多変数複素関数論：多重円板の Cauchy 公式から Hartogs の定理・Bochner の管定理まで

0. この記事の要点

この記事は、複素数を 1 個ではなく何個も変数にもつ関数（多変数の複素関数）を扱います。1 変数では「定義域のすぐ外では関数がどうなってもよい」のに対し、変数が 2 個以上になると、関数が定義された範囲より広い範囲へ自動的に延びてしまうことがあります。読み終えると、各変数について別々に正則であれば全体として正則になること（Hartogs の定理）と、関数が延びる範囲が底の凸包で決まること（Bochner の管定理）の二つの証明が追えるようになります。

• $\mathbb{C}^n$ の開集合上の関数が正則であるとは、連続で、各変数について（他の変数を止めて）正則であることとします。多重円板では 1 変数の Cauchy 積分公式を変数ごとに重ねた公式が成り立ち、そこからべき級数展開と Cauchy 評価が出ます（Osgood の補題）。1 変数の基本定理（一致の定理、一様収束極限の正則性、最大値原理の使い方）は、ほぼそのまま多変数に移ります。
• Hartogs の定理：連続性の仮定は不要です。各変数について正則な関数は、自動的に連続で正則です。証明には Baire のカテゴリー定理と、劣調和関数（$\log|g|$ のように、平均が中心の値以上になる関数）の上からの評価（Hartogs の補題）を使います。
• 1 変数と決定的に違うのは、関数が定義域より広い範囲に自動的に延びることがある点です。その代表が Bochner の管定理で、$\operatorname{Im}z$ が連結開集合 $\omega\subseteq\mathbb{R}^n$ に入る管状領域 $T_\omega$ 上の正則関数は、凸包 $\operatorname{ch}\omega$ 上の管状領域 $T_{\operatorname{ch}\omega}$ まで正則に延長されます。
• Bochner の定理の証明の核心は、境界が既知の範囲にある解析的円板の族を少しずつ押し出していく方法（連続性の方法）です。円板の上では 1 変数の最大値原理が使えるので、内部の微分係数が境界での値で押さえられます。

この記事で使う事前知識

• 正則関数: 複素数の変数について複素微分できる関数。→ 正則関数
• 局所一様収束: 各点の近くで一様に収束するという収束の仕方。→ 局所一様収束
• コンパクト: どんな開被覆からも有限個を選んで覆える、という性質。→ コンパクト
• Baire のカテゴリー定理: 完備距離空間は、内点をもたない閉集合の可算個の和にはならない、という定理。→ 距離空間
• 凸集合: 集合の任意の 2 点を結ぶ線分がその集合に含まれる、という性質。
• Poisson 核: 円板上の調和関数を境界の値から再現する積分の核。→ Poisson 核

1. 動機

場の量子論の Wightman 関数や、統計力学のクラスター展開で現れる関数は、多数の複素変数の関数です。それらの解析性を示すとき、次の二つの問題が繰り返し現れます。

1. 各変数について別々に正則であることはわかるが、まとめて正則か。たとえば $f(z_1,z_2)$ が、$z_2$ を止めるたびに $z_1$ について正則で、$z_1$ を止めるたびに $z_2$ について正則なとき、$f$ は 2 変数のべき級数で書けるか。実変数では、$xy/(x^2+y^2)$ のように各変数で滑らかでも原点で不連続な関数があるので、自明ではありません。答えは「書ける」で、これが Hartogs の定理です。
2. 物理的な議論から得られる解析性の領域は、たとえば「前方管」と「後方管」（どちらも §4 で定める管状領域の例です）のように、いくつかの管状領域の和集合です。そこで正則な関数は、どこまで延びるか。Bochner の管定理は、管状領域では答えが「底の凸包まで」であると述べます。edge-of-the-wedge の定理（§4 の注意で説明します）や Bargmann–Hall–Wightman の定理は、この種の自動延長の精密化です。

記号を決めます。$z=(z_1,\dots,z_n)\in\mathbb{C}^n$、$|z|_\infty=\max_j|z_j|$ とし、中心 $a$、半径 $r=(r_1,\dots,r_n)$（$r_j>0$）の多重円板を

$$P(a,r)=\{z: |z_j-a_j|<r_j\ (j=1,\dots,n)\},\qquad \partial_0P(a,r)=\{z: |z_j-a_j|=r_j\ (j=1,\dots,n)\}$$

と書きます。$\partial_0P$ は特異境界（トーラス）で、位相的な境界よりずっと小さい集合です。半径がすべて $r$ のときは $P(a,r)$ と書きます。多重指数（非負整数の組）$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ について $z^\alpha=\prod z_j^{\alpha_j}$、$\alpha!=\prod\alpha_j!$、$|\alpha|=\sum\alpha_j$、$\partial^\alpha=\prod\partial_{z_j}^{\alpha_j}$ とします。

2 変数の多重円板 P は二つの円板の直積。特異境界 ∂₀P は二つの円周の直積（トーラス）で、P の位相的な境界（一方だけが円周の点も含む）より小さい

2. 多重円板の Cauchy 積分公式

定義 2.1（多変数の正則関数）↗

$\Omega\subseteq\mathbb{C}^n$ を開集合とする。$f:\Omega\to\mathbb{C}$ が変数ごとに正則であるとは、各 $j$ と各点 $a\in\Omega$ について、1 変数関数 $\zeta\mapsto f(a_1,\dots,a_{j-1},\zeta,a_{j+1},\dots,a_n)$ が $a_j$ の近傍で正則であることをいう。連続かつ変数ごとに正則な関数を正則という。

定理 2.2（多重円板の Cauchy 積分公式）✓

$f$ を開集合 $\Omega$ 上の正則関数とし、閉多重円板 $\overline{P(a,r)}\subseteq\Omega$ とする。このとき $z\in P(a,r)$ について

$$f(z)=\frac{1}{(2\pi i)^n}\int_{|\zeta_1-a_1|=r_1}\!\!\cdots\int_{|\zeta_n-a_n|=r_n}\frac{f(\zeta_1,\dots,\zeta_n)}{(\zeta_1-z_1)\cdots(\zeta_n-z_n)}\,d\zeta_n\cdots d\zeta_1 .$$

