積分の応用：面積・体積・曲線の長さ・微分方程式を、定義から公式まで

0. この記事の要点

高校で覚えた「面積は積分で求める」「回転させた立体の体積は積分で求める」という公式は、なぜ正しいのでしょうか。そもそも、曲がった図形の「面積」や立体の「体積」は、何をもって決めるのでしょうか。この記事では、まず面積や体積の意味をはっきり決め、そこから高校の公式を順に導きます。最後に、微分方程式（変化の仕方から元の関数を求める問題）の基本的な解き方も確かめます。読み終えると、各公式がどの仮定の下で成り立つのかが分かります。

• 高校の積分の応用は、「面積は $\int(g-f)dx$」「体積は $\int S(x)dx$」「回転体の体積は $\pi\int y^2dx$」といった公式として覚えます。ところが、そもそも「面積」「体積」とは何でしょうか。この記事では、面積を重積分（平面上の図形での積分。大学の記事）、体積をルベーグ測度（長さ・面積・体積を一般の集合に広げた「大きさ」）で定義し、公式はそれらの定理から導きます。
• 面積：2 曲線の間の面積、媒介変数表示された曲線の下の面積、極座標の面積 $\frac12\int\rho^2d\theta$ を証明します。
• 体積：断面積から体積を求める公式（Cavalieri の原理の積分版）と、回転体の体積 $\pi\int f(x)^2dx$ を証明します。座標軸でない直線のまわりの回転体（トーラス）や、体積が有限なのに表面積が無限になる Gabriel のラッパも扱います。
• 曲線の長さは前の記事で定義した積分（定義 8.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）から、グラフ・媒介変数・極座標の 3 つの形の公式を導きます。
• 最後に、微分方程式の入口として、変数分離形・1 階線形方程式・ロジスティック方程式・連立線形方程式の解法を、解の一意性（大学の常微分方程式の記事）とあわせて証明します。

この記事で使う事前知識

• 積分法の計算: 置換積分や基本的な関数の積分の計算。→ 積分法
• 連続性: 関数のグラフが途切れずにつながっている、という性質。→ 連続性
• 曲線の長さ: 曲線 $(x(t),y(t))$ に対し、速さ $\sqrt{x'^2+y'^2}$ を積分したもの。→ 曲線の長さ
• 累次積分: 重積分を、1 変数の積分を 2 回続けて計算すること。→ 累次積分
• 広義積分: 無限区間や発散する点を含む積分を、極限で定めたもの。→ 広義積分

1. 動機：「面積」「体積」「長さ」を定義する

高校では、次の公式を「当たり前」のこととして使います。

• 曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の間の面積は $\displaystyle\int_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx$。
• 回転体の体積は $\displaystyle\pi\int_a^bf(x)^2dx$。
• 曲線の長さは $\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$。

区間 $[a,b]$ を細かく刻んで、短冊や円板や折れ線で近似して足し合わせる、という「積分の考え方」で説明されます。それはその通りなのですが、「面積」という量自体の定義がはっきりしないまま、公式を使っているのです。たとえば、「曲線で囲まれた図形の面積」が、図形の置き方（平行移動・回転）によらないことは、公式からは見えません。

この記事では、定義を次のように決めます。

量	定義	公式の根拠
平面図形の面積	重積分 $\iint1\,dxdy$（定義 5.1［重積分と累次積分］）	縦線集合の累次積分（定理 5.6［重積分と累次積分］）、変数変換公式（系 6.9［重積分と累次積分］）
空間図形の体積	$\mathbb R^3$ のルベーグ測度 $m_3$（定義 2.1［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）	Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）
曲線の長さ	$\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$（定義 8.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）	前の記事の弧の長さ $=\theta$

2. 面積

2.1. 準備：半円の面積

円の面積に関係する計算が何度も出てくるので、先に 1 つの補題にまとめておきます。

補題 2.1（半円の積分）✓

$r>0$ ならば $\displaystyle\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\frac{\pi r^2}2$ である。

証明（補題 2.1）

$\varphi(\theta)=r\sin\theta$（$-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2$）とおくと、$\varphi$ は $C^1$ 級で $\varphi(\pm\frac\pi2)=\pm r$ です（定理 7.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）。$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ は $[-r,r]$ で連続で、$[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ で $\cos\theta\ge0$ なので $f(\varphi(\theta))=r\cos\theta$ です。置換積分（定理 6.1［積分の基本定理と定積分］）より

$$\int_{-r}^rf(x)\,dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos\theta\cdot r\cos\theta\,d\theta=r^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos2\theta}2\,d\theta=r^2\left[\frac\theta2+\frac{\sin2\theta}4\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi r^2}2$$

です（$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2$ は倍角の公式。系 4.2［三角関数］。$\sin(\pm\pi)=0$）。

∎

2.2. 2 曲線の間の面積

定理 2.2（2 曲線の間の面積）✓

$f,g:[a,b]\to\mathbb R$ を連続で $f\le g$ とする。$D=\{(x,y):a\le x\le b,\ f(x)\le y\le g(x)\}$ は面積確定で、その面積は

$$|D|=\int_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx$$

である。

証明（定理 2.2）

縦線集合上の累次積分の定理（定理 5.6［重積分と累次積分］）を、$\varphi_1=f$、$\varphi_2=g$、被積分関数 $1$ に使います。$|D|=\iint_D1\,dxdy=\int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)}1\,dy\right)dx=\int_a^b(g-f)\,dx$ です。

