複素解析 100 本ノック

学部100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの各章（複素数から正則関数の性質、留数定理、等角写像、整関数とガンマ関数、多変数複素関数論まで）を一通り読んだ学部生。定義と定理の仮定を自分で確かめ直したい人。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• L. V. Ahlfors, Complex Analysis (3rd ed.)
• E. M. Stein and R. Shakarchi, Complex Analysis
• J. B. Conway, Functions of One Complex Variable I
• 神保道夫『複素関数入門』

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜8: 複素数と複素平面
• 9〜18: 正則関数とコーシー・リーマンの関係式
• 19〜28: コーシーの積分定理と積分公式
• 29〜42: 正則関数の強力な性質
• 43〜58: 留数定理と定積分への応用
• 59〜67: 等角写像とリーマン写像定理
• 68〜75: 偏角の原理と Rouché の定理
• 76〜82: 最大値原理と正則関数族
• 83〜89: 調和関数と Poisson 積分
• 90〜97: 整関数とガンマ関数
• 98〜100: 多変数複素関数論

形式: 単一選択 34・複数選択 17・○× 11・数値 15・並べ替え 7・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 21 / 42 / 36 / 1。

この冊で使う定義・定理（145）

• 系 5.4 Hurwitz の定理の系 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 72 番
• 定義 2.1 有理型関数と位数 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 68 番
• 例 7.1 z⁵+3z+1 の零点の分布 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 71 番
• 補題 2.3 対数微分の留数 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 69 番
• 注意 5.5 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 72 番
• 定理 3.1 偏角の原理 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 68, 69, 70 番
• 定理 5.3 Hurwitz の定理 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 72, 73 番
• 定理 6.1 正則写像の局所構造 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 67, 74, 75 番
• 定理 6.2 開写像定理 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 67 番
• 定理 4.1 Rouché の定理 偏角の原理と Rouché の定理：零点を数える積分から開写像定理まで → 70, 71, 73, 75 番
• 系 3.3 1/z は穴あき平面上に原始関数をもたない コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 21, 26 番
• 定義 2.2 複素線積分 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 19 番
• 定義 4.1 単連結領域 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 21, 26 番
• 例 6.3 指数関数と単純極 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 23 番
• 例 6.4 特異点が 2 つある場合：部分分数分解 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 23 番
• 例 2.6 べき関数の円周上の積分 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 20, 22, 25 番
• 補題 2.4 ML 不等式 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 27, 28, 58 番
• 定理 4.3 コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形） コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 22, 26 番
• 定理 6.1 コーシーの積分公式 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 22, 23, 25, 27 番
• 定理 5.1 積分路の変形定理 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 25, 27, 28 番
• 定理 3.2 複素線積分に対する微積分の基本定理 コーシーの積分定理と積分公式：正則関数の値は周囲の積分だけで決まる → 19, 20, 21 番
• 定義 6.2 連結性と領域 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 6 番
• 定義 6.1 円板・開集合・閉集合 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 6 番
• 定義 4.3 偏角と極形式 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 1, 4, 5 番
• 例 5.2 極形式による冪乗計算 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 3 番
• 補題 4.1 指数法則 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 5 番
• 命題 3.2 共役と絶対値の基本法則 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 2, 5, 8 番
• 定理 5.1 ド・モアブルの定理 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 3 番
• 定理 2.2 複素数体の基本性質 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 7 番
• 定理 5.4 複素数の n 乗根 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 4, 7 番
• 定理 3.4 三角不等式 複素数と複素平面：虚数はなぜ必要になり、なぜ「回転」になるのか → 2, 8 番
• 定義 2.2 双正則写像・等角同値 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 62, 64, 67 番
• 定義 3.1 等角性 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 59 番
• 定義 4.5 交比 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 61 番
• 定義 4.1 一次分数変換（メビウス変換） 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 60, 62 番
• 定義 5.2 単連結領域 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 64 番
• 補題 5.1 シュワルツの補題 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 63, 65, 66, 76 番
• 命題 4.2 メビウス変換の基本性質 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 60 番
• 定理 5.3 単位円板の自己同型群 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 63, 66 番
• 定理 4.3 円円対応 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 60 番
• 定理 3.2 正則写像の局所的な角度 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 59 番
• 定理 6.1 リーマンの写像定理 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 64 番
• 定理 4.4 3 点の対応で決まる 等角写像とリーマン写像定理：正則関数が描く「角度を保つ地図」 → 61 番
