数学 › 複素関数論 › 正則関数の強力な性質

テイラー展開

定理 5.2（「正則関数の強力な性質」§5） ・ ✓公理まで証明済み

ff を円板 D(a,R)D(a,R)（0<R≤∞0 < R \le \infty）上の正則関数とする。このとき

cn:=12πi∫C(a,r)f(ζ)(ζ−a) n+1 dζ=f(n)(a)n!(0<r<R)c_n := \frac{1}{2\pi i}\int_{C(a,r)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{\,n+1}}\,d\zeta = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \qquad (0 < r < R)

とおくと（rr は 0<r<R0<r<R を満たすかぎり任意に取ってよく、cnc_n の値はその取り方によらない）、すべての z∈D(a,R)z \in D(a,R) で

f(z)=∑n=0∞cn(z−a)nf(z) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^{n}

が成り立ち、収束は各 ρ<R\rho < R に対して D‾(a,ρ)\overline{D}(a,\rho) 上一様かつ絶対収束である。さらにこの表示は一意である。すなわち、ある 0<R′≤R0 < R' \le R について D(a,R′)D(a,R') 上で f(z)=∑n≥0bn(z−a)nf(z)=\sum_{n\ge0}b_n(z-a)^{n}（収束するべき級数）が成り立つならば、すべての nn で bn=cnb_n = c_n である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 22 件

関連するノック 3 問