∎

例 2.3（直線と放物線が囲む図形）

$y=x$ と $y=x^2$ の交点は $x=0,1$ で、$[0,1]$ で $x^2\le x$ です。面積は $\int_0^1(x-x^2)dx=\int_0^1x(1-x)dx=\dfrac16$（1/6 公式。定理 7.1［積分法］）です。

円板（半径 $r$）の面積：$D=\{x^2+y^2\le r^2\}$ は $f(x)=-\sqrt{r^2-x^2}$、$g(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ に挟まれた縦線集合で、定理 2.2 と 補題 2.1 から $|D|=2\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\pi r^2$ です。

2.3. 媒介変数で表された曲線の下の面積

定理 2.4（媒介変数表示された曲線の下の面積）✓

$x,y:[\alpha,\beta]\to\mathbb R$ とし、$x$ は $C^1$ 級で狭義単調増加、$y$ は連続で $y\ge0$ とする。曲線 $(x(t),y(t))$ は、$a=x(\alpha)$、$b=x(\beta)$ として $[a,b]$ 上の連続関数 $Y=y\circ x^{-1}$ のグラフであり、その下の図形 $D=\{(x,v):a\le x\le b,\ 0\le v\le Y(x)\}$ の面積は

$$|D|=\int_\alpha^\beta y(t)\,x'(t)\,dt$$

である。

証明（定理 2.4）

$x$ は連続な狭義単調増加関数なので、$[\alpha,\beta]$ から $[a,b]$ への全単射で、逆関数 $x^{-1}$ も連続です（開区間 $(\alpha,\beta)$ では 命題 8.1［導関数の定義と基本的な微分法］。端点では、単調増加な $x^{-1}$ の値域が区間 $[\alpha,\beta]$ なので、飛びがなく連続です）。したがって $Y=y\circ x^{-1}$ は連続で、曲線は $Y$ のグラフです。定理 2.2 を $f=0$、$g=Y$ に使うと $|D|=\int_a^bY(x)\,dx$ で、置換積分（定理 6.1［積分の基本定理と定積分］）を $x=x(t)$ として使うと $\int_a^bY(x)dx=\int_\alpha^\beta Y(x(t))\,x'(t)\,dt=\int_\alpha^\beta y(t)x'(t)\,dt$ です。

∎

例 2.5（サイクロイドの 1 つのアーチの下の面積）

サイクロイド $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$（$0\le t\le2\pi$）は、車輪の縁の 1 点が描く曲線です。$x'(t)=1-\cos t$ は、$0<t<2\pi$ で正（$\cos t=1$ となるのは $t\in2\pi\mathbb Z$ だけ。命題 3.1［三角関数］ (5)）なので、$x$ は $[0,2\pi]$ で狭義単調増加です。定理 2.4 から面積は

$$\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2dt=\int_0^{2\pi}\bigl(1-2\cos t+\cos^2t\bigr)dt=2\pi-0+\pi=3\pi$$

です（$\int_0^{2\pi}\cos t\,dt=0$、$\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\left[\frac t2+\frac{\sin2t}4\right]_0^{2\pi}=\pi$）。サイクロイドを生む円の面積 $\pi$ の 3 倍です。

2.4. 極座標で表された図形の面積

原点からの距離 $\rho(\theta)$ が角度 $\theta$ ごとに決まる図形の面積を求めます。直感的には、角度を細かく刻んで、細い扇形を足し合わせる計算です。証明では、極座標への変数変換のヤコビ行列式（変換で面積が何倍に伸び縮みするかを表す量）が $r$ になることを使います。途中の「変換が一対一であること」の確認が長いのは、変数変換公式を使うための条件を確かめているためです。

定理 2.6（極座標の面積）✓

$\alpha<\beta\le\alpha+2\pi$ とし、$\rho:[\alpha,\beta]\to[0,\infty)$ を連続とする。

$$D=\{(r\cos\theta,\ r\sin\theta):\ \alpha\le\theta\le\beta,\ 0\le r\le\rho(\theta)\}$$

は面積確定で、その面積は $\displaystyle|D|=\frac12\int_\alpha^\beta\rho(\theta)^2d\theta$ である。

証明（定理 2.6）

$\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ は $\mathbb R^2$ 上の $C^1$ 級写像で、ヤコビ行列式は $\det J_\Phi=\cos\theta\cdot r\cos\theta-(-r\sin\theta)\sin\theta=r$ です（定理 6.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (3)、定理 6.5［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）。$E=\{(r,\theta):\alpha\le\theta\le\beta,\ 0\le r\le\rho(\theta)\}$ は、$\theta$ を独立変数とみたとき連続関数 $0\le\rho$ で挟まれた集合（横線集合）で、有界閉かつ面積確定です（定理 5.6［重積分と累次積分］）。境界 $Z=\partial E$ は、連続関数のグラフ（補題 5.2［重積分と累次積分］）と線分からなるので面積 $0$ です。