証明（定理 2.2）

$n$ についての帰納法です。$n=1$ は 1 変数の Cauchy 積分公式（定理 6.1［コーシーの積分定理と積分公式］）です。$z_1$ について Cauchy の積分公式を使うと $f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta_1-a_1|=r_1}\frac{f(\zeta_1,z_2,\dots,z_n)}{\zeta_1-z_1}d\zeta_1$ です。各 $\zeta_1$ について $(z_2,\dots,z_n)\mapsto f(\zeta_1,z_2,\dots,z_n)$ は $n-1$ 変数の正則関数なので、帰納法の仮定で $n-1$ 重の積分に書けます。それを代入すれば主張の式です。被積分関数は特異境界（コンパクト）上で連続なので、積分はすべて意味をもちます。

∎

定理 2.3（べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題））✓

$f$ を $\Omega$ 上の正則関数、$\overline{P(a,r)}\subseteq\Omega$、$M=\max_{\partial_0P(a,r)}|f|$ とする。このとき

$$f(z)=\sum_{\alpha}c_\alpha(z-a)^\alpha,\qquad c_\alpha=\frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!},\qquad |c_\alpha|\le\frac{M}{r^\alpha}$$

が成り立つ。級数は $P(a,r)$ の各コンパクト部分集合上で絶対かつ一様に収束する。とくに $f$ の偏導関数はすべて存在して正則である。

証明（定理 2.3）

$0<q<1$ とし、$|z_j-a_j|\le qr_j$ とします。特異境界上の $\zeta$ について

$$\frac{1}{\prod_j(\zeta_j-z_j)}=\prod_{j=1}^n\sum_{k=0}^\infty\frac{(z_j-a_j)^k}{(\zeta_j-a_j)^{k+1}}=\sum_\alpha\frac{(z-a)^\alpha}{\prod_j(\zeta_j-a_j)^{\alpha_j+1}}$$

で、各項の絶対値は $q^{|\alpha|}/r^{\alpha}\cdot\prod_j r_j^{-1}$ 以下です。$\sum_\alpha q^{|\alpha|}=(1-q)^{-n}<\infty$ なので級数は $\zeta$ について一様収束し、定理 2.2 の積分と項別に交換できます。こうして $f(z)=\sum c_\alpha(z-a)^\alpha$、

$$c_\alpha=\frac{1}{(2\pi i)^n}\int_{\partial_0P(a,r)}\frac{f(\zeta)}{\prod_j(\zeta_j-a_j)^{\alpha_j+1}}\,d\zeta,$$

$|c_\alpha|\le M/r^\alpha$ を得ます（積分路の長さ $\prod2\pi r_j$ と被積分関数の上界の積）。$|z_j-a_j|\le qr_j$ では $|c_\alpha(z-a)^\alpha|\le Mq^{|\alpha|}$ なので、級数は絶対一様収束します。

他の変数を止めると、これは $z_j$ の 1 変数べき級数なので、項別に微分できます（定理 5.2［正則関数の強力な性質］）。項別微分した級数も同じ評価で一様収束するので、$\partial_jf$ は連続で変数ごとに正則、すなわち正則です。これを繰り返し、$z=a$ を代入すれば $\partial^\alpha f(a)=\alpha!\,c_\alpha$ です。

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正則性の定義に「連続」を入れたのはこの定理のためで、連続性を仮定せずに同じ結論が出るというのが §3 の Hartogs の定理です。べき級数展開から、1 変数の基本的な性質がいくつか移ります。

命題 2.4（多変数正則関数の基本性質）✓

$\Omega\subseteq\mathbb{C}^n$ を開集合とする。

1. （一致の定理）$\Omega$ が連結で、正則関数 $F$ が空でない開集合上で $0$ ならば、$\Omega$ 全体で $F=0$ である。
2. （一様収束極限）正則関数の列が $\Omega$ 上で局所一様収束すれば、極限は正則である。
3. （円板との合成）$F$ が $\Omega$ 上で正則、$D\subseteq\mathbb{C}$ が開集合、$\Phi=(\Phi_1,\dots,\Phi_n):D\to\Omega$ の各成分が正則ならば、$F\circ\Phi$ は $D$ 上で正則で、$(F\circ\Phi)'=\sum_j(\partial_jF\circ\Phi)\Phi_j'$ である。

証明（命題 2.4）

1. $S=\{z\in\Omega: \text{すべての }\alpha\text{ で }\partial^\alpha F(z)=0\}$ とおきます。各 $\partial^\alpha F$ は連続なので $S$ は閉集合です。$z\in S$ なら $z$ を中心とする多重円板で $F$ のべき級数の係数がすべて $0$ なので $F=0$、よってその多重円板は $S$ に含まれ、$S$ は開集合です。仮定から $S\ne\emptyset$ で、$\Omega$ は連結なので $S=\Omega$ です。

2. 極限は連続で、各変数については 1 変数の Weierstrass の定理（定理 5.2［偏角の原理と Rouché の定理］）により正則です。

3. $z\in\Omega$ のまわりの多重円板 $P(z,2s)\subseteq\Omega$ を取り、定理 2.3 を使うと、$|w|_\infty<s$ で $F(z+w)=F(z)+\sum_j\partial_jF(z)w_j+R(w)$、$|R(w)|\le\sum_{|\alpha|\ge2}M(2s)^{-|\alpha|}|w|_\infty^{|\alpha|}\le C|w|_\infty^2$ です。$w=\Phi(\zeta+h)-\Phi(\zeta)$ とおいて $h$ で割り、$h\to0$ とすれば主張の微分の式が出ます。

∎

3. Hartogs の定理

この節の目標は、連続性の仮定を外すことです。

定理 3.1（Hartogs の定理（変数ごとの正則性））✓

$\Omega\subseteq\mathbb{C}^n$ を開集合とする。変数ごとに正則な関数 $f:\Omega\to\mathbb{C}$ は連続であり、したがって正則である。

証明は三つの補題に分けます。全体の流れは次のとおりです。まず Baire の議論で、関数が有界になる小さな多重円板を見つけます。その上では連続性が出るので、一つの変数 $z_n$ についてべき級数に展開できます。最後に、展開の係数を Hartogs の補題で一様に評価して、その小さな多重円板から原点の近傍まで正則性を広げます。第一の補題は、有界性があれば連続性が出ることを述べます。

