数学 › 多様体論 › ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

常微分方程式の基本定理

定理 2.3（「ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、 $V\colon U\to\mathbb{R}^n$ を $C^\infty$ 級とする。

各 $x_0\in U$ に対し、 $\varepsilon>0$ 、 $x_0$ の開近傍 $U_0\subset U$ 、 $C^\infty$ 級写像 $\Phi\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\times U_0\to U$ で、 $\partial_t\Phi(t,x)=V(\Phi(t,x))$ 、 $\Phi(0,x)=x$ を満たすものが存在する。
$I$ が区間で、 $c_1,c_2\colon I\to U$ が $\dot c=V(c)$ の解で $c_1(t_0)=c_2(t_0)$ となる $t_0\in I$ があれば、 $I$ 全体で $c_1=c_2$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 51 件、定義なども含めて 65 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
- ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
- 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性
- 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性
  - 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
- 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性
- 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

平坦性の判定✓定理 2.4・曲率テンソル
カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

常微分方程式の基本定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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