数学 › 数値解析の基礎 › 非線形方程式の反復解法

不動点反復の大域収束と誤差評価

定理 4.1（「非線形方程式の反復解法」§4） ・ ✓公理まで証明済み

a<ba \lt b とし、g:[a,b]→[a,b]g : [a,b] \to [a,b] が定数 0≤L<10 \le L \lt 1 について

∣g(x)−g(y)∣≤L∣x−y∣(x,y∈[a,b])|g(x) - g(y)| \le L |x - y| \qquad (x, y \in [a,b])

を満たすとする。このとき gg は [a,b][a,b] にただ 1 つの不動点 x∗x^* をもち、任意の x0∈[a,b]x_0 \in [a,b] から xk+1=g(xk)x_{k+1} = g(x_k) で作った列は x∗x^* に収束して、k≥1k \ge 1 について次が成り立つ。

  1. （事前評価）∣xk−x∗∣≤Lk1−L∣x1−x0∣|x_k - x^*| \le \dfrac{L^k}{1-L}|x_1 - x_0|。
  2. （事後評価）∣xk−x∗∣≤L1−L∣xk−xk−1∣|x_k - x^*| \le \dfrac{L}{1-L}|x_k - x_{k-1}|。
  3. ∣xk−x∗∣≤Lk∣x0−x∗∣|x_k - x^*| \le L^k |x_0 - x^*|。

gg が [a,b][a,b] で微分可能で ∣g′(x)∣≤L|g'(x)| \le L なら、上の Lipschitz 条件が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 2 問