式

u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0), \qquad u_y(x_0,y_0) = -\,v_x(x_0,y_0)

が成り立つとする。このとき $f$ は $z_0$ で複素微分可能で、 $f'(z_0) = u_x(x_0,y_0) + i\,v_x(x_0,y_0)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

これを使っている定理証明で参照している 3 件

円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
点における必要十分条件✓系 5.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

関連するノック 3 問