広義積分・パラメータ積分とガンマ関数：積分と極限を交換してよいとき

0. この記事の要点

この記事は、積分の中に文字（パラメータ）が入っているとき、その文字での微分や極限を、積分の外と中のどちらで先に行ってよいのかを調べます。この答えを使うと、原始関数が書けない積分の値が求まり、階乗 $n!$ を整数以外にも広げた関数が作れ、$n!$ のおよその大きさを表す公式まで導けます。

• 広義積分は「区間を広げる極限」で定義されます。収束判定は級数の判定法とほぼ同じ形（コーシーの判定法・比較判定法・絶対収束）で、$\int_1^\infty\sin x/x\,dx$ のような条件収束（積分は収束するが、絶対値の積分は発散すること）はディリクレの判定法（§2 で証明します）で扱います。
• パラメータ $t$ を含む積分 $F(t)=\int f(x,t)\,dx$ について、「$t$ で微分して積分」と「積分して $t$ で微分」を交換してよいかが問題になります。有界閉区間なら $f$ と $\partial_tf$ の連続性で十分、無限区間なら積分の一様収束が条件になります。
• この道具で、ガウス積分 $\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi/2$、$e^{-x^2}$ のフーリエ変換、フルラニ型の積分（$\int_0^\infty (e^{-ax}-e^{-bx})/x\,dx$ の形のもの）が、すべて微分方程式を立てる形で計算できます。
• ガンマ関数 $\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx$ は階乗の一般化 $\Gamma(n+1)=n!$ で、ベータ関数とは $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ で結ばれます。
• スターリングの公式 $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$ は、$\log n!$ の単調性とウォリスの公式だけで証明でき、$\sqrt{2\pi}$ という定数はウォリス積分（$\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$）から現れます。

この記事で使う事前知識

• 一様収束: 関数列が、変数のどこでも同じ速さで極限に近づくこと（$\sup$ が $0$ に収束すること）。→ 一様収束
• 一様連続性: 近い 2 点での値の差を、点の位置によらず同じ近さで抑えられること。→ 一様連続性
• コーシー列: 番号が大きくなると、どの 2 項も互いにいくらでも近くなる数列。→ コーシー列
• 定積分と原始関数: リーマン和で定積分を定義し、微分積分学の基本定理で原始関数と結ぶ話。→ 積分の基本定理と定積分
• 級数の収束判定・絶対収束と条件収束: 部分和の極限としての収束と、判定法。→ 級数と収束判定
• 重積分とフビニの定理: 2 変数の積分を 1 変数の積分の繰り返しに直すこと。→ 重積分と累次積分

1. 動機：「積分の中に変数がある」とき何が起こるか

次の 3 つの計算を考えます。

1. $\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ は原始関数が初等関数で書けません。それでも値 $\sqrt\pi/2$ は求まります（その 1 つの方法を §3 で示します）。
2. 階乗 $n!=1\cdot2\cdots n$ を整数でない $s$ に拡張するにはどうしたらよいでしょうか。部分積分を繰り返すと $\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=n!$ が出てくるので、$n$ を実数 $s-1$ に置き換えたもの $\Gamma(s)$ が自然な候補です（§5）。
3. $n!$ は $n$ とともに急速に大きくなります。その大きさを、$n$ の初等的な式で $1+o(1)$ の精度で見積もれるでしょうか（§7）。

これらに共通するのは、被積分関数が「変数 $x$」と「パラメータ $t$（または $s$）」の両方を持ち、さらに積分区間が無限、あるいは端点で被積分関数が発散していることです。ここでは 2 種類の注意が必要になります。

• 無限区間・非有界関数の積分: 広義積分として、極限を使って定義する。極限が存在するかどうかの判定が要る。
• 積分と微分・極限の交換: $\frac{d}{dt}\int f\,dx=\int\partial_tf\,dx$ は一般には成り立たない。成り立つための条件が要る。

たとえば $f(x,t)=t\,e^{-tx}$ では、$t>0$ で $\int_0^\infty f\,dx=1$ ですが、$t=0$ では $f=0$ なので $\int_0^\infty f\,dx=0$ です。パラメータ $t$ の関数として $F(t)$ は $t=0$ で不連続になります。積分と極限の交換が許されない典型例で、この例が壊れる原因（§4 の「一様収束」）が、この記事の主題の 1 つです。

2. 広義積分とその収束判定

以下 $a<\omega\le\infty$ とし、$f:[a,\omega)\to\mathbb{R}$ は連続とします。

定義 2.1（広義積分）↗

任意の $b\in[a,\omega)$ に対して $\int_a^bf(x)\,dx$ は存在します（連続関数の積分、定理 3.5［積分の基本定理と定積分］）。極限

$$\int_a^\omega f(x)\,dx=\lim_{b\to\omega-0}\int_a^bf(x)\,dx$$

が有限の値として存在するとき、広義積分は収束するといいます。存在しない（または $\pm\infty$ の）とき発散するといいます。$(\alpha,b]$ 上で連続な関数についても、$\int_\alpha^bf=\lim_{c\to\alpha+0}\int_c^bf$ で同様に定義します。$(\alpha,\omega)$ 上で連続な $f$ については、$\alpha<c<\omega$ をとって $\int_\alpha^cf$ と $\int_c^\omega f$ がともに収束するとき、その和を $\int_\alpha^\omega f$ とします（$c$ の取り方によらない）。

端点が有限で被積分関数が発散する例が $\int_0^1x^{-1/2}dx=\lim_{c\to+0}[2\sqrt x]_c^1=2$ です。区間が無限の例が $\int_0^\infty e^{-x}dx=1$ です。