$\mathrm{int}E\setminus Z=\mathrm{int}E$ の上で $\Phi$ が単射であることを示します。$(r,\theta),(r',\theta')\in\mathrm{int}E$（$r,r'>0$、$\alpha<\theta,\theta'<\beta$）で $\Phi(r,\theta)=\Phi(r',\theta')$ とすると、成分の 2 乗和から $r=r'$ で、したがって $\cos\theta=\cos\theta'$、$\sin\theta=\sin\theta'$ です。このとき $\cos(\theta'-\theta)=\cos\theta'\cos\theta+\sin\theta'\sin\theta=1$ なので、$\theta'-\theta\in2\pi\mathbb Z$（命題 3.1［三角関数］ (5)）で、$|\theta'-\theta|<\beta-\alpha\le2\pi$ から $\theta=\theta'$ です。そこで変数変換公式（系 6.9［重積分と累次積分］）が使えて、$D=\Phi(E)$ は面積確定で

$$|D|=\iint_Er\,dr\,d\theta=\int_\alpha^\beta\left(\int_0^{\rho(\theta)}r\,dr\right)d\theta=\int_\alpha^\beta\frac{\rho(\theta)^2}2\,d\theta$$

です（累次積分は 定理 5.6［重積分と累次積分］ の横線集合の形による）。

∎

例 2.7（カージオイドの面積）

$\rho(\theta)=1+\cos\theta$（$0\le\theta\le2\pi$。$\rho\ge0$）が囲む図形の面積は、定理 2.6 から $\dfrac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta=\dfrac12(2\pi+0+\pi)=\dfrac{3\pi}2$ です。$\rho(\theta)=a$（定数）なら $\frac12\int_0^{2\pi}a^2d\theta=\pi a^2$ で、円板の面積の公式に一致します。

3. 体積

3.1. 断面積による体積

空間の図形 $S\subseteq\mathbb R^3$ の体積を、ルベーグ測度 $m_3$ で定めます。$\mathbb R^3=\mathbb R\times\mathbb R^2$ とみて、$x$ を固定したときの断面 $S_x=\{(y,z):(x,y,z)\in S\}$ の面積（$\mathbb R^2$ のルベーグ測度 $m_2$）を $x$ で積分すると、体積になります。立体をパンのように薄く切って、各断面の面積を足し合わせるイメージです。証明は、3 次元のルベーグ測度が 1 次元と 2 次元の測度の積であることと、Tonelli の定理（積の測度を、片方ずつ順に積分して求める定理）を指示関数に使うだけです。

定理 3.1（断面積による体積）✓

$S\subseteq\mathbb R^3$ をボレル集合とする。$x\mapsto m_2(S_x)$ は可測で

$$m_3(S)=\int_{\mathbb R}m_2(S_x)\,dm_1(x)$$

が成り立つ。$x\mapsto m_2(S_x)$ が $[a,b]$ の外で $0$ で、$[a,b]$ 上で連続（あるいはリーマン可積分）ならば、右辺は $\displaystyle\int_a^bm_2(S_x)dx$（リーマン積分）に等しい。

証明（定理 3.1）

ルベーグ測度の定義（定義 2.1［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）から $m_3=m_1\times m_2$ です。$S$ の指示関数に Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）を使うと、$x\mapsto\int1_S(x,\cdot)\,dm_2=m_2(S_x)$ は可測で $m_3(S)=\int m_2(S_x)\,dm_1(x)$ です。$[a,b]$ の外では被積分関数が $0$ なので、$\int_{\mathbb R}=\int_{[a,b]}$ です。リーマン可積分な関数のルベーグ積分とリーマン積分は一致します（定理 8.1［ルベーグ積分の定義と収束定理］）。

∎

これは、断面積がすべての $x$ で等しい 2 つの立体は体積が等しい、という Cavalieri の原理の積分版です。

3.2. 回転体

円板の面積から出発して、回転体の体積を求めます。

補題 3.2（円板のルベーグ測度）✓

$r\ge0$ ならば、$\mathbb R^2$ の閉円板 $\{(y,z):y^2+z^2\le r^2\}$ のルベーグ測度は $\pi r^2$ である。

証明（補題 3.2）

$r=0$ は 1 点で測度 $0$ です。$r>0$ とします。$m_2=m_1\times m_1$ なので、Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）から、閉円板 $D_r$ について $m_2(D_r)=\int m_1\bigl(\{z:(y,z)\in D_r\}\bigr)dm_1(y)$ です。$|y|\le r$ のとき断面は区間 $[-\sqrt{r^2-y^2},\sqrt{r^2-y^2}]$ で長さ $2\sqrt{r^2-y^2}$、$|y|>r$ のとき空集合なので、$m_2(D_r)=\int_{-r}^r2\sqrt{r^2-y^2}\,dm_1(y)$ です。被積分関数は連続なので、これはリーマン積分に等しく（定理 8.1［ルベーグ積分の定義と収束定理］）、補題 2.1 から $2\cdot\frac{\pi r^2}2=\pi r^2$ です。

∎

定理 3.3（回転体の体積）✓

$f:[a,b]\to[0,\infty)$ を連続とし、$x$ 軸のまわりに曲線 $y=f(x)$ を回転してできる立体

$$S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ a\le x\le b,\ y^2+z^2\le f(x)^2\}$$

