Frobenius の定理

(F) について、$x=0$ が確定特異点で、$p,q$ が $|x|<R$ で解析的とする。

1. 指数 $s_1$ に対し、$|x|<R$ で収束する冪級数 $u(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n$（$a_0=1$）で、$y_1(x)=x^{s_1}u(x)$ が $0<x<R$ で (F) の解となるものが存在する。
2. $s_1-s_2\notin\mathbb{Z}$ なら、同様に $0<x<R$ 上の解 $y_2=x^{s_2}\sum b_nx^n$（$b_0=1$、収束半径 $\ge R$）が存在し、$y_1,y_2$ は一次独立である。
3. $s_1=s_2$ なら、$0$ の近傍 $(0,\rho_0)$ 上の解 $y_2=y_1\ln x+x^{s_1}\sum_{n\ge1}c_nx^n$ が存在する。
4. $s_1-s_2=N\in\{1,2,\dots\}$ なら、$(0,\rho_0)$ 上に $y_2=c\,y_1\ln x+x^{s_2}\sum_{n\ge0}d_nx^n$（$c$ は定数で $0$ のこともある、$d_0\ne0$）の形の解が存在する。3, 4 でも $y_1,y_2$ は一次独立である。ここで $\rho_0\in(0,R]$ は、$u$ を複素変数の関数と見て円板 $|z|<\rho_0$ に零点がないような最大の値である。