数学 › 高校数学：関数と微分積分 › 微分法とその応用

平均値の定理による評価

定理 8.1（「微分法とその応用」§8）・ ✓公理まで証明済み

$f,g$ を $[a,b]$ で連続、 $(a,b)$ で微分可能とする。

$(a,b)$ で $m\le f'\le M$ ならば、 $a\le x<y\le b$ に対し $m(y-x)\le f(y)-f(x)\le M(y-x)$ 。とくに $|f'|\le L$ ならば $|f(y)-f(x)|\le L|y-x|$ 。
（比較） $f(a)\le g(a)$ かつ $(a,b)$ で $f'\le g'$ ならば、 $[a,b]$ 上で $f\le g$ 。
$0<a<b$ ならば $\dfrac{b-a}b<\log b-\log a<\dfrac{b-a}a$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
- ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 2 問