を考える。このとき $S$ の体積は $\displaystyle m_3(S)=\pi\int_a^bf(x)^2\,dx$ である。

証明（定理 3.3）

$S$ は閉集合（連続関数 $(x,y,z)\mapsto y^2+z^2-f(x)^2$ の $\le0$ の部分と閉区間の積）で有界、したがってボレル集合です。断面 $S_x$ は $a\le x\le b$ で半径 $f(x)$ の閉円板、それ以外で空集合なので、補題 3.2 より $m_2(S_x)=\pi f(x)^2$（$a\le x\le b$）です。これは連続なので、定理 3.1 から $m_3(S)=\int_a^b\pi f(x)^2dx$ です。

∎

例 3.4（球と円錐の体積）

球。 $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$（$-r\le x\le r$）の回転体は半径 $r$ の球で、体積は $\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{-r}^r=\pi\left(2r^3-\frac{2r^3}3\right)=\dfrac43\pi r^3$ です。

円錐。 $f(x)=\dfrac rhx$（$0\le x\le h$）の回転体は、底面の半径 $r$、高さ $h$ の円錐で、体積は $\pi\int_0^h\dfrac{r^2}{h^2}x^2dx=\dfrac{\pi r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}3=\dfrac13\pi r^2h$ です。

3.3. 座標軸でない直線のまわりの回転体

回転軸が $x$ 軸でなく直線 $y=c$ で、しかも図形と軸の間にすき間があると、立体の断面は円板ではなくドーナツ状（輪）になります。輪の面積は「外側の円板の面積 $-$ 内側の円板の面積」で求まります。証明の後半は、内側のくりぬく開円板の面積も $\pi\rho_1^2$ であることを、小さい閉円板で内側から近づいて確かめている部分です。

定理 3.5（直線 y = c のまわりの回転体の体積）✓

$f,g:[a,b]\to\mathbb R$ を連続とし、$c\le g\le f$ とする。直線 $y=c$ のまわりに、$g(x)\le y\le f(x)$（$a\le x\le b$）の部分を回転してできる立体

$$S=\{(x,y,z):\ a\le x\le b,\ (g(x)-c)^2\le(y-c)^2+z^2\le(f(x)-c)^2\}$$

の体積は

$$m_3(S)=\pi\int_a^b\Bigl[\bigl(f(x)-c\bigr)^2-\bigl(g(x)-c\bigr)^2\Bigr]dx$$

である。

証明（定理 3.5）

$S$ は閉集合で有界、したがってボレル集合です。断面 $S_x$（$a\le x\le b$）は、点 $(c,0)$ を中心とする、半径 $\rho_2=f(x)-c$ の閉円板から半径 $\rho_1=g(x)-c$ の開円板を除いたものです。ルベーグ測度は並進で不変で（補題 3.1［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）、閉円板の測度は 補題 3.2 から $\pi\rho_2^2$ です。$\rho_1=0$ なら開円板は空集合で測度 $0=\pi\rho_1^2$ です。$\rho_1>0$ なら、開円板は閉円板の増加列 $\{|\cdot|\le\rho_1-\frac1n\}$（$n>1/\rho_1$）の和集合なので、測度の下からの連続性（命題 2.3［測度空間と Carathéodory の拡張定理］）から測度は $\pi\rho_1^2$ です。したがって $m_2(S_x)=\pi\rho_2^2-\pi\rho_1^2$ で、定理 3.1 から $m_3(S)=\pi\int_a^b(\rho_2^2-\rho_1^2)dx$ です。

∎

例 3.6（トーラスの体積）

円板 $x^2+(y-R)^2\le r^2$（$R\ge r>0$）を $x$ 軸のまわりに回転すると、トーラス（ドーナツ型）ができます。$f(x)=R+\sqrt{r^2-x^2}$、$g(x)=R-\sqrt{r^2-x^2}$、$c=0$（$g\ge R-r\ge0$）として 定理 3.5 を使うと、$f^2-g^2=4R\sqrt{r^2-x^2}$ なので、体積は $\pi\int_{-r}^r4R\sqrt{r^2-x^2}\,dx=4\pi R\cdot\dfrac{\pi r^2}2=2\pi^2Rr^2$（補題 2.1）です。「断面の円板の面積 $\pi r^2$ に、中心の描く円周の長さ $2\pi R$ を掛けたもの」と読めます。

4. 曲線の長さと回転体の表面積

4.1. 曲線の長さの公式

曲線の長さは、前の記事で $\int\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$ と定義しました（定義 8.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）。この定義から、高校で使う 3 つの形の公式が出ます。

定理 4.1（曲線の長さの公式）✓

1. $f:[a,b]\to\mathbb R$ が $C^1$ 級ならば、グラフ $y=f(x)$ の長さは $\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$。
2. $x(t),y(t)$ が $[\alpha,\beta]$ で $C^1$ 級ならば、曲線 $(x(t),y(t))$ の長さは $\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$（定義）。
3. $\rho:[\alpha,\beta]\to\mathbb R$ が $C^1$ 級ならば、極座標の曲線 $r=\rho(\theta)$、すなわち $(\rho(\theta)\cos\theta,\rho(\theta)\sin\theta)$ の長さは $\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho'(\theta)^2}\,d\theta$。

