数学 › 確率論 › Markov 連鎖と Poisson 過程

Doeblin のエルゴード定理

定理 3.2（「Markov 連鎖と Poisson 過程」§3）・ ✓公理まで証明済み

$P$ を $S$ 上の遷移行列とし、ある整数 $m\ge1$ 、確率分布 $\nu$ 、 $\delta\in(0,1]$ があって、すべての $x,y\in S$ で

P^m(x,y)\ge\delta\,\nu(y)

が成り立つ（Doeblin の条件）とする。このとき

$P$ の定常分布 $\pi$ がただ一つ存在する。
任意の初期分布 $\mu$ と $n\ge0$ に対し

\|\mu P^n-\pi\|_{\mathrm{TV}}\le(1-\delta)^{\lfloor n/m\rfloor} .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

リース–フィッシャーの定理✓定理 5.3・L^p 空間と関数解析への導入
- 絶対収束による完備性の判定✓補題 5.2・L^p 空間と関数解析への導入
- ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入
  - 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
  - ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
    本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
縮小補題✓補題 3.1・Markov 連鎖と Poisson 過程
縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間

これを使っている定理証明で参照している 1 件

連続時間の Doeblin 型収束✓定理 5.4・Markov 連鎖と Poisson 過程

関連するノック 2 問