縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）

定理 3.2（「逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X\subset\mathbb{R}^n$ を空でない閉集合、 $T:X\to X$ を縮小率 $q<1$ の縮小写像とします。このとき $T(x^*)=x^*$ となる点 $x^*\in X$ がただ 1 つ存在します。さらに任意の $x_0\in X$ から $x_{k+1}=T(x_k)$ で定めた列は $x^*$ に収束し、 $\|x_k-x^*\|\le \dfrac{q^k}{1-q}\|x_1-x_0\|$ が成り立ちます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
- コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列
  - 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
- ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
  - 単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
- 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列

これを使っている定理証明で参照している 6 件

逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
不動点反復の大域収束と誤差評価✓定理 4.1・非線形方程式の反復解法
Kantorovich 型の存在と一意性（簡易 Newton 法）✓定理 7.4・非線形方程式の反復解法
正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1
Federbush の群平均（RG I (0.5)–(0.10)）✓命題 3.3・準備 1
δ 関数の線形化✓命題 6.7・準備 1

縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 6 件