Picard–Lindelöf の定理

定理 4.1（「解の存在と一意性」§4）・ ✓公理まで証明済み

$R=[x_0-a,x_0+a]\times\bar B(y_0,b)\subset D$ とし、 $M=\max_R|f|$ 、 $L$ を $R$ 上の $y$ に関する Lipschitz 定数とする。 $h=\min(a,b/M)$ （ $M=0$ なら $h=a$ ）とおく。このとき初期値問題 $y'=f(x,y)$ 、 $y(x_0)=y_0$ は $[x_0-h,x_0+h]$ 上で解をただ 1 つ持つ。この解は、 $\varphi_0\equiv y_0$ 、 $\varphi_{k+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(s,\varphi_k(s))\,ds$ の一様極限である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 37 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
- 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
- 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
    単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
- 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
  - 向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
  - 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Leray–Hopf の弱解の存在（トーラス）✓定理 5.2・Navier–Stokes 方程式 I
常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
最大解の存在と一意性✓系 4.2・解の存在と一意性
最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性

Picard–Lindelöf の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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