数学 › 微分幾何学 › Riemann 計量と Levi-Civita 接続

曲線に沿った共変微分

定理 4.3（「Riemann 計量と Levi-Civita 接続」§4） ・ ✓公理まで証明済み

∇\nabla を MM のアフィン接続、γ ⁣:I→M\gamma\colon I\to M を滑らかな曲線とする。このとき R\mathbb{R} 線形写像 Dt ⁣:X(γ)→X(γ)D_t\colon\mathfrak{X}(\gamma)\to\mathfrak{X}(\gamma) で次を満たすものがただ一つ存在する。

  1. Leibniz 則：f∈C∞(I)f\in C^\infty(I) に対し Dt(fV)=f˙V+fDtVD_t(fV)=\dot fV+fD_tV。
  2. VV が Y∈X(M)Y\in\mathfrak{X}(M) から延長可能なら DtV(t)=∇γ˙(t)YD_tV(t)=\nabla_{\dot\gamma(t)}Y。

座標では

DtV=∑k(V˙k(t)+∑i,jΓijk(γ(t)) γ˙i(t)Vj(t))∂k∣γ(t).D_tV=\sum_k\Bigl(\dot V^k(t)+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}(\gamma(t))\,\dot\gamma^i(t)V^j(t)\Bigr)\partial_k\big|_{\gamma(t)}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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