Ricci flow の線形化の退化と Ricci–DeTurck 流

$(M,g)$ を $n$ 次元 Riemann 多様体とする。

1. 写像 $g\mapsto-2\operatorname{Ric}(g)$ の $g$ での $h$ 方向の微分は $$\bigl(D(-2\operatorname{Ric})_g[h]\bigr)_{jk}=\Delta h_{jk}+\nabla_j\nabla_kH-\nabla^l\nabla_jh_{kl}-\nabla^l\nabla_kh_{jl}$$ である。その主表象（$\nabla$ を余ベクトル $\xi$ に置き換えた $2$ 次の部分） $$\sigma(\xi)h_{jk}=|\xi|^2h_{jk}+\xi_j\xi_kH-\xi^l\xi_jh_{kl}-\xi^l\xi_kh_{jl}$$ は、任意の余ベクトル $v$ について $h=\xi\otimes v+v\otimes\xi$ を $0$ に写す。とくに $\xi\ne0$ でも $\sigma(\xi)$ は単射でない。
2. 背景の計量 $\tilde g$ を固定し、その Christoffel 記号を $\tilde\Gamma$ として、ベクトル場 $W^k=g^{ij}(\Gamma^k_{ij}-\tilde\Gamma^k_{ij})$ と $$P(g)=-2\operatorname{Ric}(g)+L_Wg,\qquad (L_Wg)_{jk}=\nabla_jW_k+\nabla_kW_j$$ を定める。このとき $DP_g[h]=\Delta h+B_g[h]$ で、$B_g$ は $h$ について 1 階以下の線形微分作用素である。したがって $DP_g$ の主表象は $|\xi|^2\cdot\mathrm{id}$ で、Ricci–DeTurck 流 $\partial g/\partial t=P(g)$ は狭義放物型である。