数学 › 微分幾何学 › Riemann 計量と Levi-Civita 接続

接続の局所性と Christoffel 記号

命題 4.2（「Riemann 計量と Levi-Civita 接続」§4） ・ ✓公理まで証明済み

∇\nabla をアフィン接続とする。

  1. (∇XY)p(\nabla_XY)_p は XpX_p と、pp の任意の近傍上の YY の値だけで決まる。とくに ∇\nabla は開集合 UU 上の接続 ∇∣U\nabla|_U を誘導する。
  2. チャート (U,xi)(U,x^i) で ∇∂i∂j=∑kΓijk∂k\nabla_{\partial_i}\partial_j=\sum_k\Gamma^k_{ij}\partial_k により滑らかな関数 Γijk\Gamma^k_{ij}（Christoffel 記号）を定めると、 ∇XY=∑k(XYk+∑i,jΓijkXiYj)∂k.\nabla_XY=\sum_k\Bigl(XY^k+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}X^iY^j\Bigr)\partial_k.
  3. 二つの接続の差 A(X,Y)=∇XY−∇X′YA(X,Y)=\nabla_XY-\nabla'_XY は (1,2)(1,2) 型テンソル場である。逆に接続 ∇\nabla と (1,2)(1,2) テンソル場 AA に対し ∇+A\nabla+A は接続である。
  4. 任意の多様体はアフィン接続を持つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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