Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場

補題 4.1（「Lorentz 多様体の因果構造」§4）・ ✓公理まで証明済み

測地線と完備性の測地線の存在と一意性、指数写像の基本性質、対称性補題、Jacobi 場の基本性質、指数写像の微分の Jacobi 場による表示は、Lorentz 計量の Levi-Civita 接続についてもそのまま成り立つ。すなわち、 $\exp$ は零切断を含む $TM$ の開集合 $\mathcal{E}$ 上で定義された滑らかな写像で、 $\exp_p(tv)=\gamma_v(t)$ 、 $d(\exp_p)_0=\mathrm{id}$ であり、 $J(0)=0$ 、 $D_tJ(0)=w$ の Jacobi 場は $J(t)=d(\exp_p)_{tv}(tw)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 73 件、定義なども含めて 89 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性この先をたどる →
指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
- 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
- シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
    背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性
Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性
- 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）
- 平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
- Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性（上で展開済み）
- 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Lorentz 版の Gauss の補題✓補題 4.2・Lorentz 多様体の因果構造
一様な正規近傍（Lorentz 版）✓補題 4.3・Lorentz 多様体の因果構造

Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件