証明（定理 4.1）

(2) は定義です。(1) は曲線 $\gamma(x)=(x,f(x))$（$a\le x\le b$）に定義を使うと、$\gamma'=(1,f')$ で $\sqrt{1+f'^2}$ です。(3) は $\gamma(\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$ で、積の法則と 定理 6.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (3) から $\gamma'=(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta,\ \rho'\sin\theta+\rho\cos\theta)$、$|\gamma'|^2=\rho'^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\rho^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\rho'\rho(-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta)=\rho'^2+\rho^2$（定理 6.5［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）です。

∎

例 4.2（サイクロイド・懸垂線・カージオイドの長さ）

サイクロイドの 1 つのアーチ。 $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$（$0\le t\le2\pi$）。$x'^2+y'^2=(1-\cos t)^2+\sin^2t=2-2\cos t=4\sin^2\frac t2$（半角の公式）で、$0\le t\le2\pi$ で $\sin\frac t2\ge0$ なので $\sqrt{x'^2+y'^2}=2\sin\frac t2$、長さは $\int_0^{2\pi}2\sin\frac t2\,dt=\left[-4\cos\frac t2\right]_0^{2\pi}=8$ です。

懸垂線。 $y=\cosh x$（定義 11.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）の $0\le x\le a$ の長さは、$1+\sinh^2x=\cosh^2x$（命題 11.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (1)(3)）から $\int_0^a\cosh x\,dx=\sinh a$ です。

カージオイド。 $\rho=1+\cos\theta$（$0\le\theta\le2\pi$）。$\rho^2+\rho'^2=(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2+2\cos\theta=4\cos^2\frac\theta2$ で、長さは $\int_0^{2\pi}2\left|\cos\frac\theta2\right|d\theta$。$[0,\pi]$ で $\cos\frac\theta2\ge0$、$[\pi,2\pi]$ で $\le0$ なので $\left[4\sin\frac\theta2\right]_0^\pi-\left[4\sin\frac\theta2\right]_\pi^{2\pi}=4+4=8$ です。

4.2. 回転体の表面積

曲面の面積は、重積分を使って厳密に定義できますが、それには曲面の理論が必要です（ベクトル解析の記事）。ここでは、細い帯（円錐台）を足し合わせる考え方に従った式を定義とします。

定義 4.3（回転体の表面積）↗

$f:[a,b]\to[0,\infty)$ を $C^1$ 級とする。$x$ 軸のまわりに曲線 $y=f(x)$ を回転してできる曲面の面積を

$$A=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$$

と定める。$[a,\infty)$ 上の関数に対しては、$\displaystyle\lim_{R\to\infty}2\pi\int_a^Rf\sqrt{1+f'^2}\,dx$（広義積分。定義 2.1［広義積分・パラメータ積分とガンマ関数］）で定める。

幅 $\Delta x$ の細い帯は、半径 $f(x)$ の円周（長さ $2\pi f(x)$）に、斜めの長さ $\sqrt{1+f'^2}\,\Delta x$ を掛けたものと考える、というのがこの定義の動機です。

例 4.4（球帯の面積）

半径 $r$ の球面を、$x=u$ と $x=v$（$-r<u<v<r$）で挟んだ部分（球帯）は、$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ の回転面です。$f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$ から $1+f'^2=\dfrac{r^2}{r^2-x^2}$ なので、$f\sqrt{1+f'^2}=r$ で、面積は $2\pi\int_u^vr\,dx=2\pi r(v-u)$ です。球帯の面積は、高さ $v-u$ に比例し、半径と帯の位置（$u,v$ の取り方）には依存しない、という Archimedes の結果です。$u=-r$、$v=r$ とすると、球全体の表面積 $4\pi r^2$ になります（端点では $f'$ が発散するので、極限として）。

4.3. Gabriel のラッパ

定理 4.5（Gabriel のラッパ：体積は有限、表面積は無限）✓

$x\ge1$ で $f(x)=\dfrac1x$ とし、$S=\{(x,y,z):x\ge1,\ y^2+z^2\le f(x)^2\}$ とする。

1. $S$ の体積は $m_3(S)=\pi$（有限）である。
2. $S$ の表面積 $2\pi\displaystyle\int_1^Rf\sqrt{1+f'^2}\,dx$ は $R\to\infty$ で $\infty$ に発散する。

証明（定理 4.5）

(1) $S_n=S\cap\{x\le n\}$（$n=1,2,\dots$）は増加する閉集合の列で、$S=\bigcup S_n$ です。定理 3.3 から $m_3(S_n)=\pi\int_1^nx^{-2}dx=\pi\left[-\frac1x\right]_1^n=\pi\left(1-\frac1n\right)$ です。測度の下からの連続性（命題 2.3［測度空間と Carathéodory の拡張定理］）から $m_3(S)=\lim m_3(S_n)=\pi$ です。

(2) $f'(x)=-x^{-2}$、$f\sqrt{1+f'^2}=\dfrac1x\sqrt{1+x^{-4}}\ge\dfrac1x$ なので、$2\pi\int_1^Rf\sqrt{1+f'^2}dx\ge2\pi\int_1^R\dfrac{dx}x=2\pi\log R$ です（命題 2.1［積分法］）。$\log R\to\infty$（$\exp$ の値域が $(0,\infty)$。定理 3.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (4)）ので、発散します。

