数学 › 微分積分学 › 平均値の定理とテイラーの定理
導関数の符号と単調性
を区間、 を 上連続で、 の内部の各点で微分可能な関数とします。
- の内部でつねに であることと、 が 上定数であることは同値です。
- の内部でつねに であることと、 が 上広義単調増加（）であることは同値です。
- の内部でつねに ならば、 は 上狭義単調増加（）です。ただしこの逆は成り立ちません。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 15 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性 この先をたどる →
- 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性 この先をたどる →
- 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
これを使っている定理 証明で参照している 28 件
- 温度の極限・順位の保存・エントロピーの単調性✓定理 4.2・推論
- べき則のもとでの最適配分✓定理 8.2・スケーリングと文脈
- Vaswani らのスケジュールの形✓命題 6.2・言語モデルの学習
- 最適なチェックポイント間隔（Young の近似）✓定理 4.3・長時間ジョブの管理
- 指数級数✓補題 4.1・精度の選び方
- 無作為な反例探索で言える範囲✓定理 6.2・検算と検証
- p 級数✓系 5.2・級数と収束判定
- 区間 Newton 法✓定理 5.2・浮動小数と区間演算
- エントロピーの最大値✓補題 7.2・線形符号
- 極値の判定（増減表の根拠）✓命題 3.1・微分法とその応用
- 凹凸と第 2 次導関数✓定理 4.3・微分法とその応用
- 3 次関数のグラフ✓定理 6.2・微分法とその応用
- 平均値の定理による評価✓定理 8.1・微分法とその応用
- 一般二項定理✓定理 9.2・微分法とその応用
- log t / t の最大値✓補題 10.1・微分法とその応用
- 2 周期点が現れない範囲✓補題 10.2・微分法とその応用
- 指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- arctan のべき級数✓命題 10.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 双曲線関数の恒等式と媒介変数表示✓命題 11.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- y' = y と y'' = −y の解✓定理 12.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 変数分離形の解法✓命題 5.1・積分の応用
- ロジスティック方程式の解✓定理 5.5・積分の応用
- 中心差分の打ち切り誤差と丸め誤差✓命題 7.1・数値積分 II
- 1 次近似の剰余の評価✓補題 7.2・非線形方程式の反復解法
- 導関数が 0 の関数✓補題 2.2・常微分方程式の初等解法
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性