数学 › 解析学（実解析） › 実数の完備性とコーシー列

実数の完備性（コーシーの収束判定法）

定理 7.3（「実数の完備性とコーシー列」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列

  • 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  • コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
• ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列

  • 単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
  • 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
• コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
• 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

• 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
• 広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
• 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
• 漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ の収束✓定理 5.6・数列と関数の極限
• C(K) の完備性✓補題 2.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
• 完備化の存在と一意性✓定理 3.2・距離空間
• 一様連続関数の連続拡張✓系 7.2・連続関数と一様連続性
• 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
• Tietze の拡張定理✓定理 5.2・局所コンパクト空間

関連するノック 1 問

• 実解析 第 5 問