補題 3.2（有界なら連続）✓

$f$ が多重円板 $P(a,r)$ 上で変数ごとに正則で、$|f|\le M$ ならば、$f$ は $P(a,r)$ 上で連続である。

証明（補題 3.2）

$0<q<1$ とし、$Q=P(a,qr)$ とおきます。$z,w\in Q$ について、座標を 1 つずつ $z_j$ から $w_j$ に取り替えた点の列 $z=p^{(0)},p^{(1)},\dots,p^{(n)}=w$ を考えます（$p^{(j)}$ は最初の $j$ 個の座標が $w$、残りが $z$）。$p^{(j-1)}$ と $p^{(j)}$ は第 $j$ 座標だけが違い、その座標の関数 $g(\zeta)$ は円板 $D(a_j,r_j)$ 上で正則で $|g|\le M$ です。$|\zeta-a_j|\le qr_j$ なら $\overline{D}(\zeta,(1-q)r_j)\subseteq D(a_j,r_j)$ なので、Cauchy の評価式（命題 4.1［正則関数の強力な性質］）から $|g'(\zeta)|\le M/((1-q)r_j)$ です。線分に沿って積分すると（定理 3.2［コーシーの積分定理と積分公式］）

$$|f(p^{(j)})-f(p^{(j-1)})|\le\frac{M}{(1-q)r_j}|w_j-z_j|,$$

足し合わせて $|f(w)-f(z)|\le\frac{M}{(1-q)\min_jr_j}\sum_j|w_j-z_j|$ です。$q$ は任意なので、$f$ は $P(a,r)$ 上で連続です。

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第二の補題は、$\log|g|$ の平均値不等式です。$\mathbb{C}^m=\mathbb{R}^{2m}$ のルベーグ測度を $dV$ と書き、$V_m(\rho)=(\pi\rho^2)^m$ を $P(z,\rho)$ の体積とします。この補題は、$\log|g|$ が劣調和関数の性質（中心の値が周りの平均以下）をもつことを示すもので、次の Hartogs の補題で「各点での評価を、近くの点の評価に移す」ために使います。

補題 3.3（log|g| の平均値不等式）✓

$g$ を $\overline{P(z,\rho)}\subseteq\mathbb{C}^m$ の近傍で正則な関数とする。このとき

$$\log|g(z)|\le\frac{1}{V_m(\rho)}\int_{P(z,\rho)}\log|g|\,dV$$

（右辺は $[-\infty,\infty)$ の値）が成り立つ。

証明（補題 3.3）

1 変数・円周平均。 $m=1$、$z=a$ とし、$g$ は $\overline{D}(a,r)$ の近傍で正則、$g(a)\ne0$、円周 $|\zeta-a|=r$ 上に零点がないとします（$g(a)=0$ なら左辺 $-\infty$ で自明）。零点は孤立する（補題 7.2［正則関数の強力な性質］）ので $D(a,r)$ 内の零点は重複込みで有限個 $b_1,\dots,b_k$ です。$g(\zeta)=g_0(\zeta)\prod_l(\zeta-b_l)$ と書くと、$g_0$ は除去可能特異点定理（命題 6.3［正則関数の強力な性質］）により $\overline{D}(a,r)$ の近傍で正則で零点をもちません。$\log|g_0|$ は各点の近くで $\operatorname{Re}\operatorname{Log}(g_0/g_0(p))+\log|g_0(p)|$ と書けるので調和で（定理 6.9［正則関数とコーシー・リーマンの関係式］）、平均値の性質（系 3.3［調和関数と Poisson 積分］）から $\log|g_0(a)|$ は円周平均に等しいです。各因子については、$c=(b_l-a)/r$（$|c|<1$）とおくと

$$\log|a+re^{i\theta}-b_l|=\log r+\log|1-ce^{-i\theta}|,$$

で、$\xi\mapsto\log|1-\bar c\xi|=\operatorname{Re}\operatorname{Log}(1-\bar c\xi)$ は $|\xi|\le1$ の近傍で調和（$\operatorname{Re}(1-\bar c\xi)>0$）なので、その円周平均は中心の値 $0$ です。よって因子の円周平均は $\log r\ge\log|a-b_l|$ です。足し合わせて $\log|g(a)|\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|g(a+re^{i\theta})|d\theta$ です。

1 変数・面積平均。 $\overline{D}(a,\rho)$ 内の零点は有限個なので、有限個の $r$ を除いて円周平均の不等式が成り立ちます。両辺に $2\pi r$ を掛けて $0<r<\rho$ で積分し、極座標で書き直すと $m=1$ の主張です（$\log|g|$ は上に有界なので、積分は $[-\infty,\infty)$ に値をもちます）。

多変数。 $m$ についての帰納法です。$z=(z_1,z')$ と書きます。1 変数の場合を $w_1\mapsto g(w_1,z')$ に、帰納法の仮定を各 $w_1$ について $w'\mapsto g(w_1,w')$ に使うと

$$\log|g(z)|\le\frac{1}{\pi\rho^2}\int_{D(z_1,\rho)}\log|g(w_1,z')|\,dA(w_1)\le\frac{1}{\pi\rho^2}\int_{D(z_1,\rho)}\frac{1}{V_{m-1}(\rho)}\int_{P(z',\rho)}\log|g(w_1,w')|\,dV(w')\,dA(w_1).$$

上界 $C$ をもつ $\log|g|$ について $C-\log|g|\ge0$ に Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）を使えば、右辺は $P(z,\rho)$ 上の積分の平均に等しいです。

∎

第三の補題が、Hartogs の議論の心臓部です。各点ごとの上からの評価を、コンパクト集合上で一様な評価に格上げします。$u_k=\frac1k\log|a_k|$ と置くのは、$|a_k|^{1/k}$ のように $k$ 乗根を取る形（べき級数の収束半径を決める量）の対数を扱いやすくするためです。

補題 3.4（Hartogs の補題）✓

$P\subseteq\mathbb{C}^m$ を多重円板、$a_k$（$k=1,2,\dots$）を $P$ 上の正則関数とし、$u_k=\frac1k\log|a_k|$ とおく。ある $M$ について $P$ 上 $u_k\le M$（すべての $k$）、ある実数 $C$ について各 $z\in P$ で $\limsup_ku_k(z)\le C$ とする。このとき任意のコンパクト集合 $K\subseteq P$ と $\varepsilon>0$ に対し、$k_0$ が存在して $k\ge k_0$ なら $K$ 上で $u_k\le C+\varepsilon$ である。