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「ラッパの中をペンキで満たすには体積 $\pi$ のペンキで足りるが、外側を塗るにはペンキが足りない」というパラドックスとして有名です。矛盾はなく、体積と表面積は別の量で、一方が有限でも他方が無限になりうる、ということです。

5. 微分方程式の入口

5.1. 変数分離形

微分方程式 $y'=f(x)g(y)$ は、「$\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ と書いて両辺を積分する」という手順で解きます。この手順が正しい理由を確かめます。

命題 5.1（変数分離形の解法）✓

$I,J$ を開区間、$f:I\to\mathbb R$、$g:J\to\mathbb R$ を連続とし、$g(y_0)\ne0$ とする。$\varphi$ が区間 $I_1\ni x_0$ 上の微分可能な解（$\varphi'=f(x)g(\varphi)$、$\varphi(x_0)=y_0$）で、$I_1$ 上で $g(\varphi(x))\ne0$ ならば

$$\int_{y_0}^{\varphi(x)}\frac{d\eta}{g(\eta)}=\int_{x_0}^xf(s)\,ds\qquad(x\in I_1)$$

が成り立つ。逆に、この等式を満たす連続関数 $\varphi$ は解である。解の存在と一意性は、大学の常微分方程式の記事で証明されている（定理 3.1［常微分方程式の初等解法］）。

証明（命題 5.1）

$G(y)=\int_{y_0}^y\frac{d\eta}{g(\eta)}$（$g\ne0$ の範囲で連続）とおくと、基本定理（定理 5.2［積分の基本定理と定積分］）から $G'(y)=1/g(y)$ です。連鎖律から $\dfrac d{dx}G(\varphi(x))=\dfrac{\varphi'(x)}{g(\varphi(x))}=f(x)$ で、これは $F(x)=\int_{x_0}^xf(s)ds$ の導関数に等しいので、$G\circ\varphi-F$ は定数（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (1)）、$x=x_0$ で $0$ なので $G(\varphi(x))=F(x)$ です。逆に $G(\varphi(x))=F(x)$ ならば、$G$ は $g\ne0$ の範囲で狭義単調（導関数 $1/g$ が定符号）なので $\varphi=G^{-1}\circ F$ で、逆関数の微分（命題 8.1［導関数の定義と基本的な微分法］）から $\varphi'=1/G'(\varphi)\cdot F'=g(\varphi)f$ です。

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例 5.2（y' = ky と y' = y²）

$y'=ky$（$k$ は定数、$y(0)=y_0\ne0$）：$f=k$、$g(y)=y$（$y\ne0$）。$\int_{y_0}^y\frac{d\eta}\eta=\log\left|\frac y{y_0}\right|=kx$ なので $y=y_0e^{kx}$ です（命題 2.1［微分法とその応用］）。

$y'=y^2$（$y(0)=1$）：$\int_1^y\frac{d\eta}{\eta^2}=1-\frac1y=x$ から $y=\dfrac1{1-x}$（$x<1$）です。解は $x\to1^-$ で $\infty$ に発散するので、すべての $x$ に延長できません（有限時間での爆発）。

5.2. 1 階線形方程式

命題 5.3（1 階線形方程式の解法）✓

$I$ を開区間、$p,q:I\to\mathbb R$ を連続、$x_0\in I$ とし、$P(x)=\int_{x_0}^xp(s)ds$ とおく。$y'+p(x)y=q(x)$、$y(x_0)=y_0$ の（微分可能な）解は $I$ 全体でただ 1 つで、

$$y(x)=e^{-P(x)}\left(y_0+\int_{x_0}^xe^{P(s)}q(s)\,ds\right)$$

で与えられる。

証明（命題 5.3）

$y$ が解ならば、$P'=p$（基本定理）と連鎖律・積の法則から $\bigl(e^{P}y\bigr)'=e^{P}(y'+py)=e^{P}q$ です。両辺を $x_0$ から $x$ まで積分し（基本定理第二部。$e^Pq$ は連続）、$e^{P(x_0)}y(x_0)=y_0$ を使うと $e^{P(x)}y(x)=y_0+\int_{x_0}^xe^{P(s)}q(s)ds$ で、これが解の形と一意性です。逆に、この式で定めた $y$ を微分すると $y'=-py+e^{-P}e^Pq=-py+q$ で、解です。この結果は大学の記事（定理 4.2［常微分方程式の初等解法］）の特別な場合です。

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例 5.4（y' + 2y $= e^{(−x)}$）

$p=2$、$P=2x$、$\left(e^{2x}y\right)'=e^{2x}e^{-x}=e^x$ から $e^{2x}y=e^x+C$、$y=e^{-x}+Ce^{-2x}$ です。$y(0)=0$ なら $C=-1$ で $y=e^{-x}-e^{-2x}$ です。

5.3. ロジスティック方程式

個体数 $y(t)$ の増え方を、「個体数が少ないうちは指数的に増え、環境の限界 $K$ に近づくと増加が鈍る」としてモデル化したのが、ロジスティック方程式

$$y'=ry\left(1-\frac yK\right)\qquad(r>0,\ K>0)$$

です。

ここでは、解の式を具体的に書き下し、それが解であることを確かめます。その解が唯一であること（ほかに別の解がないこと）は、大学の記事の一意性の定理を使って示します。

