数学 › 微分積分学 › 広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

比較判定法と絶対収束

定理 2.3（「広義積分・パラメータ積分とガンマ関数」§2）・ ✓公理まで証明済み

$f,g:[a,\omega)\to\mathbb{R}$ を連続とする。

$0\le f\le g$ で $\int_a^\omega g$ が収束するなら $\int_a^\omega f$ も収束し、 $\int_a^\omega f\le\int_a^\omega g$ 。
$\int_a^\omega|f|$ が収束するなら $\int_a^\omega f$ も収束し、 $\bigl|\int_a^\omega f\bigr|\le\int_a^\omega|f|$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
- 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
    単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列

これを使っている定理証明で参照している 3 件

ディリクレの判定法✓定理 2.6・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
ガンマ積分の収束✓命題 5.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

関連するノック 2 問