数学 › 複素関数論 › 正則関数の強力な性質

零点の孤立性

補題 7.2（「正則関数の強力な性質」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を領域 $\Omega$ 上の正則関数、 $a \in \Omega$ 、 $f(a) = 0$ とし、 $D(a,R)\subset\Omega$ とする。 $f$ の $a$ におけるテイラー係数を $c_n$ とすると、次のいずれか一方だけが起こる。

すべての $n \ge 0$ で $c_n = 0$ 。このとき $f$ は $D(a,R)$ 上で恒等的に $0$ である。
$c_m \ne 0$ となる最小の $m$ が存在する。このとき $m\ge1$ であり、 $D(a,R)$ 上の正則関数 $g$ で $g(a) = c_m \ne 0$ かつ $f(z) = (z-a)^{m}g(z)$ を満たすものが存在する。さらにある $\delta \in (0,R]$ が存在して、 $0<|z-a|<\delta$ では $f(z)\ne0$ である（零点は孤立する）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 6 件

Hurwitz の定理の系✓系 5.4・偏角の原理と Rouché の定理
正則写像の局所構造✓定理 6.1・偏角の原理と Rouché の定理
一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
極の特徴づけ✓命題 3.4・留数定理と定積分への応用
log|g| の平均値不等式✓補題 3.3・多変数複素関数論
位数公式✓定理 5.6・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論

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