定理 5.5（ロジスティック方程式の解）✓

$0<y_0<K$ とし、$C=\dfrac{K-y_0}{y_0}>0$ とおく。初期値問題 $y'=ry(1-y/K)$、$y(0)=y_0$ の解は、$\mathbb R$ 全体で定義された

$$y(t)=\frac K{1+Ce^{-rt}}$$

であり、これが（定義域が $0$ を含む区間であるような）唯一の解である。この解は次を満たす。

1. $0<y(t)<K$ で、$y$ は狭義単調増加。$t\to\infty$ で $y\to K$、$t\to-\infty$ で $y\to0$。
2. $y$ は $y=K/2$ となる時刻 $t^*=\frac1r\log C$ でちょうど 1 回だけ凹凸が入れ替わる（変曲点）。

証明（定理 5.5）

解であること。 $y=K(1+Ce^{-rt})^{-1}$ を微分すると $y'=\dfrac{rKCe^{-rt}}{(1+Ce^{-rt})^2}$ で、一方 $ry\left(1-\dfrac yK\right)=\dfrac{rK}{1+Ce^{-rt}}\cdot\dfrac{Ce^{-rt}}{1+Ce^{-rt}}$ で等しくなります。$y(0)=\dfrac K{1+C}=y_0$ です。

一意性。 $F(y)=ry(1-y/K)$ は $y$ について $C^1$ 級なので局所 Lipschitz で（命題 2.4［解の存在と一意性］）、2 つの解が $t=0$ で一致すれば共通の定義域で一致します（定理 3.2［解の存在と一意性］）。

(1) $Ce^{-rt}>0$ なので $0<y<K$ で、$y'=ry(1-y/K)>0$ から狭義単調増加です（系 3.4［平均値の定理とテイラーの定理］ (3)）。$t\to\infty$ で $e^{-rt}\to0$（定理 3.3［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ (4)）、$t\to-\infty$ で $e^{-rt}\to\infty$ なので、それぞれ $y\to K$、$y\to0$ です。

(2) $y''=ry'\left(1-\frac yK\right)-\frac rKyy'=ry'\left(1-\frac{2y}K\right)$ で、$y'>0$ なので $y''$ の符号は $1-\frac{2y}K$ の符号です。$y$ は連続で狭義単調増加、値域は $(0,K)$ なので、$y=K/2$ となる時刻がちょうど 1 つあり（中間値の定理）、その前後で $y''$ の符号は $+$ から $-$ に変わります。その時刻は $\frac K{1+Ce^{-rt}}=\frac K2$、すなわち $Ce^{-rt}=1$、$t=\frac1r\log C$ です。

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増加の速さ $y'$ は、$y=K/2$ のときに最大です（$y'=ry(1-y/K)$ は $y=K/2$ で最大値 $rK/4$）。この「S 字曲線」は、人口・感染者数・普及率など、さまざまな現象のモデルになります。

5.4. 連立線形方程式

2 つの未知関数 $x(t),y(t)$ が互いに絡み合う連立方程式 $x'=ax+by$、$y'=cx+dy$ は、行列とベクトルで $\boldsymbol u'=A\boldsymbol u$（$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$、$\boldsymbol u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$）と書けます。

解き方の方針は、1 つの未知関数の方程式 $y'=ky$ の解 $e^{kt}$ を、行列に拡張することです。行列 $A$ に対する行列指数関数 $e^{tA}$ は、指数関数の級数 $\sum_k\frac{t^k}{k!}A^k$ で定められ、$A$ の固有ベクトルの方向では単なる $e^{\lambda t}$ 倍として働きます。

命題 5.6（固有ベクトルによる連立線形方程式の解法）✓

$A$ を $2$ 次の実正方行列とし、$A\boldsymbol v_1=\lambda_1\boldsymbol v_1$、$A\boldsymbol v_2=\lambda_2\boldsymbol v_2$（$\lambda_1,\lambda_2$ は実数、$\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2\in\mathbb R^2$ は $1$ 次独立）とする。初期値問題 $\boldsymbol u'=A\boldsymbol u$、$\boldsymbol u(0)=\boldsymbol u_0$ の解は、$\boldsymbol u_0=c_1\boldsymbol v_1+c_2\boldsymbol v_2$ と書いて

$$\boldsymbol u(t)=c_1e^{\lambda_1t}\boldsymbol v_1+c_2e^{\lambda_2t}\boldsymbol v_2$$

であり、これが唯一の解である。

証明（命題 5.6）

$\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2$ が張る部分空間は次元 $2$ で、$\dim\mathbb R^2=2$ なので $\mathbb R^2$ 全体です（命題 5.7［ベクトル空間と線形変換］ (3)）。したがって 2 本は $\mathbb R^2$ の基底で、$c_1,c_2$ が存在します。大学の記事の定数係数線形系の解の公式（定理 4.3［線形微分方程式系］）から、解は $\boldsymbol u(t)=e^{tA}\boldsymbol u_0$ で唯一です（行列指数関数は 定義 4.1［線形微分方程式系］）。固有ベクトル $\boldsymbol v$ について $A^k\boldsymbol v=\lambda^k\boldsymbol v$ なので $e^{tA}\boldsymbol v=\sum_k\frac{t^k}{k!}A^k\boldsymbol v=\left(\sum_k\frac{(\lambda t)^k}{k!}\right)\boldsymbol v=e^{\lambda t}\boldsymbol v$ です。線形性から $e^{tA}\boldsymbol u_0=c_1e^{\lambda_1t}\boldsymbol v_1+c_2e^{\lambda_2t}\boldsymbol v_2$ です。

