勾配ソリトンは自己相似解

命題 3.7（「ポアンカレ予想 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(M,g_0,f_0)$ を勾配ソリトン $\operatorname{Ric}(g_0)+\nabla^2f_0=\lambda g_0$ とし、ベクトル場 $\operatorname{grad}_{g_0}f_0$ が完備である（流れ $\theta_s$ がすべての $s\in\mathbb{R}$ で定まる。 $M$ が閉なら自動的に成り立つ）とする。 $\sigma(t)=1-2\lambda t$ 、

s(t)=\int_0^t\frac{d\tau}{\sigma(\tau)},\qquad g(t)=\sigma(t)\,\theta_{s(t)}^*g_0

と置くと、 $g(t)$ は $\sigma(t)\gt0$ の範囲で Ricci flow の解である。すなわち勾配ソリトンは、微分同相による引き戻しと相似拡大だけで動く解を与える。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

計量の Lie 微分✓補題 3.3・ポアンカレ予想 I
- Lie 微分定義 3.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
Einstein 計量と S² × ℝ の流れ✓命題 3.5・ポアンカレ予想 I
- Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
- 丸い球面の曲率✓補題 3.4・ポアンカレ予想 I
  - 部分多様体の Levi-Civita 接続✓命題 5.4・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

勾配ソリトンは自己相似解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）