数学 › 複素関数論 › 留数定理と定積分への応用

極の特徴づけ

命題 3.4（「留数定理と定積分への応用」§3）・ ✓公理まで証明済み

$a$ を $f$ の孤立特異点、 $m$ を正の整数とする。

(1) 次の 3 条件は同値である。

(i) $a$ は $f$ の $m$ 位の極である。
(ii) 極限 $\lim_{z \to a}(z-a)^m f(z)$ が存在し、その値は $0$ でない。
(iii) ある $r > 0$ と $D(a,r)$ で正則な関数 $g$ で $g(a) \ne 0$ を満たすものがあり、 $0 < |z-a| < r$ で $f(z) = \dfrac{g(z)}{(z-a)^m}$ と書ける。

(2) $a$ が（何らかの位数の）極であるための必要十分条件は $\lim_{z \to a}|f(z)| = \infty$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

リーマンの除去可能特異点定理✓定理 3.3・留数定理と定積分への応用
零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 3.5・留数定理と定積分への応用
極における留数の計算法✓命題 4.2・留数定理と定積分への応用

関連するノック 2 問