数学 › 微分積分学 › 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

べき関数の広義積分の収束条件

命題 2.4（「広義積分・パラメータ積分とガンマ関数」§2）・ ✓公理まで証明済み

$p\in\mathbb{R}$ とする。 $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ は $p>1$ のときに限り収束し、 $\int_0^1x^{-p}\,dx$ は $p<1$ のときに限り収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 3 件

ガンマ積分の収束✓命題 5.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
ガンマ関数の滑らかさ✓命題 5.4・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
べき関数の可積分性✓命題 6.6・ℝ^d の変数変換公式と極座標