数学 › 微分幾何学 › Riemann 計量と Levi-Civita 接続

Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）

定理 5.2（「Riemann 計量と Levi-Civita 接続」§5） ・ ✓公理まで証明済み

Riemann 多様体 (M,g)(M,g) 上に、捩れがなく計量と両立するアフィン接続 ∇\nabla がただ一つ存在する。これを Levi-Civita 接続という。∇\nabla は Koszul の公式

2⟨∇XY,Z⟩=X⟨Y,Z⟩+Y⟨Z,X⟩−Z⟨X,Y⟩+⟨[X,Y],Z⟩−⟨[Y,Z],X⟩+⟨[Z,X],Y⟩\begin{aligned} 2\langle\nabla_XY,Z\rangle={}&X\langle Y,Z\rangle+Y\langle Z,X\rangle-Z\langle X,Y\rangle\\ &+\langle[X,Y],Z\rangle-\langle[Y,Z],X\rangle+\langle[Z,X],Y\rangle \end{aligned}

で特徴づけられ、座標では

Γijk=12∑lgkl(∂igjl+∂jgil−∂lgij).\Gamma^k_{ij}=\frac12\sum_lg^{kl}\bigl(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij}\bigr).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

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