縮小写像の原理（Banach の不動点定理）

定理 6.2（「距離空間」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(X, d)$ を空でない完備距離空間とし、 $T : X \to X$ を定数 $k < 1$ の縮小写像とする。このとき

$T(x^{*}) = x^{*}$ を満たす点 $x^{*} \in X$ （不動点）がただ一つ存在する。
任意の $x_0 \in X$ から出発して $x_{n+1} = T(x_n)$ と定めた点列は $x^{*}$ に収束し、

d(x_n, x^{*}) \le \frac{k^{n}}{1 - k}\, d(x_0, x_1)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 20 件

不動点反復の大域収束と誤差評価✓定理 4.1・非線形方程式の反復解法
Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
線形 Volterra 方程式✓定理 9.1・解の存在と一意性
Doeblin のエルゴード定理✓定理 3.2・Markov 連鎖と Poisson 過程
ピカール–リンデレーフの定理（初期値問題の局所解）✓定理 6.5・距離空間
臨界軌道の存在と一意性（原論文の Proposition 1）✓命題 7.1・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 2 部
解析的なパラメータをもつ縮小写像✓補題 5.2・Bałaban『Large field renormalization II』精読第 1 部
パラメータつき縮小写像の解の解析性✓補題 3.2・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 2 部
δ 関数の局所的な線形化（原論文 (14)–(17)）✓命題 4.12・準備 5
線形化変換の存在と解析性（Sect. E [14]）✓命題 5.4・準備 2
Proposition 5 [14]：補正のゲージ変換✓命題 5.6・準備 2
不動点の優級数（Cauchy の優級数の方法）✓補題 3.6・準備 4
線形化変換（原論文 Proposition 3、(47)–(73)）✓命題 5.1・準備 4
方程式 (111) の解の存在と一意性（原論文 Proposition 6）✓命題 7.1・準備 4
線形化変換 $B'=B-h\tilde D(B)$ （原論文 (2.10) の後）✓補題 6.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読第 1 部
解は作用素の汎関数である（原論文 (1.5)）✓命題 4.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読第 1 部
複素パラメータでの線形化変換（原論文 (1.12)–(1.14)）✓補題 5.1・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読第 1 部
実の対象を保つ操作✓補題 8.5・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読第 1 部
流れの境界値問題（原論文 Lemma 25・Theorem 3 の抽象形）✓定理 7.3・Dimock『Ultraviolet regularity for QED₃』(2018) 第 4 部
Lemma 6（平行移動の性質）✓補題 7.5・Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 1 部

縮小写像の原理（Banach の不動点定理）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義

これを使っている定理 証明で参照している 20 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義

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