Hartogs の補題

補題 3.4（「多変数複素関数論」§3）・ ✓公理まで証明済み

$P\subseteq\mathbb{C}^m$ を多重円板、 $a_k$ （ $k=1,2,\dots$ ）を $P$ 上の正則関数とし、 $u_k=\frac1k\log|a_k|$ とおく。ある $M$ について $P$ 上 $u_k\le M$ （すべての $k$ ）、ある実数 $C$ について各 $z\in P$ で $\limsup_ku_k(z)\le C$ とする。このとき任意のコンパクト集合 $K\subseteq P$ と $\varepsilon>0$ に対し、 $k_0$ が存在して $k\ge k_0$ なら $K$ 上で $u_k\le C+\varepsilon$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 90 件、定義なども含めて 108 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
log|g| の平均値不等式✓補題 3.3・多変数複素関数論
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
    一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- リーマンの除去可能特異点定理✓命題 6.3・正則関数の強力な性質
  - ローラン展開✓定理 6.1・正則関数の強力な性質
    積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
    一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- 対数の主枝の正則性✓定理 6.9・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 極座標のコーシー・リーマンの関係式✓補題 6.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
  - 複素指数関数定義 6.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分
  - 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
  - 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 正則関数の平均値の性質✓系 6.5・コーシーの積分定理と積分公式
    コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Hartogs の定理（変数ごとの正則性）✓定理 3.1・多変数複素関数論

Hartogs の補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件