定理 2.2（広義積分のコーシーの判定法）✓

$\int_a^\omega f(x)\,dx$ が収束するための必要十分条件は、任意の $\varepsilon>0$ に対して $c\in[a,\omega)$ が存在し、$c<b<b'<\omega$ をみたすすべての $b,b'$ について

$$\Bigl|\int_b^{b'}f(x)\,dx\Bigr|<\varepsilon$$

が成り立つことです。

証明（定理 2.2）

$G(b)=\int_a^bf(x)\,dx$ とおくと $\int_b^{b'}f=G(b')-G(b)$ です。 （必要性）$G(b)\to L$ とします。$\varepsilon/2$ に対して $c$ を、$b>c$ なら $|G(b)-L|<\varepsilon/2$ となるようにとれば、$c<b<b'$ で $|G(b')-G(b)|<\varepsilon$ です。 （十分性）$b_n\in[a,\omega)$ を $b_n\to\omega$ の増加列とします。仮定から $(G(b_n))$ はコーシー列で、実数の完備性（定理 7.3［実数の完備性とコーシー列］）によりある $L$ に収束します。別の列 $b_n'\to\omega$ に対しても、2 つの列を交互に並べた列にコーシー列の条件を使うと $G(b_n')\to L$ です。したがって $\lim_{b\to\omega}G(b)=L$ です。

∎

定理 2.3（比較判定法と絶対収束）✓

$f,g:[a,\omega)\to\mathbb{R}$ を連続とする。

1. $0\le f\le g$ で $\int_a^\omega g$ が収束するなら $\int_a^\omega f$ も収束し、$\int_a^\omega f\le\int_a^\omega g$。
2. $\int_a^\omega|f|$ が収束するなら $\int_a^\omega f$ も収束し、$\bigl|\int_a^\omega f\bigr|\le\int_a^\omega|f|$。

証明（定理 2.3）

(1) $G(b)=\int_a^bf$ は $b$ について単調増加で、$G(b)\le\int_a^bg\le\int_a^\omega g$ と上に有界です。増加列 $b_n\to\omega$ に対し $G(b_n)$ は単調有界数列として収束し（定理 2.1［級数と収束判定］）、その極限は $\sup_bG(b)$ です。$G$ 自身が単調ですから $\lim_{b\to\omega}G(b)=\sup G$ で収束し、$\le\int g$ です。 (2) $\bigl|\int_b^{b'}f\bigr|\le\int_b^{b'}|f|$ で、右辺は 定理 2.2 を $|f|$ に使って小さくできます。同じ判定法を $f$ に使えば収束がいえます。

∎

命題 2.4（べき関数の広義積分の収束条件）✓

$p\in\mathbb{R}$ とする。$\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ は $p>1$ のときに限り収束し、$\int_0^1x^{-p}\,dx$ は $p<1$ のときに限り収束する。

証明（命題 2.4）

$\int_1^\infty$ は $b\to\infty$ のときの $\int_1^bx^{-p}dx$ の極限、$\int_0^1$ は $c\to+0$ のときの $\int_c^1x^{-p}dx$ の極限です。$p\ne1$ のとき原始関数 $\frac{x^{1-p}}{1-p}$ と 定理 5.4［積分の基本定理と定積分］ より $\int_1^bx^{-p}dx=\frac{b^{1-p}-1}{1-p}$ で、$p>1$ なら $b^{1-p}\to0$ なので $\frac1{p-1}$ に収束し、$p<1$ なら $b^{1-p}\to\infty$ で発散します。$p=1$ では $\int_1^bx^{-1}dx=\log b\to\infty$ で発散します。同様に $p\ne1$ のとき $\int_c^1x^{-p}dx=\frac{1-c^{1-p}}{1-p}$ で、$p<1$ なら $c^{1-p}\to0$ で $\frac1{1-p}$ に収束し、$p>1$ なら $c^{1-p}\to\infty$ で発散します。$p=1$ では $\int_c^1x^{-1}dx=-\log c\to\infty$ で発散します。

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例 2.5（べき関数の広義積分）

$$\int_1^\infty x^{-p}\,dx\ \text{は}\ p>1\ \text{のときに限り収束する},\qquad \int_0^1x^{-p}\,dx\ \text{は}\ p<1\ \text{のときに限り収束する}.$$

実際 $p\ne1$ で $\int_1^bx^{-p}dx=\frac{b^{1-p}-1}{1-p}$ は $b\to\infty$ で $p>1$ なら $\frac1{p-1}$ に収束、$p<1$ なら発散し、$p=1$ では $\log b\to\infty$ です。$\int_c^1x^{-p}dx$ も同様です。これは級数 $\sum n^{-p}$ の収束条件（定理 5.1［級数と収束判定］）の積分版です。

絶対値の積分が発散しても、振動のおかげで収束する積分があります。

定理 2.6（ディリクレの判定法）✓

$f:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ を連続で、ある $M$ について $\bigl|\int_a^bf\bigr|\le M$（$b\ge a$）とする。$g:[a,\infty)\to\mathbb{R}$ を $C^1$ 級で、単調減少かつ $g(x)\to0$（$x\to\infty$）とする。このとき $\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx$ は収束する。

証明（定理 2.6）

$F(x)=\int_a^xf$ とおくと、定理 5.2［積分の基本定理と定積分］ から $F$ は $C^1$ 級で $F'=f$、$|F|\le M$ です。部分積分（定理 6.2［積分の基本定理と定積分］）から

$$\int_a^bfg\,dx=F(b)g(b)-F(a)g(a)-\int_a^bF(x)g'(x)\,dx=F(b)g(b)-\int_a^bF\,g'\,dx$$

です（$F(a)=0$）。$|F(b)g(b)|\le Mg(b)\to0$。また $g'\le0$ なので $\int_a^b|Fg'|\,dx\le M\int_a^b(-g')\,dx=M(g(a)-g(b))\le Mg(a)$ で、$\int_a^\infty|Fg'|$ は 定理 2.3 の (1) により収束します。(2) により $\int_a^\infty Fg'$ が収束し、したがって $\int_a^bfg$ の極限が存在します。

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例 2.7（$\int_0^\infty\sin x/x\,dx$ は条件収束する）

$[0,1]$ では $\sin x/x$ は $x=0$ での値を $1$ とすれば連続で、$\int_0^1$ は通常の積分です。$[1,\infty)$ では $f=\sin x$、$g=1/x$ とすると $|\int_1^b\sin x\,dx|=|\cos1-\cos b|\le2$ で、定理 2.6 の仮定を満たします。よって収束します。一方、$\int_1^\infty|\sin x|/x\,dx$ は発散します（$|\sin x|\ge\sin^2x=(1-\cos2x)/2$ に 定理 2.6 を使えば $\int\cos2x/x$ は収束し、$\int dx/(2x)$ は発散するため）。このように、収束するが絶対収束しない積分を条件収束といいます。値が $\pi/2$ であることは ボールウェイン積分 の 定理 3.2［ボールウェイン積分］ で示されます。

