正則写像の局所的な角度

定理 3.2（「等角写像とリーマン写像定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega$ を領域、 $f : \Omega \to \mathbb{C}$ を正則関数、 $z_0 \in \Omega$ とする。

$f'(z_0) \neq 0$ ならば、 $f$ は $z_0$ で等角である。さらに $z_0$ を通る曲線の接ベクトルはどれも一様に偏角 $\arg f'(z_0)$ だけ回転し、長さは一様に $|f'(z_0)|$ 倍される。
$f$ が定数でなく、 $f - f(z_0)$ が $z_0$ で位数 $m \ge 1$ の零点を持つとする。このとき $z_0$ を通る $C^1$ 級曲線 $\gamma$ （ $\gamma(0) = z_0$ 、 $\gamma'(0) \neq 0$ ）に対し、極限

\theta(\gamma) = \lim_{t \to 0+} \arg\bigl(f(\gamma(t)) - f(z_0)\bigr)

が $2\pi$ を法として存在し、2 つの曲線 $\gamma_1, \gamma_2$ について

\theta(\gamma_2) - \theta(\gamma_1) = m\left(\arg \gamma_2'(0) - \arg \gamma_1'(0)\right) \pmod{2\pi}

が成り立つ。すなわち $z_0$ における交角はちょうど $m$ 倍される。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。