証明（補題 3.4）

$M\ge C$ としてよいです。$z_0\in K$ を固定し、$\overline{P(z_0,2s)}\subseteq P$ となる $s>0$ を取ります。$M-u_k\ge0$ に Fatou の補題（補題 6.1［ルベーグ積分の定義と収束定理］）を使うと

$$\limsup_k\int_{P(z_0,s)}u_k\,dV\le\int_{P(z_0,s)}\limsup_ku_k\,dV\le C\,V_m(s)$$

なので、ある $k_1$ 以降で $\int_{P(z_0,s)}u_k\,dV\le(C+\varepsilon/2)V_m(s)$ です。$0<\eta\le s/2$ と $|z-z_0|_\infty<\eta$ について $P(z_0,s)\subseteq P(z,s+\eta)$ かつ $\overline{P(z,s+\eta)}\subseteq P(z_0,s+2\eta)\subseteq\overline{P(z_0,2s)}$ なので、補題 3.3 から

$$u_k(z)\le\frac{1}{V_m(s+\eta)}\Bigl[\int_{P(z_0,s)}u_k\,dV+M\bigl(V_m(s+\eta)-V_m(s)\bigr)\Bigr]\le\theta\Bigl(C+\frac\varepsilon2\Bigr)+(1-\theta)M,$$

ここで $\theta=V_m(s)/V_m(s+\eta)$ です。$\eta\to0$ で $\theta\to1$ なので、$\eta$ を十分小さく取れば右辺は $C+\varepsilon$ 以下です。したがって $z_0$ の近傍 $P(z_0,\eta)$ 上で、$k\ge k_1$ について $u_k\le C+\varepsilon$ です。$K$ はこのような近傍の有限個で覆われるので、主張が従います。

∎

証明（定理 3.1）

$n$ についての帰納法です。$n=1$ では主張は定義そのものです。$n\ge2$ とし、$n-1$ 変数では正しいとします。連続性は局所的な性質なので、$\overline{P(0,R)}\subseteq\Omega$ として、$f$ が原点の近傍で正則であることを示せば十分です（平行移動で一般の点に移せます）。$z=(z',z_n)$ と書き、$\mathbb{C}^{n-1}$ の多重円板を $P'(0,s)$ と書きます。$r=R/3$ とします。帰納法の仮定により、各 $z_n\in D(0,R)$ について $z'\mapsto f(z',z_n)$ は $P'(0,R)$ で正則、とくに連続です。

第 1 段：Baire の議論で有界な小多重円板を見つける。 $M\in\mathbb{N}$ について

$$E_M=\{z_n\in\overline{D}(0,r): |f(z',z_n)|\le M\ \ (\text{すべての }z'\in\overline{P'(0,r)})\}$$

とおきます。$z_n\mapsto f(z',z_n)$ は連続なので $E_M$ は閉集合の共通部分として閉で、$z'\mapsto f(z',z_n)$ はコンパクト集合 $\overline{P'(0,r)}$ 上で有界なので $\bigcup_ME_M=\overline{D}(0,r)$ です。完備距離空間 $\overline{D}(0,r)$ は内点をもたない閉集合の可算和にはならない（系 5.2［距離空間］）ので、ある $E_M$ が内点をもち、開円板 $D(c,\rho)\subseteq E_M$（$|c|+\rho<r$）が取れます。$f$ は $P'(0,r)\times D(c,\rho)$ 上で変数ごとに正則で $|f|\le M$ なので、補題 3.2 により正則です。

第 2 段：$z_n$ についての展開係数。 定理 2.3 の議論を $z_n$ だけについて行うと、$P'(0,r)\times D(c,\rho)$ 上で

$$f(z',z_n)=\sum_{k=0}^\infty a_k(z')(z_n-c)^k,\qquad a_k(z')=\frac{1}{k!}\partial_{z_n}^kf(z',c)$$

で、$a_k$ は $P'(0,r)$ 上正則（定理 2.3 により偏導関数は正則）、Cauchy の評価式から $|a_k(z')|\le M\rho^{-k}$ です。一方、各 $z'$ について $f(z',\cdot)$ は $D(0,R)\supseteq D(c,R_1)$（$R_1=R-|c|$）で正則なので、1 変数のテイラー展開（定理 5.2［正則関数の強力な性質］）は $D(c,R_1)$ で収束し、その係数は同じ $a_k(z')$ です。よって $\limsup_k|a_k(z')|^{1/k}\le1/R_1$ です。

第 3 段：Hartogs の補題。 $u_k=\frac1k\log|a_k|$ は $u_k\le\log^{+}M+\log(1/\rho)$ を満たし、各点で $\limsup u_k\le-\log R_1$ です。補題 3.4 により、コンパクト集合 $K\subseteq P'(0,r)$ と $\varepsilon>0$ に対し、十分大きな $k$ で $K$ 上 $|a_k|\le(e^{\varepsilon}/R_1)^k$ です。したがって $\sum_ka_k(z')(z_n-c)^k$ は $K\times\overline{D}(c,e^{-2\varepsilon}R_1)$ 上で一様収束します。各項は正則なので、命題 2.4 の 2 により和は正則で、各 $z'$ で 1 変数のテイラー展開として $f(z',z_n)$ に等しいです。$K,\varepsilon$ は任意なので、$f$ は $P'(0,r)\times D(c,R_1)$ 上で正則です。$|c|<r=R/3$ より $R_1>2R/3>|c|$ なので、この集合は原点を含む開集合です。

∎

注意 3.5

実変数では対応する主張は成り立ちません。$h(x,y)=xy/(x^2+y^2)$（$h(0,0)=0$）は各変数について実解析的ですが、原点で連続ではありません。複素正則性は 1 変数のときから「Cauchy 評価による局所的な有界性の制御」を伴っていて、それを Baire の議論で全変数に広げたのが Hartogs の定理です。

4. 管状領域と Bochner の管定理

定義 4.1（管状領域）↗

開集合 $\omega\subseteq\mathbb{R}^n$ に対し、$T_\omega=\{z\in\mathbb{C}^n: \operatorname{Im}z\in\omega\}=\mathbb{R}^n+i\omega$ を、$\omega$ を底とする管状領域という。

