数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 I

Einstein 計量と S² × ℝ の流れ

命題 3.5（「ポアンカレ予想 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(M,g_0)$ が Einstein 計量 $\operatorname{Ric}(g_0)=\lambda g_0$ を持つとき、 $g(t)=(1-2\lambda t)g_0$ は $1-2\lambda t\gt0$ の範囲で Ricci flow の解である。
$(M_1,g_1(t))$ 、 $(M_2,g_2(t))$ が Ricci flow の解なら、積多様体上の積計量 $g_1(t)+g_2(t)$ も Ricci flow の解である。
$g_{S^2}$ を単位球面の計量、 $dz^2$ を $\mathbb{R}$ の標準計量とする。 $S^2\times\mathbb{R}$ 上の $g(t)=(r_0^2-2t)\,g_{S^2}+dz^2$ は $0\le t\lt r_0^2/2$ で Ricci flow の解である。 $S^2\times S^1$ 上でも同じ式が解を与える。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
丸い球面の曲率✓補題 3.4・ポアンカレ予想 I
- 部分多様体の Levi-Civita 接続✓命題 5.4・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

丸い球面の Ricci flow✓命題 3.6・ポアンカレ予想 I
勾配ソリトンは自己相似解✓命題 3.7・ポアンカレ予想 I

関連するノック 2 問