3. パラメータを含む積分（有界閉区間）

パラメータ $t$ を含む積分 $F(t)=\int_a^bf(x,t)\,dx$ の性質を調べます。積分区間が有界閉区間なら、必要な条件は連続性だけです。鍵は次の補題です。

補題 3.1（有界閉長方形上の連続関数の一様連続性）✓

$K=[a,b]\times[c,d]$ 上の連続関数 $h$ は一様連続である。すなわち任意の $\varepsilon>0$ に対し $\eta>0$ が存在し、$p,q\in K$、$\|p-q\|<\eta$ ならば $|h(p)-h(q)|<\varepsilon$ である。

証明（補題 3.1）

そうでないとすると、ある $\varepsilon>0$ と $K$ の点列 $p_k,q_k$ で $\|p_k-q_k\|<1/k$ かつ $|h(p_k)-h(q_k)|\ge\varepsilon$ となるものがあります。ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理（定理 6.3［実数の完備性とコーシー列］）を各成分に 2 回使うと、部分列 $p_{k_j}\to p\in K$（$K$ は閉）が取れます。すると $q_{k_j}\to p$ でもあり、$h$ の連続性から $|h(p_{k_j})-h(q_{k_j})|\to0$ となって矛盾します。

∎

定理 3.2（パラメータ積分の連続性）✓

$f:[a,b]\times[c,d]\to\mathbb{R}$ が連続ならば、$F(t)=\int_a^bf(x,t)\,dx$ は $[c,d]$ 上連続である。

証明（定理 3.2）

$\varepsilon>0$ をとり、補題 3.1 で $\varepsilon/(b-a)$ に対する $\eta$ を取ります。$|t-t'|<\eta$ なら、すべての $x$ について $|f(x,t)-f(x,t')|<\varepsilon/(b-a)$ ですから

$$|F(t)-F(t')|\le\int_a^b|f(x,t)-f(x,t')|\,dx\le\varepsilon$$

です。

∎

微分についての定理は、前の記事の 補題 3.6［ベクトル解析と積分定理］ で示しました（同じ一様連続性の議論）。ここでは結論だけ再掲します。$f$ と $\partial_tf$ が $[a,b]\times J$ で連続なら

$$\frac{d}{dt}\int_a^bf(x,t)\,dx=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\,dx$$

で、右辺は $t$ の連続関数です。以下この等式を「有界閉区間での微分公式」と呼びます。これを使って、初等関数で表せない積分を計算します。

定理 3.3（ガウス積分）✓

広義積分 $\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ は収束し、その値は $\sqrt\pi/2$ である。したがって $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$。

$e^{-x^2}$ には初等的な原始関数がないので、値を直接は求められません。そこで $g(t)=\int_0^te^{-x^2}dx$ の 2 乗 $A(t)$ に、もう 1 つの関数 $B(t)$ を足して、微分すると打ち消し合うようにします。$A+B$ が定数になれば、$t=0$ での値 $\pi/4$ が分かり、$t\to\infty$ では $B\to0$ なので $A\to\pi/4$ と読めます。$B$ は、導関数 $B'$ が $A'$ の積分表示と符号だけが逆になるように選んだ関数です。

証明（定理 3.3）

$x\ge1$ で $e^{-x^2}\le e^{-x}$ で $\int_1^\infty e^{-x}dx<\infty$ ですから、定理 2.3 により収束します。$I=\int_0^\infty e^{-x^2}dx>0$ とおき、

$$g(t)=\int_0^te^{-x^2}dx,\qquad A(t)=g(t)^2,\qquad B(t)=\int_0^1\frac{e^{-t^2(1+s^2)}}{1+s^2}\,ds$$

とします。$A'(t)=2g(t)e^{-t^2}$ で、$g(t)=\int_0^te^{-x^2}dx$ を $x=ts$ と置換（定理 6.1［積分の基本定理と定積分］）すると $g(t)=t\int_0^1e^{-t^2s^2}ds$ ですから

$$A'(t)=2te^{-t^2}\int_0^1e^{-t^2s^2}ds=\int_0^1 2t\,e^{-t^2(1+s^2)}\,ds .$$

一方、有界閉区間での微分公式を $B$ に使うと（被積分関数と $\partial_t$ は $[0,1]\times\mathbb{R}$ で連続）

$$B'(t)=\int_0^1\frac{-2t(1+s^2)e^{-t^2(1+s^2)}}{1+s^2}\,ds=-\int_0^12t\,e^{-t^2(1+s^2)}\,ds=-A'(t)$$

です。よって $A+B$ は定数で、$A(0)+B(0)=0+\int_0^1\frac{ds}{1+s^2}=\frac\pi4$ です。$t\to\infty$ では $0\le B(t)\le e^{-t^2}\int_0^1\frac{ds}{1+s^2}\to0$ ですから $A(t)\to\pi/4$、つまり $I^2=\pi/4$ で、$I>0$ より $I=\sqrt\pi/2$ です。

∎

別の導出として、二重積分と極座標を使うものが 例 6.12［重積分と累次積分］ にあります。上の証明は 2 重積分を使わずに 1 変数の微積分だけで済む点が特徴です。

4. 広義パラメータ積分と一様収束

積分区間が無限、あるいは被積分関数が端点で発散する場合に同じ公式を使うには、積分の収束がパラメータについて一様でなければなりません。以下、$a<\omega\le\infty$、$J\subset\mathbb{R}$ は区間、$f:[a,\omega)\times J\to\mathbb{R}$ は連続とし、すべての $t\in J$ で $\int_a^\omega f(x,t)\,dx$ が収束するとします。