上半平面は $n=1$、$\omega=(0,\infty)$ の管状領域です。場の量子論の前方管は、$\omega$ を前方光錐 $V_+=\{y\in\mathbb{R}^4: y^0>|\boldsymbol{y}|\}$ に取ったものです。実アフィン変換 $y\mapsto Ay+b$（$A$ は実正則行列）に対し、$z\mapsto Az+ib$ は $T_\omega$ を $T_{A\omega+b}$ に写す双正則写像です。これを使って、底の座標を自由に取り替えます。

定理 4.2（Bochner の管定理）✓

$\omega\subseteq\mathbb{R}^n$ を連結な開集合、$\operatorname{ch}\omega$ をその凸包とする。$T_\omega$ 上の正則関数 $f$ に対し、$T_{\operatorname{ch}\omega}$ 上の正則関数 $F$ で $T_\omega$ 上 $F=f$ となるものがただ一つ存在する。

凸包より先へは一般には延びません（演習 5.2）。1 変数では、どんな領域にもそこから先へ延びない正則関数があるので（たとえば境界点 $p$ に対する $1/(z-p)$）、この種の自動延長は多変数に特有の現象です。

証明の中心は次の補題です。底の座標を $y=(y_1,y_2,y'')$（$y''\in\mathbb{R}^{n-2}$）と書き、$0<\varepsilon<1/4$ について

$$\begin{aligned} U_1&=\{-\varepsilon<y_1<1+\varepsilon,\ |y_2|<\varepsilon,\ |y''|_\infty<\varepsilon\},\qquad U_2=\{|y_1|<\varepsilon,\ -\varepsilon<y_2<1+\varepsilon,\ |y''|_\infty<\varepsilon\},\\ \Delta_t&=\{y_1>0,\ y_2>0,\ y_1+y_2<t,\ |y''|_\infty<\varepsilon/4\}\qquad(0<t\le1) \end{aligned}$$

とおきます。$U=U_1\cup U_2$ は二つの線分 $[0,e_1]$、$[0,e_2]$ の近傍（L 字形）で、$\Delta_1$ はそれが張る三角形の厚みをもたせたものです。

L 字形の底 U（灰色）から三角形 Δ_t へ延長を押し出す。点線は解析的円板の底への像：境界は L 上、内部は三角形の中

延長は、境界の像が L 字の上にある解析的円板の上で最大値原理を使って行います。直感的には、三角形の内部の一点に、L 字の上に境界をもつ円板をひっかけておけば、その点での微分係数が円板の境界（すでに関数が分かっている L 字の上）の値で押さえられる、ということです。まずその円板を作ります。以下 $D$ は単位円板です。

補題 4.3（L 字に境界をもつ解析的円板）✓

$0<\delta\le\pi/6$ とする。$\overline{D}$ 上連続で $D$ 上正則な $h=(h_1,h_2):\overline{D}\to\mathbb{C}^2$ で、$u=\operatorname{Im}h=(u_1,u_2)$ が次を満たすものが存在する。

1. $|\zeta|=1$ なら $u(\zeta)\in L:=([0,1]\times\{0\})\cup(\{0\}\times[0,1])$。
2. $\zeta\in D$ なら $u_1(\zeta)>0$、$u_2(\zeta)>0$、$u_1(\zeta)+u_2(\zeta)<1$。
3. 任意の $\kappa>0$ に対し、虚軸上の点 $\zeta\in D$ で $u_2(\zeta)/u_1(\zeta)=\kappa$ かつ $u_1(\zeta)+u_2(\zeta)\ge1-2\delta$ となるものがある。

証明（補題 4.3）

$[0,\pi]$ 上で $\psi(\theta)=\min(1,\theta/\delta,(\pi-\theta)/\delta)$ とし、周期 $2\pi$ の関数を $\varphi_1=\psi$（$[0,\pi]$ 上）、$\varphi_1=0$（$[\pi,2\pi]$ 上）、$\varphi_2(\theta)=\varphi_1(\theta-\pi)$ で定めます。どちらも連続な折れ線関数です。

Fourier 係数。 $\varphi=\varphi_j$ の係数 $c_k=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\varphi(\theta)e^{-ik\theta}d\theta$ は、$k\ne0$ なら部分積分（$\varphi$ は連続）で $c_k=\frac{1}{ik}\cdot\frac1{2\pi}\int\varphi'(\theta)e^{-ik\theta}d\theta$ で、$\varphi'$ は有限個の区間で定数なので各区間の積分は $2/|k|$ 以下です。よって $|c_k|\le C/k^2$ で、$\sum_k|c_k|<\infty$ です。$\varphi$ は実数値なので $c_{-k}=\overline{c_k}$ です。

正則関数の構成。 $H_j(\zeta)=c_0+2\sum_{k\ge1}c_k\zeta^k$ は $\overline{D}$ 上で絶対一様収束するので、$\overline{D}$ 上連続、$D$ 上正則です。$\zeta=re^{i\phi}$ で $\operatorname{Re}H_j=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_kr^{|k|}e^{ik\phi}$ で、$r=1$ ではこれは $\varphi_j(\phi)$ に等しく（補題 7.2［整関数とガンマ関数］）、$r<1$ では Poisson 核の級数表示（補題 4.2［調和関数と Poisson 積分］ の 1）を項別に積分して

$$\operatorname{Re}H_j(re^{i\phi})=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r(\phi-\theta)\varphi_j(\theta)\,d\theta$$

です。$h_j=iH_j$ とおけば $u_j=\operatorname{Re}H_j$ です。

1. 円周上 $u=(\varphi_1,\varphi_2)$ は、$\theta\in[0,\pi]$ で $(\psi(\theta),0)$、$\theta\in[\pi,2\pi]$ で $(0,\psi(\theta-\pi))$ です。

2. $P_r>0$ で $\varphi_j\ge0$、$\varphi_j\not\equiv0$ なので $u_j>0$ です。$\chi=1-\varphi_1-\varphi_2\ge0$ も $\chi(0)=1$ なので恒等的に $0$ ではなく、$\frac1{2\pi}\int P_r=1$ から $1-u_1-u_2=\frac1{2\pi}\int P_r(\phi-\theta)\chi(\theta)d\theta>0$ です。

