高校数学：関数と微分積分

数学高校〜一般無料 7 章有料 0 章

高校の数学 II・III の指数関数・対数関数・三角関数・極限・微分法・積分法とその応用を扱う。

想定読者: 高校生、高校数学を学び直す大学生・社会人、微分積分学に進む前の人

前提テーマ:高校数学：数と式・整数・数列

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章指数関数と対数関数無料累乗根の存在から有理数の指数、実数の指数へと定義を広げ、指数法則・単調性・連続性を証明する。逆関数としての対数の性質、底の変換公式、桁数と常用対数まで。
2. 第 2 章三角関数：一般角・弧度法・加法定理無料単位円による三角関数の定義が級数の定義と一致することを確かめ、基本性質・加法定理・倍角・積和・合成・三角方程式・周期関数の和の基本周期・正五角形の cos 72° を証明つきで扱う。
3. 第 3 章数列と関数の極限無料高校の「限りなく近づく」を ε-N の定義で言い直し、等比数列・無限等比級数・調和級数の発散・ネイピア数 e・Stolz–Cesàro の定理・漸化式の収束を、定義から順に証明する。
4. 第 4 章指数・対数・三角関数をきちんと定義する無料指数関数・三角関数を幾何を使わずにべき級数で定義し、加法定理・π の定義・周期性・単位円の媒介変数表示を導く。弧の長さが θ になることも定理として証明し、循環論法を断つ。
5. 第 5 章微分法とその応用無料導関数の計算規則を指数・対数・陰関数まで整理し、増減・凹凸・漸近線・3 次関数のグラフ・解の個数を証明つきで扱う。平均値の定理による評価、一般二項定理、累乗の塔の収束範囲も示す。
6. 第 6 章積分法：計算の技法とその根拠無料基本定理・置換・部分積分を計算の道具として整理し、有理関数の部分分数分解と積分、三角関数の積分と直交性、Wallis の積分と積、1/6 公式、和と積分の比較（Euler の定数・階乗の評価・台形公式の誤差）を証明する。
7. 第 7 章積分の応用：面積・体積・長さ・微分方程式無料面積は重積分、体積はルベーグ測度で定義し、2 曲線の間・媒介変数・極座標の面積、断面積と回転体の体積、曲線の長さ、Gabriel のラッパ、変数分離形・1 階線形・ロジスティック方程式・連立線形方程式を証明する。