定義 4.1（広義積分の一様収束）↗

任意の $\varepsilon>0$ に対し $c\in[a,\omega)$ が存在し、すべての $b\in(c,\omega)$ とすべての $t\in J$ について $\bigl|\int_b^\omega f(x,t)\,dx\bigr|<\varepsilon$ が成り立つとき、$\int_a^\omega f(x,t)\,dx$ は $J$ 上一様収束するといいます。

命題 4.2（積分版 M 判定法）✓

連続関数 $M:[a,\omega)\to[0,\infty)$ で $|f(x,t)|\le M(x)$（$x\in[a,\omega),\ t\in J$）かつ $\int_a^\omega M(x)\,dx<\infty$ となるものがあれば、$\int_a^\omega f(x,t)\,dx$ は $J$ 上一様収束（絶対収束）する。

証明（命題 4.2）

$\bigl|\int_b^\omega f(x,t)\,dx\bigr|\le\int_b^\omega M(x)\,dx$ で、右辺は $t$ に依らず、$b\to\omega$ で $0$ に収束します（収束する積分の尾部）。

∎

注意 4.3（一様でないと何が起こるか）

$f(x,t)=te^{-tx}$（$[0,\infty)\times[0,1]$）では、$t>0$ で $\int_b^\infty f\,dx=e^{-tb}$ です。$b$ を固定して $t\to0$ とすると $e^{-tb}\to1$ ですから、$\sup_t\int_b^\infty f=1$ で、尾部は一様に小さくなりません。実際 §1 で見たように $F(t)=1$（$t>0$）、$F(0)=0$ で、$F$ は $t=0$ で不連続です。

定理 4.4（広義パラメータ積分の連続性）✓

$\int_a^\omega f(x,t)\,dx$ が $J$ 上一様収束するならば、$F(t)=\int_a^\omega f(x,t)\,dx$ は $J$ 上連続である。

証明（定理 4.4）

$b_n\in[a,\omega)$ を $b_n\to\omega$ の列とし、$F_n(t)=\int_a^{b_n}f(x,t)\,dx$ とおきます。$f$ は $[a,b_n]\times K$（$K\subset J$ は任意の有界閉区間）で連続ですから、定理 3.2 から $F_n$ は連続です。一様収束の仮定から $\sup_t|F(t)-F_n(t)|=\sup_t\bigl|\int_{b_n}^\omega f\bigr|\to0$ ですから、$F_n\rightrightarrows F$（定義 3.2［関数列と一様収束］）で、一様収束極限の連続性（定理 4.1［関数列と一様収束］）から $F$ は連続です。

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定理 4.5（広義積分の積分記号下の微分）✓

$J$ を開区間、$f$ と $\partial_tf$ を $[a,\omega)\times J$ 上で連続とします。ある $t_0\in J$ で $\int_a^\omega f(x,t_0)\,dx$ が収束し、$\int_a^\omega\partial_tf(x,t)\,dx$ が $J$ 上一様収束するならば、すべての $t\in J$ で $F(t)=\int_a^\omega f(x,t)\,dx$ は収束し、$F$ は $C^1$ 級で

$$F'(t)=\int_a^\omega\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\,dx$$

が成り立ちます。

証明の方針は次のとおりです。区間を $[a,b_n]$ で打ち切った積分 $F_n$ には、有界閉区間での微分公式がそのまま使えます。あとは $n\to\infty$ としたときに、微分した関数 $F_n'$ が一様収束することを使って、極限の関数も微分可能で、その導関数が $F_n'$ の極限になることを示します（関数列の一様収束と項別微分の定理を使います）。

証明（定理 4.5）

$b_n\to\omega$ の増加列をとり、$F_n(t)=\int_a^{b_n}f(x,t)\,dx$ とおきます。有界閉区間での微分公式により $F_n$ は $C^1$ 級で $F_n'(t)=\int_a^{b_n}\partial_tf(x,t)\,dx$ です。$G(t)=\int_a^\omega\partial_tf(x,t)\,dx$ とおくと、一様収束の仮定から $F_n'\rightrightarrows G$ です。また $F_n(t_0)\to\int_a^\omega f(x,t_0)\,dx$ は収束します。$t_0$ を含む任意の有界閉区間 $[\alpha,\beta]\subset J$ に 項別微分の定理（定理 7.3［関数列と一様収束］）を使うと、$F_n$ は $[\alpha,\beta]$ 上である関数 $\tilde F$ に収束し、$\tilde F$ は $C^1$ 級で $\tilde F'=G$ です。$\tilde F(t_0)$ は列 $(b_n)$ の取り方に依らず、$\tilde F'=G$ も列に依らないので、$\tilde F(t)=\tilde F(t_0)+\int_{t_0}^tG$ も列に依りません。したがって $\lim_{b\to\omega}\int_a^bf(x,t)\,dx$ が存在して $\tilde F(t)=F(t)$ に等しく、$F'=G$ です。$G$ は 定理 4.4 から連続です。

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端点 $\alpha$ で発散する $(\alpha,b]$ 型の広義積分についても、$x\mapsto\alpha+b-x$ で向きを入れ替えれば同じ定理が成り立ちます。

例 4.6（ガウス関数のフーリエ余弦変換）

$\Phi(t)=\int_0^\infty e^{-x^2}\cos(2tx)\,dx$ とします。$\partial_t\bigl(e^{-x^2}\cos2tx\bigr)=-2xe^{-x^2}\sin(2tx)$ は $|\cdot|\le2xe^{-x^2}$ で、$\int_0^\infty2xe^{-x^2}dx=1<\infty$ ですから、命題 4.2 により一様収束です。$\Phi(0)=\sqrt\pi/2$（定理 3.3）で収束するので 定理 4.5 が使え、部分積分（$u=\sin2tx$、$v=e^{-x^2}$）を行うと

$$\Phi'(t)=\int_0^\infty\sin(2tx)\,d\bigl(e^{-x^2}\bigr)=\Bigl[e^{-x^2}\sin2tx\Bigr]_0^\infty-2t\int_0^\infty e^{-x^2}\cos2tx\,dx=-2t\,\Phi(t)$$

です。$(e^{t^2}\Phi)'=0$ ですから、$\Phi(t)=\frac{\sqrt\pi}2e^{-t^2}$ が得られます。ガウス関数のフーリエ変換がまたガウス関数になる、という事実の実解析的な証明です。

