数学 › 微分幾何学 › 測地線と完備性

指数写像の基本性質

命題 2.4（「測地線と完備性」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 71 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

  • 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性

      • ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性

      • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
      • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性

      • 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束 この先をたどる →
      • 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束 この先をたどる →
      • 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
      • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性

      • 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • 初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
      • 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
    • パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性

      • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
• 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性

  • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
• 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理

  • 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

• 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
• Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
• 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
• 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開
• Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造
• 小さな球の体積✓補題 6.7・ポアンカレ予想 II