3. $\chi$ は $\theta=0,\pi$ の幅 $\delta$ の近傍（長さ合計 $4\delta$）の外で $0$、値は $1$ 以下です。$\zeta=\pm i\rho$（$\phi=\pm\pi/2$）では、そこでの $|\phi-\theta|\ge\pi/2-\delta\ge\pi/3$ なので、補題 4.2［調和関数と Poisson 積分］ の 3（$r\le1/2$ のとき $P_r\le3$）と 4（$r\ge1/2$ のとき $P_r\le4(1-r)\le2$）から $P_r\le3$ です。よって $1-u_1-u_2\le\frac{3\cdot4\delta}{2\pi}<2\delta$ です。比 $u_2/u_1$ は、$\zeta=0$ で $1$（$u_j(0)=c_0$ はどちらも $\varphi_1$ の平均）、$\zeta=i\rho$、$\rho\uparrow1$ で $u(i)=(\varphi_1(\pi/2),\varphi_2(\pi/2))=(1,0)$ に近づくので $0$ に近づきます。連続性と中間値の定理から $(0,1]$ のすべての値を虚軸の上半分でとり、同様に $\zeta=-i\rho$ で $[1,\infty)$ のすべての値をとります。

∎

次の補題の証明の方針です。延長できる三角形の大きさ $t$ の上限 $t^{*}$ を考え、$t^{*}<1$ なら矛盾することを示します。そのために、上の解析的円板と最大値原理で $F$ の偏導関数を評価し（第 1 段）、評価ができた分だけテイラー級数で少し先まで延ばして $t^{*}$ が上限であることに反します（第 2 段）。

補題 4.4（三角形への延長）✓

$f$ を $T_U$ 上の正則関数とする。このとき $T_{U\cup\Delta_1}$ 上の正則関数 $F$ で、$T_U$ 上 $F=f$ となるものが存在する。

証明（補題 4.4）

$V_t=U\cup\Delta_t$ とおきます。$U_1,U_2,\Delta_t$ はどれも凸で、$U_1\cap U_2\ni0$、$\Delta_t\cap U_1\ne\emptyset$ なので $V_t$ は連結で、$T_{V_t}=\mathbb{R}^n+iV_t$ も連結です。$\rho=\varepsilon/2$、$\delta=\rho/16$ とし、補題 4.3 の $h$ を固定します。

$t^{*}$ を、「$T_{V_t}$ 上の正則関数 $F_t$ で $T_U$ 上 $F_t=f$ となるものが存在する」ような $t\in(0,1]$ の上限とします。$t\le\varepsilon$ なら $\Delta_t\subseteq U_1$ なので $F_t=f$ でよく、$t^{*}\ge\varepsilon$ です。$F_t$ は一致の定理（命題 2.4 の 1）から一意で、$s<t$ なら $T_{V_s}$ 上 $F_s=F_t$ です。$\Delta_{t^{*}}=\bigcup_{t<t^{*}}\Delta_t$ なので、これらを貼り合わせて $F=F_{t^{*}}$ が $T_{V_{t^{*}}}$ 上に得られます。$t^{*}<1$ と仮定して矛盾を導きます。

第 1 段：微分係数の評価。 $z\in T_{\Delta_{t^{*}}}$ で、$y=\operatorname{Im}z$ が $\ell:=y_1+y_2\le t^{*}(1-2\delta)$ を満たすものを良い点と呼びます。良い点 $z$ について、ある $M_z$ で

$$|\partial^\alpha F(z)|\le\alpha!\,M_z\,\rho^{-|\alpha|}\qquad(\text{すべての }\alpha)$$

を示します。補題 4.3 の 3 で $\kappa=y_2/y_1$ に対する $\zeta_0$ を取り、$s_0=u_1(\zeta_0)+u_2(\zeta_0)\ge1-2\delta$、$\lambda=\ell/s_0\le t^{*}$ とします。$u(\zeta_0)$ は $(y_1,y_2)$ と同じ向きで和が $s_0$ なので、$\lambda u(\zeta_0)=(y_1,y_2)$ です。

$$\Phi(\zeta)=z+\lambda\bigl(h_1(\zeta)-h_1(\zeta_0),\ h_2(\zeta)-h_2(\zeta_0),\ 0,\dots,0\bigr)$$

とおくと、$\Phi(\zeta_0)=z$、$\operatorname{Im}\Phi(\zeta)=(\lambda u(\zeta),y'')$ です。補題 4.3 の 2 から $\zeta\in D$ では $\operatorname{Im}\Phi(\zeta)\in\Delta_{t^{*}}$、1 から $|\zeta|=1$ では $\operatorname{Im}\Phi(\zeta)\in\lambda L\times\{y''\}$ です。後者の点 $w$ について、閉多重円板 $\overline{P(w,\rho)}$ の点の虚部は $y_1\in[-\rho,1+\rho]$、$|y_2|\le\rho$ のような範囲（$e_2$ の側も同様）に入り、$|y''|_\infty\le\varepsilon/4+\rho<\varepsilon$ なので $\overline{P(w,\rho)}\subseteq T_U$ です。$K=\bigcup_{|\zeta|=1}\overline{P(\Phi(\zeta),\rho)}$ はコンパクトな $T_U$ の部分集合なので、$M_z=\max_K|f|$ とすれば 定理 2.3 から $|\zeta|=1$ で $|\partial^\alpha f(\Phi(\zeta))|\le\alpha!M_z\rho^{-|\alpha|}$ です。

$g=\partial^\alpha F\circ\Phi$ は $D$ 上正則（命題 2.4 の 3）で $\overline{D}$ 上連続、円周上では $T_U$ の点なので $g=\partial^\alpha f\circ\Phi$ です。最大値原理（定理 3.1［最大値原理の一般化と正則関数族］）から $|\partial^\alpha F(z)|=|g(\zeta_0)|\le\alpha!M_z\rho^{-|\alpha|}$ です。

したがって良い点 $z$ でのテイラー級数 $G_z(w)=\sum_\alpha\frac{\partial^\alpha F(z)}{\alpha!}(w-z)^\alpha$ は $P(z,\rho)$ のコンパクト部分集合上で一様収束し（項は $M_zq^{|\alpha|}$ で押さえられる）、$P(z,\rho)$ 上の正則関数を定めます（命題 2.4 の 2）。$G_z$ は $z$ の近くで $F$ に一致し（定理 2.3）、凸集合 $P(z,\rho)\cap T_{\Delta_{t^{*}}}$ 上で $F$ に一致します（一致の定理）。

