極における留数の計算法

命題 4.2（「留数定理と定積分への応用」§4）・ ✓公理まで証明済み

$a$ を $f$ の孤立特異点とする。

(1) $a$ が $f$ の高々 $m$ 位の極である（すなわちローラン展開で $n < -m$ の係数がすべて $0$ である）とき、 $\varphi(z) := (z-a)^m f(z)$ は $a$ で正則に延長され、

\operatorname{Res}(f,a) = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Bigl[(z-a)^m f(z)\Bigr].

(2) 特に $a$ が単純極（ $m=1$ ）のとき $\operatorname{Res}(f,a) = \lim_{z \to a}(z-a)f(z)$ 。

(3) $f = g/h$ とし、 $g,h$ は $a$ の近傍で正則、 $g(a) \ne 0$ 、 $h(a) = 0$ 、 $h'(a) \ne 0$ とする。このとき $a$ は $f$ の単純極で

\operatorname{Res}(f,a) = \frac{g(a)}{h'(a)}.

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

極の特徴づけ✓命題 3.4・留数定理と定積分への応用
- リーマンの除去可能特異点定理✓定理 3.3・留数定理と定積分への応用
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）