例 4.7（フルラニ型の積分）

$a,b>0$ に対し $\displaystyle F(a)=\int_0^\infty\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}dx=\log\frac ba$ です。被積分関数は $x=0$ での値を $b-a$ とすれば $[0,\infty)\times(0,\infty)$ で連続で、$a=b$ のとき積分は $0$ ですから収束します。$\partial_a$ は $-e^{-ax}$ で、$a>a_0>0$ では $|-e^{-ax}|\le e^{-a_0x}$ と積分版 M 判定法（命題 4.2）から一様収束です。定理 4.5 により $F'(a)=-\int_0^\infty e^{-ax}dx=-1/a$、よって $F(a)=-\log a+C$ で、$F(b)=0$ から $F(a)=\log(b/a)$ を得ます。

5. ガンマ関数

定義 5.1（ガンマ関数）↗

$s>0$ に対し

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$$

と定めます。

この広義積分は、$x=0$ と $x=\infty$ の両端で問題があります。$[0,\infty)$ を $(0,1]$ と $[1,\infty)$ に分けて調べます。

命題 5.2（ガンマ積分の収束）✓

$s>0$ のとき $\Gamma(s)$ は収束し、$\Gamma(s)>0$ である。

証明の方針です。$x=0$ の近くでは $x^{s-1}$ との比較で、$x\to\infty$ の近くでは「指数関数 $e^{-x}$ はどんなべきよりも速く $0$ に近づく」ことで、それぞれ上から押さえます。後者のために整数 $m$ を $m\ge s$ となるようにとり、$e^{x/2}$ の級数展開の $m$ 次の項で下から評価して、$x$ のべきを打ち消します。

証明（命題 5.2）

$0<x\le1$ では $x^{s-1}e^{-x}\le x^{s-1}$ で、命題 2.4 の $p=1-s<1$ から $\int_0^1x^{s-1}dx=1/s$ は収束します。$x\ge1$ では、整数 $m\ge s$ を取ると $e^{x/2}\ge(x/2)^m/m!$（指数関数の級数展開の 1 項）ですから、$x^{s-1}e^{-x/2}\le m!\,2^mx^{s-1-m}\le m!\,2^m$ です。したがって $x^{s-1}e^{-x}\le m!\,2^me^{-x/2}$ で、右辺は $[1,\infty)$ で積分可能ですから、定理 2.3 により収束します。被積分関数は正の連続関数なので $\Gamma(s)>0$ です。

∎

定理 5.3（ガンマ関数の関数等式）✓

$s>0$ に対し $\Gamma(s+1)=s\,\Gamma(s)$ である。とくに $\Gamma(1)=1$ であり、自然数 $n$ に対し $\Gamma(n+1)=n!$ である。また $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ である。

証明（定理 5.3）

$0<\varepsilon<R$ に対し、部分積分（定理 6.2［積分の基本定理と定積分］）で

$$\int_\varepsilon^Rx^se^{-x}dx=\bigl[-x^se^{-x}\bigr]_\varepsilon^R+s\int_\varepsilon^Rx^{s-1}e^{-x}dx$$

です。$s>0$ ですから $\varepsilon^se^{-\varepsilon}\to0$、また $R^se^{-R}\to0$（命題 5.2 の証明の評価 $x^se^{-x/2}\le C$ から）で、$\varepsilon\to0$、$R\to\infty$ として $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ を得ます。$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}dx=1$ で、これと帰納法から $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=\cdots=n!\,\Gamma(1)=n!$ です。最後に $x=y^2$（$dx=2y\,dy$）と置換すると $\Gamma(1/2)=\int_0^\infty y^{-1}e^{-y^2}2y\,dy=2\int_0^\infty e^{-y^2}dy=\sqrt\pi$ です（定理 3.3）。

∎

したがって $\Gamma$ は階乗を実数に拡張します。たとえば $\Gamma(3/2)=\frac12\Gamma(\frac12)=\frac{\sqrt\pi}2$、$\Gamma(5/2)=\frac32\cdot\frac{\sqrt\pi}2=\frac{3\sqrt\pi}4$ です。

ガンマ関数 Γ(s)（0.25 ≤ s ≤ 4）。Γ(1)=Γ(2)=1、Γ(3)=2、Γ(4)=6 と階乗を通り、s→0 で発散し、s≈1.46 で最小値 0.886 をとる

命題 5.4（ガンマ関数の滑らかさ）✓

$\Gamma$ は $(0,\infty)$ 上で何回でも微分可能（$C^\infty$ 級）で、各 $k\ge0$ について

$$\Gamma^{(k)}(s)=\int_0^\infty x^{s-1}(\log x)^ke^{-x}\,dx$$

である。

証明の方針です。$s$ で微分すると被積分関数に $\log x$ が 1 つ掛かります。$x\to+0$ で $\log x$ は発散しますが、その発散は $x^{-\delta}$（$\delta>0$ は小さくてよい）のような小さなべきより遅いので、定数 $C$ を使って $x^{-\delta}$ で押さえられます。こうして積分版 M 判定法が使える形になり、微分と積分が交換できます。

証明（命題 5.4）

$k\ge0$ に対し $\Gamma_k(s)=\int_0^\infty x^{s-1}(\log x)^ke^{-x}dx$ とおき、$0<s_0<s_1$、$J=(s_0,s_1)$ を固定します。$\Gamma_k$ が $J$ で収束し、$\Gamma_k'=\Gamma_{k+1}$ となることを示せば、帰納法で主張が従います。$f(x,s)=x^{s-1}(\log x)^ke^{-x}$ は $(0,\infty)\times J$ で連続で、$\partial_sf=x^{s-1}(\log x)^{k+1}e^{-x}$ も連続です。

$[1,\infty)$ での評価。 $\log x\le x$ より、$s<s_1$ のとき $|\partial_sf|\le x^{s_1-1+k+1}e^{-x}=:M_1(x)$。命題 5.2 の証明と同じ評価で $\int_1^\infty M_1<\infty$ です。