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例 5.7（x' = x + 2y、y' = 2x + y）

$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ の固有値は $3$（固有ベクトル $\boldsymbol v_1=(1,1)$）と $-1$（$\boldsymbol v_2=(1,-1)$）です。初期値 $(x(0),y(0))=(2,0)=\boldsymbol v_1+\boldsymbol v_2$ なら、$x(t)=e^{3t}+e^{-t}$、$y(t)=e^{3t}-e^{-t}$ です。たとえば $x'=3e^{3t}-e^{-t}$ と $x+2y=3e^{3t}-e^{-t}$ が確かに一致します。

5.5. 数値解法の考え方

$y'=f(t,y)$ の解を、刻み幅 $h$ で近似する最も簡単な方法は、$y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k)$ と進める Euler 法です。

例 5.8（Euler 法で e を求める）

$y'=y$、$y(0)=1$ の厳密解は $e^t$ です（定理 12.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）。$t=1$ まで $n$ 歩（$h=1/n$）で Euler 法を使うと、$y_{k+1}=y_k(1+h)$ から $y_n=(1+1/n)^n$ になります。これは $e$ に収束する数列そのもの（定理 4.1［数列と関数の極限］）で、刻み幅を $0$ に近づけると近似が厳密解に収束することを、この例では $e=\exp1$ の収束（定理 5.2［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）として確かめられます。$n=10$ で $1.1^{10}=2.5937\cdots$、$n=100$ で $2.7048\cdots$ です。

6. 大学ではどこへ続くか

• 重積分と体積・面積。 この記事で定義に使った重積分（面積）は 重積分、ルベーグ測度（体積）は 積測度と Fubini の定理 で扱われます。3 次元の回転体の体積は、円柱座標での 3 重積分として一般化されます。
• 曲面の面積とベクトル解析。 回転面の面積の式（定義 4.3）は、曲面の面積要素の特別な場合です（ベクトル解析）。球帯の面積 $2\pi rh$ は、微分幾何学の Gauss–Bonnet の定理や球面幾何につながります。
• 常微分方程式。 解の存在と一意性（Picard–Lindelöf の定理）、線形系・安定性・定数変化法は 常微分方程式の初等的解法、解の存在と一意性、線形系 です。ロジスティック方程式は、1 次元の力学系（不動点 $0$ が不安定、$K$ が安定）の最も簡単な例です。
• 力学と物理。 運動方程式 $m\ddot x=F$ は 2 階の微分方程式で、ばねの振動は $y''=-\omega^2y$（定理 12.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）の解、減衰を含む場合は定数係数の 2 階線形方程式になります。
• 次の学び。 確率の記事 確率の発展 では、Buffon の針の問題で、この記事の積分（面積）を使います。

7. 演習

演習 7.1易

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

解答

$x^2=x+2$ から $x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$、交点は $x=-1,2$ で、$[-1,2]$ で $x+2\ge x^2$ である。定理 2.2 から面積は $\int_{-1}^2(x+2-x^2)dx=\int_{-1}^2(-(x+1)(x-2))dx=\dfrac{(2-(-1))^3}6=\dfrac{27}6=\dfrac92$（1/6 公式。定理 7.1［積分法］）である。

演習 7.2標準

放物線 $y=x^2$（$0\le x\le1$）と直線 $y=1$、$y$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

解答

$y$ 軸のまわりの回転は、座標を入れ替えて $x$ 軸のまわりの回転と同じ形になる（定理 3.3 を、独立変数を $y$、半径を $\sqrt y$ として使う）。$0\le y\le1$ で半径 $x=\sqrt y$ の円板が断面なので、体積は $\pi\int_0^1(\sqrt y)^2dy=\pi\int_0^1y\,dy=\dfrac\pi2$ である。

演習 7.3標準

ロジスティック方程式 $y'=y(1-y/10)$（$r=1$、$K=10$）の解で $y(0)=1$ のものについて、個体数が最も速く増える時刻 $t^*$ とそのときの増加速度を求めよ。

解答

$C=\frac{10-1}1=9$ で、定理 5.5 から $y=\frac{10}{1+9e^{-t}}$。最も速く増えるのは $y=K/2=5$ となる時刻で、$t^*=\log9=2\log3\approx2.20$ である。そのときの速度は $y'=y(1-y/10)=5\cdot\frac12=2.5$ である。

参考文献

• 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 積分の応用（面積・体積・曲線の長さ）の節。
• 高木貞治『解析概論』岩波書店 — 面積・曲線の長さの章。
• V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer, 1992 — 1 階方程式・線形系の章（変数分離形・線形系）。
• 柳田英二・栄伸一郎『常微分方程式論』朝倉書店 — 1 階方程式・線形系の章。