• 系 5.4 sin の無限積 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 92 番
• 定義 4.1 素因子 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 94 番
• 定義 6.1 ガンマ関数 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 93, 97 番
• 例 6.8 Γ の特殊値と留数 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 90 番
• 例 5.5 ζ(2) と ζ(4) 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 92 番
• 補題 4.2 素因子の評価 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 94 番
• 命題 3.2 正則関数の無限積 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 94 番
• 定理 6.2 ガンマ関数の解析接続と関数等式 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 90, 91, 93, 95 番
• 定理 6.4 1/Γ の無限積 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 92 番
• 定理 6.5 相反公式 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 90, 92, 95, 96, 97 番
• 定理 7.4 ζ 関数の解析接続と関数等式 整関数とガンマ関数：Weierstrass の無限積から ζ 関数の関数等式まで → 96 番
• 系 3.3 調和関数の平均値の性質 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 88 番
• 系 5.4 下に有界な調和関数 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 85, 89 番
• 系 3.5 Dirichlet 問題の一意性 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 83 番
• 定義 3.1 調和関数 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 85, 89 番
• 定義 4.1 Poisson 核 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 84 番
• 例 6.4 Herglotz の表現の例 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 87 番
• 例 4.6 sin³θ の Poisson 積分 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 83 番
• 補題 4.2 Poisson 核の性質 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 84, 88 番
• 定理 4.4 円板の Dirichlet 問題 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 83 番
• 定理 5.3 Harnack の不等式 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 88, 89 番
• 定理 6.2 Herglotz の表現定理（円板） 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 84, 87 番
• 定理 3.4 調和関数の最大値原理 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 85 番
• 定理 5.1 平均値の性質をもつ連続関数は調和 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 85 番
• 定理 4.3 Poisson 積分公式 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 88 番
• 定理 7.2 Schwarz の鏡像原理（実軸） 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 86 番
• 定理 7.4 調和関数の鏡像原理 調和関数と Poisson 積分：円板の Dirichlet 問題から Harnack・Herglotz・鏡像原理へ → 86 番
• 系 5.3 C¹ 級による正則性の判定 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 12, 17 番
• 系 5.7 実部・虚部は調和関数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 10 番
• 系 5.2 点における必要十分条件 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 10 番
• 定義 3.1 複素微分可能性 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 13 番
• 定義 6.2 複素指数関数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 17 番
• 定義 3.2 正則関数・整関数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 9 番
• 定義 6.7 対数の主枝 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 15 番
• 定義 6.4 複素三角関数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 16 番
• 例 3.8 共役 z の写像はどの点でも複素微分不可能 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 9 番
• 例 5.9 実部が定数なら関数そのものが定数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 11 番
• 例 4.6 関係式を満たすが複素微分可能でない連続関数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 12, 13, 14 番
• 例 3.9 原点でだけ複素微分可能な関数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 12 番
• 例 6.6 複素の sin は有界でない 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 16 番
• 命題 5.8 導関数が消えれば定数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 11, 18, 36 番
• 命題 3.4 複素微分可能なら連続 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 12 番
• 命題 6.3 指数関数は整関数 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 9, 42 番
• 命題 6.5 三角関数の正則性と基本性質 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 16 番
• 注意 6.10 切断は取り除けない 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 15 番
• 定理 3.5 複素微分の演算法則 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 18, 42 番
• 定理 4.1 コーシー・リーマンの関係式（必要性） 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 11, 14, 18 番
• 定理 5.1 コーシー・リーマンの関係式（十分性） 正則関数とコーシー・リーマンの関係式：複素微分はなぜ強い条件なのか → 13, 14, 17 番
• 系 7.3 導関数の族の有界性 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 82 番
• 定義 7.1 正規族 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 82 番
• 例 8.6 一様有界性は外せない 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 81 番
• 例 5.5 三線定理の等号成立 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 78 番