$(0,1]$ での評価。 $x\to+0$ で $x^{\delta}|\log x|^{k+1}\to0$ ですから（$\delta=s_0/2$）、ある定数 $C$ について $|\log x|^{k+1}\le Cx^{-\delta}$（$0<x\le1$）で、$s>s_0$ のとき $|\partial_sf|\le Cx^{s_0-1-\delta}=Cx^{s_0/2-1}=:M_0(x)$。命題 2.4 から $\int_0^1M_0<\infty$ です。

したがって積分版 M 判定法（命題 4.2、$(0,1]$ では端点の向きを入れ替える）から、$\int\partial_sf\,dx$ は $J$ 上一様収束します。同様の評価（$k$ を $k+1$ から $k$ に落とすだけ）で $\Gamma_k(s)$ は収束します。定理 4.5 を $[1,\infty)$ と $(0,1]$ のそれぞれに使うと、$\Gamma_k$ は微分可能で $\Gamma_k'=\Gamma_{k+1}$ です。$s_0,s_1$ は任意なので $(0,\infty)$ 上で成り立ちます。

∎

6. ベータ関数

定義 6.1（ベータ関数）↗

$a,b>0$ に対し $B(a,b)=\displaystyle\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$ と定めます。

$x=0$ の近くでは $(1-x)^{b-1}$ が有界で $x^{a-1}$ と比較でき、$x=1$ の近くでは同様に $(1-x)^{b-1}$ と比較できるので、命題 2.4 により収束します。次の定理は、ベータ関数がガンマ関数で書けることを示します。証明は、$2$ 変数の広義積分を、有界閉集合上の積分（フビニの定理と変数変換が使える）で挟んで評価する方法で行います。

定理 6.2（ベータ関数とガンマ関数の関係）✓

$a,b>0$ に対し

$$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$

が成り立つ。

証明の方針です。$\Gamma(a)\Gamma(b)$ は $x,y$ の 2 重積分で、変換 $(u,v)=(x+y,\,x/(x+y))$ をすると積分が $u$ だけの積分と $v$ だけの積分の積に分かれ、それぞれ $\Gamma(a+b)$ と $B(a,b)$ になります。ただし第 1 象限全体は有界ではないので、端を少し削った有界閉の領域を使い、変換後の長方形の像 $T$ が正方形を含む場合と、正方形が $T$ を含む場合の 2 通りで上と下から挟みます。下からの評価の複雑な $\varepsilon$ は、正方形がちょうど $T$ に入るように選んだものです。

証明（定理 6.2）

$f(x,y)=x^{a-1}y^{b-1}e^{-x-y}$ は第 1 象限 $V=(0,\infty)^2$ 上の正の連続関数です。写像 $\Phi(u,v)=(uv,\,u(1-v))$ は $U=(0,\infty)\times(0,1)$ から $V$ への全単射で、逆写像 $(x,y)\mapsto(x+y,\,x/(x+y))$ も $C^1$ 級、$\det D\Phi=v\cdot(-u)-u\cdot(1-v)=-u\ne0$ です。

$0<\varepsilon<1/2$、$R>1$ に対し $E=[\varepsilon,R]\times[\varepsilon,1-\varepsilon]\subset U$（コンパクト）とし、$T=\Phi(E)$ とおきます。変数変換公式（定理 6.7［重積分と累次積分］）とフビニの定理（系 4.3［重積分と累次積分］）から

$$\iint_Tf\,dx\,dy=\iint_E(uv)^{a-1}\bigl(u(1-v)\bigr)^{b-1}e^{-u}\,u\,du\,dv=P(\varepsilon,R)\,Q(\varepsilon)$$

です。ここで $P(\varepsilon,R)=\int_\varepsilon^Ru^{a+b-1}e^{-u}du$、$Q(\varepsilon)=\int_\varepsilon^{1-\varepsilon}v^{a-1}(1-v)^{b-1}dv$ で、$\varepsilon\to0$、$R\to\infty$ のとき $P\nearrow\Gamma(a+b)$、$Q\nearrow B(a,b)$ です。

上からの評価。 $T$ の点 $(x,y)=(uv,u(1-v))$ は $x,y\in[\varepsilon^2,R]$ を満たします（$u\ge\varepsilon$、$v,1-v\ge\varepsilon$、$u\le R$ から）。$f>0$ ですから、フビニの定理から

$$P(\varepsilon,R)Q(\varepsilon)\le\iint_{[\varepsilon^2,R]^2}f=\int_{\varepsilon^2}^Rx^{a-1}e^{-x}dx\int_{\varepsilon^2}^Ry^{b-1}e^{-y}dy\le\Gamma(a)\Gamma(b)$$

です。$\varepsilon\to0$、$R\to\infty$ として $\Gamma(a+b)B(a,b)\le\Gamma(a)\Gamma(b)$ を得ます。

下からの評価。 $0<\delta<R'$ に対し、$\varepsilon=\min\{\delta/(\delta+R'),\,2\delta\}<1/2$、$R=2R'$ とおくと $[\delta,R']^2\subset T_{\varepsilon,R}$ です。実際 $(x,y)\in[\delta,R']^2$ に対し $u=x+y\in[2\delta,2R']\subset[\varepsilon,R]$、$v=x/(x+y)$、$1-v=y/(x+y)$ はともに $\ge\delta/(\delta+R')\ge\varepsilon$ です。したがって

$$\int_\delta^{R'}x^{a-1}e^{-x}dx\int_\delta^{R'}y^{b-1}e^{-y}dy=\iint_{[\delta,R']^2}f\le\iint_{T_{\varepsilon,R}}f=P(\varepsilon,R)Q(\varepsilon)\le\Gamma(a+b)B(a,b)$$

です。$\delta\to0$、$R'\to\infty$ として $\Gamma(a)\Gamma(b)\le\Gamma(a+b)B(a,b)$ を得ます。2 つの不等式から等式が従い、$\Gamma(a+b)>0$ で割ります。