第 2 段：延長。 $\tau=\min(\rho/16,1-t^{*})$ とします。$w\in T_{\Delta_{t^{*}+\tau}}$ について、$\operatorname{Re}z=\operatorname{Re}w$ で、虚部の $(y_1,y_2)$ 成分を $\operatorname{Im}w$ の $\mu$ 倍（$\mu\le1$）、$y''$ 成分を同じにした良い点 $z$ を取ります（$\operatorname{Im}w$ の成分の和が $t^{*}(1-2\delta)$ 以下なら $\mu=1$、そうでなければ和がちょうど $t^{*}(1-2\delta)$ になる $\mu$）。すると $|w-z|_\infty\le(t^{*}+\tau)-t^{*}(1-2\delta)\le\tau+2\delta<\rho/2$ です。

$w\in P(z,\rho/2)$ となる良い点 $z$ について $G(w):=G_z(w)$ と定めます。これは $z$ の選び方によりません。実際、$z,z'$ がともにそうなら $|z-z'|_\infty<\rho$ で $z'\in P(z,\rho)$ なので、凸集合 $P(z,\rho)\cap P(z',\rho)\cap T_{\Delta_{t^{*}}}$ は $z'$ を含む空でない開集合で、そこで $G_z=F=G_{z'}$ です。一致の定理を凸集合 $P(z,\rho)\cap P(z',\rho)$ に使えば、$w$ でも $G_z=G_{z'}$ です。同じ $z$ が $w$ の近くの点でも使えるので $G$ は正則で、$T_{\Delta_{t^{*}}}$ 上では $G=F$ です。

最後に、$T_{\Delta_{t^{*}+\tau}}$ 上の $G$ と $T_U$ 上の $f$ を貼り合わせます。重なり $T_{U_j\cap\Delta_{t^{*}+\tau}}$ は凸で、その空でない開部分集合 $T_{U_j\cap\Delta_{t^{*}}}$ 上で $G=F=f$ なので、一致の定理から重なり全体で $G=f$ です。こうして $T_{V_{t^{*}+\tau}}$ 上の延長が得られ、$t^{*}$ が上限であることに反します。よって $t^{*}=1$ です。

∎

証明（定理 4.2）

一意性は一致の定理（$T_{\operatorname{ch}\omega}$ は凸なので連結）から従います。$n=1$ なら連結開集合は区間で凸なので、$n\ge2$ とします。

第 1 段：二つの凸集合。 $\omega_1,\omega_2$ を交わる凸開集合とし、$f$ が $T_{\omega_1\cup\omega_2}$ 上正則なら $T_{\operatorname{ch}(\omega_1\cup\omega_2)}$ まで延びることを示します。$c\in\omega_1\cap\omega_2$ を固定します。$a\in\omega_1$、$b\in\omega_2$ で $c,a,b$ が一直線上にないとき、小さな $s>0$ で $a'=a+s(a-c)\in\omega_1$、$b'=b+s(b-c)\in\omega_2$ とし、$c\mapsto0$、$a'\mapsto e_1$、$b'\mapsto e_2$ となる実アフィン変換 $A$ を取ります。線分 $[0,e_1]\subseteq A\omega_1$、$[0,e_2]\subseteq A\omega_2$ はコンパクトなので、十分小さな $\varepsilon$ で $U_1\subseteq A\omega_1$、$U_2\subseteq A\omega_2$ です。補題 4.4 を（座標変換した）$f$ に使い、凸開集合 $W_{a,b}=A^{-1}\Delta_1$ 上の管で正則な $F_{a,b}$ を得ます。

• $W_{a,b}\cap\omega_j$ は凸で、$c$ の近くの点（そこでは $F_{a,b}=f$）を含むので、一致の定理から $T_{W_{a,b}\cap\omega_j}$ 上 $F_{a,b}=f$ です。
• 二つの組について $W\cap W'$ が空でなければ、その点 $y$ と $c\in\overline{W}\cap\overline{W'}$ を結ぶ線分（$c$ を除く）は $W\cap W'$ に入るので、$W\cap W'$ は $c$ の近く（$\omega_1\cap\omega_2$ の中）の点を含み、そこで両者は $f$ に一致します。$W\cap W'$ は凸なので、一致の定理から $T_{W\cap W'}$ 上 $F_{a,b}=F_{a',b'}$ です。

$\operatorname{ch}(\omega_1\cup\omega_2)$ の点は $y=(1-\lambda)a+\lambda b$（$a\in\omega_1$、$b\in\omega_2$、$0\le\lambda\le1$）と書けます。$c,a,b$ が一直線上なら、$y$ は $[c,a]\cup[c,b]\cup[a,b]$ のうち $\omega_1$ か $\omega_2$ に含まれる線分の上にあります（三点の並び順で場合分けすれば確かめられます）。そうでなければ、$y$ は $c,a',b'$ に関して正の重心座標 $\bigl(\tfrac{s}{1+s},\tfrac{1-\lambda}{1+s},\tfrac{\lambda}{1+s}\bigr)$ をもち、$Ay$ は $\Delta_1$ に入ります。したがって $T_{\omega_1\cup\omega_2}$ 上の $f$ と各 $T_{W_{a,b}}$ 上の $F_{a,b}$ は矛盾なく貼り合わさり、$T_{\operatorname{ch}(\omega_1\cup\omega_2)}$ を含む開集合上の正則関数になります。

第 2 段：球の鎖。 一般の連結開集合 $\omega$ について、$\omega$ 内の開球 $B_0$ を固定します。$\omega$ 内の開球の列 $\mathfrak{B}=(B_0,B_1,\dots,B_m)$ で $B_{k-1}\cap B_k\ne\emptyset$ となるものを鎖と呼び、$C_k=\operatorname{ch}(B_0\cup\cdots\cup B_k)$ とおきます。$k$ についての帰納法で、$T_{C_k}$ 上の正則関数 $F_k$ で $T_{B_i}$（$i\le k$）上 $F_k=f$ となるものを作ります。$F_0=f$ です。$C_k\cap B_{k+1}$ は凸で、空でない開集合 $B_k\cap B_{k+1}$ の上で $F_k=f$ なので、一致の定理から $T_{C_k\cap B_{k+1}}$ 上で $F_k=f$ です。よって $F_k$ と $f$ は $T_{C_k\cup B_{k+1}}$ 上の正則関数に貼り合わさり、第 1 段から $T_{\operatorname{ch}(C_k\cup B_{k+1})}=T_{C_{k+1}}$ まで延びます。

