数学 › 多様体論 › ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

流れの基本定理

定理 2.5（「ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を滑らかなベクトル場とする。このとき $\mathbb{R}\times M$ の開集合 $D\supset\{0\}\times M$ と滑らかな写像 $\theta\colon D\to M$ （流れ）で、次を満たすものが一意に存在する。

各 $p\in M$ について $D^{(p)}=\{t:(t,p)\in D\}$ は $0$ を含む開区間で、 $t\mapsto\theta(t,p)$ は $p$ を始点とする極大積分曲線である。
$(t,p)\in D$ とする。 $(s,\theta(t,p))\in D$ であることと $(s+t,p)\in D$ であることは同値で、このとき $\theta(s,\theta(t,p))=\theta(s+t,p)$ 。
$\theta_t=\theta(t,\cdot)$ の定義域 $M_t=\{p:(t,p)\in D\}$ は開集合で、 $\theta_t\colon M_t\to M_{-t}$ は逆写像 $\theta_{-t}$ を持つ微分同相である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 52 件、定義なども含めて 66 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性
  - 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性
    初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分
    全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
    全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性
  - 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 9 件

測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論
水平持ち上げ✓定理 7.1・ファイバー束・主束と接続
臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術
ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
Frobenius の定理✓定理 6.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

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