∎

例 6.3（ベータ関数の値と三角関数の積分）

(1) $B(1/2,1/2)=\Gamma(1/2)^2/\Gamma(1)=\pi$ です。これは $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=\pi$ で、$x=\sin^2\theta$ と置換すれば $\int_0^{\pi/2}2\,d\theta=\pi$ と直接確かめられます。 (2) 同じ置換 $x=\sin^2\theta$（$dx=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$）を一般の $a,b$ に使うと

$$\int_0^{\pi/2}\sin^{2a-1}\theta\cos^{2b-1}\theta\,d\theta=\frac12B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{2\Gamma(a+b)}$$

です。$a=(n+1)/2$、$b=1/2$ とすると、例 6.5［積分の基本定理と定積分］ のウォリス積分は

$$I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx=\frac{\sqrt\pi\,\Gamma\bigl(\frac{n+1}2\bigr)}{2\,\Gamma\bigl(\frac n2+1\bigr)}$$

と表されます。$n=2$ なら $\frac{\sqrt\pi\cdot\sqrt\pi/2}{2\cdot1}=\frac\pi4$ で、漸化式から出る $I_2=\frac12\cdot\frac\pi2$ と一致します。

7. スターリングの公式

$n!$ は $n$ について急速に増大します。その増大の速さを正確に表すのがスターリングの公式です。

定理 7.1（スターリングの公式）✓

$n\ge1$ に対して

$$\sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac ne\Bigr)^n\le n!\le\sqrt{2\pi n}\Bigl(\frac ne\Bigr)^ne^{1/(12n)}$$

が成り立つ。とくに $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$（$n\to\infty$ で比が $1$ に収束）である。

証明は 2 段階です。まず、$a_n=n!\,e^n/n^{n+1/2}$ が単調に減少して正の極限 $c$ に収束することを示します。次に、ウォリスの公式から $c=\sqrt{2\pi}$ を決めます。

補題 7.2（$a_n$ の単調性）✓

$a_n=\dfrac{n!\,e^n}{n^{n+1/2}}$ とおくと、すべての $n\ge1$ で

$$0<\log a_n-\log a_{n+1}<\frac1{12n}-\frac1{12(n+1)}$$

が成り立つ。したがって $(a_n)$ は単調減少、$(\log a_n-\frac1{12n})$ は単調増加で、$a_n$ は正の数 $c$ に収束し、$c\le a_n\le c\,e^{1/(12n)}$ である。

証明の方針です。$\log a_n-\log a_{n+1}$ を $t=1/(2n+1)$ の関数 $h(t)/(2t)-1$ に書き直し、これが $0$ より大きく、かつ $\frac{t^2}{3(1-t^2)}$ より小さいことを、それぞれ微分の符号で確かめます。$v(t)$ の形は、右辺が $t=1/(2n+1)$ のとき $\frac1{12n}-\frac1{12(n+1)}$ になるように選んだものです。

証明（補題 7.2）

$a_n/a_{n+1}=\dfrac{(1+1/n)^{n+1/2}}e$ ですから $\log\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=(n+\tfrac12)\log\bigl(1+\tfrac1n\bigr)-1$ です。$t=\dfrac1{2n+1}\in(0,1)$ とおくと $1+\frac1n=\frac{1+t}{1-t}$、$n+\frac12=\frac1{2t}$ なので、$h(t)=\log\frac{1+t}{1-t}$ として

$$\log\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{h(t)}{2t}-1 .$$

下からの評価。 $u(t)=h(t)-2t$ は $u(0)=0$、$u'(t)=\frac2{1-t^2}-2=\frac{2t^2}{1-t^2}>0$ ですから、$0<t<1$ で $u(t)>0$、つまり $\frac{h}{2t}-1>0$ です。 上からの評価。 $v(t)=2t+\dfrac{2t^3}{3(1-t^2)}-h(t)$ とおくと $v(0)=0$ で、計算により

$$v'(t)=2+\frac23\cdot\frac{3t^2-t^4}{(1-t^2)^2}-\frac2{1-t^2}=\frac{4t^4}{3(1-t^2)^2}>0$$

（通分すると分子は $2(1-t^2)^2+\tfrac23(3t^2-t^4)-2(1-t^2)=\tfrac43t^4$）ですから $v(t)>0$ で、$\frac{h}{2t}-1<\frac{t^2}{3(1-t^2)}$ です。$t=\frac1{2n+1}$ のとき $\frac{t^2}{1-t^2}=\frac1{(2n+1)^2-1}=\frac1{4n(n+1)}$ ですから、右辺は $\frac1{12n(n+1)}=\frac1{12n}-\frac1{12(n+1)}$ です。

以上から $\log a_n$ は減少、$\log a_n-\frac1{12n}$ は増加です。減少列 $(a_n)$ は $\log a_n\ge\log a_1-\frac1{12}+\frac1{12n}>0$（$a_1=e>e^{1/12}$）で下に有界ですから収束し（定理 2.1［級数と収束判定］）、極限 $c>0$ です。$a_n\downarrow c$ から $a_n\ge c$、$\log a_n-\frac1{12n}\uparrow\log c$ から $a_n\le ce^{1/(12n)}$ です。

∎

証明（定理 7.1）

$c=\sqrt{2\pi}$ を示せば、補題 7.2 の $c\le a_n\le ce^{1/(12n)}$ が定理の不等式そのものです。ウォリス積分 $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$ の漸化式 $I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}$（命題 6.4［積分の基本定理と定積分］）と $I_0=\pi/2$、$I_1=1$（同じ命題）から、帰納法で

$$I_{2m}=\frac\pi2w_m,\qquad I_{2m+1}=\frac1{(2m+1)\,w_m},\qquad w_m=\frac{(2m)!}{4^m(m!)^2}$$

が得られます（$w_m=\frac{1\cdot3\cdots(2m-1)}{2\cdot4\cdots2m}$ なので $w_m=\frac{2m-1}{2m}w_{m-1}$、$I_{2m}=\frac{2m-1}{2m}I_{2m-2}$ と $I_{2m+1}=\frac{2m}{2m+1}I_{2m-1}$ が対応）。$0\le\sin x\le1$ より $I_{2m+1}\le I_{2m}\le I_{2m-1}$ ですから

$$1\le\frac{I_{2m}}{I_{2m+1}}\le\frac{I_{2m-1}}{I_{2m+1}}=\frac{2m+1}{2m}\to1$$

で、$\frac{I_{2m}}{I_{2m+1}}=\frac\pi2(2m+1)\,w_m^2\to1$、すなわち $(2m+1)w_m^2\to\frac2\pi$ です。

