数学 › 常微分方程式 › 解の存在と一意性

初期値問題と積分方程式

補題 2.2（「解の存在と一意性」§2）・ ✓公理まで証明済み

区間 $I\ni x_0$ 上の連続関数 $\varphi$ で $(x,\varphi(x))\in D$ を満たすものについて、次は同値である。

$\varphi$ は $C^1$ 級で $\varphi'=f(x,\varphi)$ 、 $\varphi(x_0)=y_0$ を満たす。
$\varphi(x)=y_0+\displaystyle\int_{x_0}^{x}f(s,\varphi(s))\,ds$ （ $x\in I$ ）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
- 向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分
  - 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
- 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
    上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 4 件

解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
Peano の存在定理✓定理 5.2・解の存在と一意性
初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性

関連するノック 4 問