• 補題 3.2 有限個の例外点を許す最大値原理 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 77 番
• 注意 3.3 有界性を外すと壊れる 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 77 番
• 注意 5.3 指数 π は最良 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 79 番
• 定理 3.1 境界値による最大値原理 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 77 番
• 定理 7.2 Montel の定理 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 80, 82 番
• 定理 5.1 Phragmén–Lindelöf の定理（帯領域） 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 79 番
• 定理 4.1 Schwarz–Pick の補題 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 76 番
• 定理 5.4 Hadamard の三線定理 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 78 番
• 定理 8.1 Vitali の定理 最大値原理の一般化と正則関数族：Phragmén–Lindelöf から Montel・Vitali まで → 80, 81 番
• 系 3.3 正則関数の無限回微分可能性 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 24, 30 番
• 系 5.3 収束半径と特異点の距離 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 30, 31 番
• 定義 5.1 解析的関数 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 40 番
• 定義 6.2 孤立特異点とその分類 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 32, 35, 39 番
• 定義 7.1 零点の位数 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 74 番
• 例 6.5 真性特異点の例：exp(1/z) 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 35 番
• 例 7.5 実軸上の等式が複素平面全体へ伝播する 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 34 番
• 例 6.4 同じ関数、3 通りのローラン展開 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 37 番
• 補題 7.2 零点の孤立性 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 33, 75 番
• 命題 4.1 コーシーの評価式 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 29, 36 番
• 命題 6.3 リーマンの除去可能特異点定理 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 35, 39 番
• 注意 7.6 集積点は領域の内部になければならない 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 33 番
• 注意 7.8 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 38 番
• 注意 3.4 実関数との落差 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 30 番
• 注意 5.5 無限回微分可能だが解析的でない実関数 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 30, 32 番
• 定理 3.2 コーシーの積分公式（導関数版） 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 24 番
• 定理 4.3 代数学の基本定理 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 41 番
• 定理 7.3 一致の定理 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 33, 34, 38, 80 番
• 定理 6.1 ローラン展開 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 37 番
• 定理 4.2 リューヴィルの定理 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 29, 36, 41, 42, 86 番
• 定理 7.7 最大値原理 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 38 番
• 定理 5.2 テイラー展開 正則関数の強力な性質：無限回微分可能性から一致の定理まで → 29, 31, 40 番
• 定義 3.2 主要部と特異点の三分類 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 45, 46 番
• 定義 8.2 コーシーの主値 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 51, 52, 55 番
• 定義 4.1 留数 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 43, 46, 54 番
• 例 3.6 特異点の分類の実例 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 45 番
• 例 8.4 ディリクレ積分 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 51 番
• 補題 6.1 大円弧の寄与が消える条件 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 48, 56, 57 番
• 補題 8.3 単純極まわりの小円弧（くぼみ補題） 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 51, 53, 54, 55, 56, 58 番
• 命題 3.4 極の特徴づけ 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 44, 45 番
• 命題 6.2 有理関数の広義積分 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 47, 50 番
• 命題 4.2 極における留数の計算法 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 43, 44, 47, 48, 49, 50, 53, 55, 57, 91 番
• 命題 7.1 a + b cosθ 型の積分 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 49 番
• 定理 5.1 留数定理 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 44, 47, 48, 49, 50, 55, 56, 57, 58 番
• 定理 3.3 リーマンの除去可能特異点定理 留数定理と定積分への応用：孤立特異点の分類から実積分・鍵穴輪郭・級数の和まで → 46, 67 番
• 定義 4.1 管状領域 多変数複素関数論：多重円板の Cauchy 公式から Hartogs の定理・Bochner の管定理まで → 100 番
• 演習 5.2 多変数複素関数論：多重円板の Cauchy 公式から Hartogs の定理・Bochner の管定理まで → 100 番
• 定理 4.2 Bochner の管定理 多変数複素関数論：多重円板の Cauchy 公式から Hartogs の定理・Bochner の管定理まで → 98, 100 番
• 定理 2.2 多重円板の Cauchy 積分公式 多変数複素関数論：多重円板の Cauchy 公式から Hartogs の定理・Bochner の管定理まで → 98, 99 番
• 定理 3.1 Hartogs の定理（変数ごとの正則性） 多変数複素関数論：多重円板の Cauchy 公式から Hartogs の定理・Bochner の管定理まで → 98 番
• 定理 2.3 べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題） 多変数複素関数論：多重円板の Cauchy 公式から Hartogs の定理・Bochner の管定理まで → 98, 99 番