一方、$n!=a_nn^{n+1/2}e^{-n}$ を $w_m$ に代入すると

$$w_m=\frac{a_{2m}(2m)^{2m+1/2}e^{-2m}}{4^m\,a_m^2\,m^{2m+1}e^{-2m}}=\frac{a_{2m}}{a_m^2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt m}$$

ですから $(2m+1)w_m^2=\dfrac{2m+1}m\cdot\dfrac{2a_{2m}^2}{a_m^4}\to2\cdot\dfrac{2c^2}{c^4}=\dfrac4{c^2}$ です。両者を比べて $4/c^2=2/\pi$、$c^2=2\pi$、$c>0$ より $c=\sqrt{2\pi}$ です。

∎

例 7.3（数値で確かめる）

$n=5$: $5!=120$、$\sqrt{10\pi}\,(5/e)^5\approx118.02$、比は $1.0168$ で、上限 $e^{1/60}\approx1.0168$ のすぐ下にあります。$n=10$: $10!=3\,628\,800$、$\sqrt{20\pi}\,(10/e)^{10}\approx3\,598\,696$、比は $1.0084$ で、上限 $e^{1/120}\approx1.0084$ の範囲内です。誤差 $\frac1{12n}$ は $n$ が小さくても驚くほど良い見積もりです。

例 7.4（中央二項係数の漸近形）

$\binom{2n}n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$ に 定理 7.1 を使うと、分子は $\sqrt{4\pi n}(2n/e)^{2n}$、分母は $2\pi n(n/e)^{2n}$ に漸近し、

$$\binom{2n}n\sim\frac{\sqrt{4\pi n}\,4^n}{2\pi n}=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$$

です。これは 定理 7.1 の証明で $w_n=\binom{2n}n/4^n\sim1/\sqrt{\pi n}$ を使った計算と同じ内容です。

注意 7.5（実数引数と定数 $\sqrt{2\pi}$ の由来）

ガンマ関数についても $\Gamma(s+1)\sim\sqrt{2\pi s}\,(s/e)^s$（$s\to\infty$）が成り立ちます。これは被積分関数 $x^se^{-x}$ が $x=s$ の近くでガウス関数の形をしていることから導かれます（ラプラスの方法）。この記事では整数 $n$ の場合だけを証明しました。定数 $\sqrt{2\pi}$ は、ガウス積分 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}$ に現れる定数と同じものです。ガウス測度の正規化定数として確率論でも使われます。

8. 演習

演習 8.1標準

次の広義積分が収束するための $\alpha$ の範囲を求めよ。(1) $\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^\alpha}{1+x^2}dx$。(2) $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha(1-x)^{1/2}}$。

解答

(1) $[0,1]$ では $\frac{x^\alpha}{1+x^2}\asymp x^\alpha$ なので $\alpha>-1$ が必要十分、$[1,\infty)$ では $\asymp x^{\alpha-2}$ なので $\alpha-2<-1$、つまり $\alpha<1$ が必要十分です（例 2.5 と比較判定法）。したがって $-1<\alpha<1$。(2) $x=0$ の近くで $x^{-\alpha}$、$x=1$ の近くで $(1-x)^{-1/2}$ と比較できます。$\alpha<1$ が必要十分で、このとき $B(1-\alpha,\tfrac12)$ に等しい。

演習 8.2標準

次の値を求めよ。(1) $\displaystyle\int_0^1x^2(1-x)^3dx$。(2) $\displaystyle\int_0^\infty x^3e^{-x^2}dx$。(3) $\Gamma(7/2)$。

解答

(1) $B(3,4)=\dfrac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)}=\dfrac{2\cdot6}{720}=\dfrac1{60}$。(2) $x^2=y$ と置換して $\frac12\int_0^\infty y\,e^{-y}dy=\frac12\Gamma(2)=\frac12$。(3) $\Gamma(\tfrac72)=\tfrac52\cdot\tfrac32\cdot\tfrac12\Gamma(\tfrac12)=\tfrac{15}8\sqrt\pi$。

演習 8.3標準

$t>0$ に対し $I(t)=\int_0^\infty e^{-tx^2}dx=\frac12\sqrt{\pi/t}$ が成り立つことを使って、定理 4.5 により $\int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx$ を求めよ。

解答

$\partial_t(e^{-tx^2})=-x^2e^{-tx^2}$ で、$t>t_0>0$ で $|\cdot|\le x^2e^{-t_0x^2}$、右辺は積分可能ですから積分版 M 判定法で一様収束です。$I(1)$ は収束していますから、定理 4.5 から $I'(t)=-\int_0^\infty x^2e^{-tx^2}dx$ です。$I(t)=\frac{\sqrt\pi}2t^{-1/2}$ ですから $I'(t)=-\frac{\sqrt\pi}4t^{-3/2}$、$t=1$ として $\int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}4$ です。$\Gamma(3/2)/2=\frac{\sqrt\pi}4$ とも一致します。

演習 8.4易

定理 7.1 を使って、$\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n!)^{1/n}}{n}=\dfrac1e$ を示せ。

解答

定理より $n!=\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^ne^{\theta_n}$、$0\le\theta_n\le\frac1{12n}$ と書けます。両辺を $1/n$ 乗して $n$ で割ると $\dfrac{(n!)^{1/n}}n=\dfrac1e\,(2\pi n)^{1/(2n)}e^{\theta_n/n}$ です。$(2\pi n)^{1/(2n)}=\exp\bigl(\frac{\log(2\pi n)}{2n}\bigr)\to1$、$\theta_n/n\to0$ ですから、極限は $1/e$ です。

参考文献

• 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980。
• 杉浦光夫『解析入門 II』東京大学出版会、1985。
• 高木貞治『解析概論』岩波書店（改訂第三版、1961）。
• W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. I, 3rd ed., Wiley, 1968 — Chapter II §9（スターリングの公式の初等的証明）。