$\omega$ の任意の点は $B_0$ から鎖で結べます（$B_0$ の点と鎖で結べる点の集合は開かつ閉で、$\omega$ は連結）。$\operatorname{ch}\omega$ の点は $\omega$ の有限個の点の凸結合なので、それらを順にたどる鎖 $\mathfrak{B}$ を取れば $C_m$ に入ります。凸包は開集合です。二つの鎖の $C_m$ と $C'_{m'}$ の共通部分は凸で $B_0$ を含み、そこで両者は $f$ に一致するので、一致の定理から共通部分全体で一致します。したがって各鎖の $F_m$ を貼り合わせた $F$ が $T_{\operatorname{ch}\omega}$ 上に定まり、$y\in\omega$ では $y$ を含む球で終わる鎖を使えば $F=f$ です。

∎

注意 4.5

証明の第 1 段で使った「交わる二つの凸な底」の形は、物理で頻繁に現れます。たとえば $\omega_1$ と $\omega_2$ が錐の近傍のとき、Bochner の定理は二つの管で正則な関数が凸包の管まで延びることを保証します。edge-of-the-wedge の定理は、二つの管 $T_{C}$ と $T_{-C}$（$C$ は凸錐）が交わらず、実の境界値どうしが一致するだけという状況で、さらに延長が起きることを主張する、より深い定理です。

5. 演習

演習 5.1易

$f$ を $\mathbb{C}^n$ 全体で正則な関数とし、ある $A$ と整数 $N\ge0$ について $|f(z)|\le A(1+|z|_\infty)^N$ とする。$f$ は次数 $N$ 以下の多項式であることを示せ。

解答

定理 2.3 を $a=0$、半径 $r=(R,\dots,R)$ で使うと $|c_\alpha|\le A(1+R)^NR^{-|\alpha|}$ です。$|\alpha|>N$ なら $R\to\infty$ で右辺は $0$ に行くので $c_\alpha=0$ です。べき級数は $\mathbb{C}^n$ 全体で $f$ に等しいので、$f=\sum_{|\alpha|\le N}c_\alpha z^\alpha$ です。$N=0$ が Liouville の定理です。

演習 5.2標準

$C\subseteq\mathbb{R}^n$ を凸開集合、$y_0\notin\overline{C}$ とする。$T_C$ 上の正則関数 $f$ で、$C\cup\{y_0\}$ を含むどんな凸開集合 $C'$ についても、$T_{C'}$ 上の正則関数 $F$ で $T_C$ 上 $F=f$ となるものが存在しないような $f$ を作れ。これにより 定理 4.2 の凸包は改良できないことを説明せよ。

解答

閉凸集合 $\overline{C}$ と外の点 $y_0$ を分離して（補題 5.4［凸解析］）、$v\in\mathbb{R}^n$ と $\gamma$ で $\sup_{y\in C}\langle v,y\rangle<\gamma<\langle v,y_0\rangle$ となるものを取ります。$f(z)=1/(\langle v,z\rangle-i\gamma)$ は、分母の虚部が $\langle v,\operatorname{Im}z\rangle-\gamma$ なので、$H=\{y:\langle v,y\rangle<\gamma\}$ 上の管 $T_H\supseteq T_C$ で正則です。

$F$ が存在したとします。$C'$ は凸なので、$C$ の点と $y_0$ を結ぶ線分を含み、中間値の定理から $\langle v,y_1\rangle=\gamma$ となる $y_1\in C'$ があります。$C'\cap H$ は凸で $C$ を含むので、一致の定理（命題 2.4 の 1）から $T_{C'\cap H}$ 上 $F=f$ です。$s>0$ が小さければ $y_1-sv\in C'\cap H$ なので、$|F(i(y_1-sv))|=|f(i(y_1-sv))|=1/(s|v|^2)\to\infty$（$s\downarrow0$）となり、$F$ が $iy_1\in T_{C'}$ で連続であることに反します。

一般の連結開集合 $\omega$ について、$\overline{\operatorname{ch}\omega}$ の外の点 $y_0$ に上の構成を $C=\operatorname{ch}\omega$ で行うと、$T_\omega$ 上の正則関数で、$y_0$ を含むより大きな凸な底の管には延びないものが得られます。したがって、すべての正則関数が延びる凸な底としては $\operatorname{ch}\omega$ が最大です。

演習 5.3標準

補題 3.2 の評価を使って、変数ごとに正則で局所有界な関数の列 $f_k$ が各点収束し、$\sup_k|f_k|$ が局所有界ならば、極限 $f$ は正則であることを示せ。

解答

任意の多重円板 $\overline{P(a,r)}\subseteq\Omega$ 上で $|f_k|\le M$ とします（$k$ によらない）。各 $f_k$ は変数ごとに正則で有界なので、補題 3.2 の証明から $P(a,qr)$ 上で $|f_k(w)-f_k(z)|\le L|w-z|_1$（$L=M/((1-q)\min r_j)$ は $k$ によらない）です。各点収束の極限を取れば $f$ も同じ不等式を満たし、連続です。各変数については、1 変数の一様有界な正則関数列の各点収束極限なので、Vitali の定理（定理 8.1［最大値原理の一般化と正則関数族］）により正則です。よって $f$ は正則です。

参考文献

• L. Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, 3rd ed., North-Holland, 1990 — 第 II 章（Hartogs の定理、管状領域と Bochner の定理）。
• S. G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, 2nd ed., AMS Chelsea, 2001 — 第 1 章（多重円板の Cauchy 公式、Hartogs の定理）。
• R. M. Range, Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables, Springer, 1986 — 第 I〜II 章。
• V. S. Vladimirov, Methods of the Theory of Functions of Many Complex Variables, MIT Press, 1966 — 管状領域と Bochner の定理。
• F. Hartogs, “Zur Theorie der analytischen Functionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veränderlichen fortschreiten”, Math. Ann. 62 (1906), 1–88.
• S. Bochner, “A theorem on analytic continuation of functions in several variables”, Ann. of Math. 39 (1938), 14–19.